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13. 如图，D、E分别是AC、AB上的点，$∠ ADE=∠ B$，$AG⊥ BC$于点G，$AF⊥ DE$于点F，$AD=3$，$AB=5$.
（1）求$\frac{AG}{AF}$的值；
（2）求$△ ADE$与$△ ABC$的周长之比；
（3）若$△ ADE$的面积为4，求$△ ABC$的面积.
（1）求$\frac{AG}{AF}$的值；
（2）求$△ ADE$与$△ ABC$的周长之比；
（3）若$△ ADE$的面积为4，求$△ ABC$的面积.
答案
(1) $\because ∠ BAC = ∠ DAE, ∠ ADE = ∠ B, \therefore △ BAC ∽ △ DAE$. 又$\because AG、AF$分别是$△ BAC$和$△ DAE$的高, $\therefore \frac{AG}{AF} = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$
(2) $\because △ BAC ∽ △ DAE, \therefore △ ADE$与$△ ABC$的周长之比$= \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$
(3) $\because △ BAC ∽ △ DAE, \therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}. \because △ ADE$的面积为4, $\therefore △ ABC$的面积为$\frac{25}{9} × 4 = \frac{100}{9}$
(2) $\because △ BAC ∽ △ DAE, \therefore △ ADE$与$△ ABC$的周长之比$= \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$
(3) $\because △ BAC ∽ △ DAE, \therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}. \because △ ADE$的面积为4, $\therefore △ ABC$的面积为$\frac{25}{9} × 4 = \frac{100}{9}$
解析
【分析】
解题时先从已知角的关系入手：已知∠ADE=∠B，且△ADE和△ABC有公共角∠DAE=∠BAC，可先证明两个三角形相似。再结合相似三角形的性质分别求解三个问题：①对应高的比等于相似比，可求$\frac{AG}{AF}$的值；②周长比等于相似比，可求两个三角形的周长比；③面积比等于相似比的平方，可求△ABC的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ ADE = ∠ B$，
∴ $△ BAC ∽ △ DAE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又
∵ $AG ⊥ BC$，$AF ⊥ DE$，AG、AF分别是$△ BAC$和$△ DAE$的对应高，
∴ 相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AG}{AF} = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$。
(2) 解：
∵ $△ BAC ∽ △ DAE$，相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $△ ADE$与$△ ABC$的周长之比$= \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$。
(3) 解：
∵ $△ BAC ∽ △ DAE$，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$。
∵ $△ ADE$的面积为4，
∴ $S_{△ ABC} = 4 ÷ \frac{9}{25} = \frac{100}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{3}$
(2) $\frac{3}{5}$
(3) $\frac{100}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是先通过角的关系证明三角形相似，再结合相似比与对应高、周长、面积的关系求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知角的关系入手：已知∠ADE=∠B，且△ADE和△ABC有公共角∠DAE=∠BAC，可先证明两个三角形相似。再结合相似三角形的性质分别求解三个问题：①对应高的比等于相似比，可求$\frac{AG}{AF}$的值；②周长比等于相似比，可求两个三角形的周长比；③面积比等于相似比的平方，可求△ABC的面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC = ∠ DAE$，$∠ ADE = ∠ B$，
∴ $△ BAC ∽ △ DAE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
又
∵ $AG ⊥ BC$，$AF ⊥ DE$，AG、AF分别是$△ BAC$和$△ DAE$的对应高，
∴ 相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{AG}{AF} = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$。
(2) 解：
∵ $△ BAC ∽ △ DAE$，相似三角形的周长比等于相似比，
∴ $△ ADE$与$△ ABC$的周长之比$= \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$。
(3) 解：
∵ $△ BAC ∽ △ DAE$，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$。
∵ $△ ADE$的面积为4，
∴ $S_{△ ABC} = 4 ÷ \frac{9}{25} = \frac{100}{9}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{3}$
(2) $\frac{3}{5}$
(3) $\frac{100}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是先通过角的关系证明三角形相似，再结合相似比与对应高、周长、面积的关系求解，熟练掌握相似三角形的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
14. 如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD，过点C作BD的垂线CE，交AD于点E，连结BE，交AC于点F.
（1）求证：△ABD∽△FCB；
（2）若△FCB的面积为9，BC=6，求DE的长.
（1）求证：△ABD∽△FCB；
（2）若△FCB的面积为9，BC=6，求DE的长.
答案
14. (1) $\because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB. \because EC ⊥ BD, BC = CD, \therefore BE = DE. \therefore ∠ EBD = ∠ EDB. \therefore △ ABD ∽ △ FCB$
(2) 如图, 作$AH ⊥ BC$于点H. $\because △ ABD ∽ △ FCB, \therefore \frac{AB}{FC} = \frac{AD}{FB} = \frac{BD}{CB}. \because CD = BC = 6, \therefore \frac{S_{△ FCB}}{S_{△ ABD}} = (\frac{BC}{DB})^2 = \frac{1}{4}. \because S_{△ FCB} = 9, \therefore S_{△ ABD} = 36. \because BD = 12, \therefore AH = 6. \because AB = AC, AH ⊥ BC, \therefore BH = CH = 3. \therefore DH = 9. \because EC ⊥ DB, \therefore EC // AH. \therefore △ DEC ∽ △ DAH. \therefore \frac{EC}{AH} = \frac{DC}{DH}. \therefore \frac{EC}{6} = \frac{6}{9}. \therefore EC = 4. \therefore DE = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$
解析
【分析】
（1）要证明△ABD∽△FCB，可通过“两角对应相等，两三角形相似”推导：首先由等腰三角形AB=AC可得∠ABC=∠ACB；再由CE垂直且平分BD，根据垂直平分线的性质得BE=DE，进而推出∠EBD=∠D，两组对应角相等即可证明相似。
（2）先利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知△FCB的面积求出△ABD的面积；过点A作AH⊥BD构造高，根据△ABD的面积计算出AH的长度；再由EC和AH都垂直于BD得EC//AH，可证△DEC∽△DAH，利用相似比求出EC的长度，最后在Rt△ECD中用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE⊥BD，且BC=CD，即EC是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
在△ABD和△FCB中，∠ABD=∠FCB，∠ADB=∠FBC，
∴△ABD∽△FCB。
（2）解：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABD∽△FCB，且BD=BC+CD=2BC，
∴相似比为$\frac{BD}{BC}=2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△FCB}}{S_{△ABD}}=(\frac{BC}{BD})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
已知$S_{△FCB}=9$，
∴$S_{△ABD}=4×9=36$，
∵$BD=2BC=12$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}× BD× AH=36$，代入得$\frac{1}{2}×12× AH=36$，解得$AH=6$，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴$BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$，
∴$DH=CD+CH=6+3=9$，
∵EC⊥BD，AH⊥BD，
∴EC//AH，
∴△DEC∽△DAH，
∴$\frac{EC}{AH}=\frac{DC}{DH}$，即$\frac{EC}{6}=\frac{6}{9}$，解得$EC=4$，
在Rt△ECD中，∠ECD=90°，$EC=4$，$CD=6$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{EC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB. \because EC ⊥ BD, BC = CD, \therefore BE = DE. \therefore ∠ EBD = ∠ EDB. \therefore △ ABD ∽ △ FCB$
(2) 如图, 作$AH ⊥ BC$于点H. $\because △ ABD ∽ △ FCB, \therefore \frac{AB}{FC} = \frac{AD}{FB} = \frac{BD}{CB}. \because CD = BC = 6, \therefore \frac{S_{△ FCB}}{S_{△ ABD}} = (\frac{BC}{DB})^2 = \frac{1}{4}. \because S_{△ FCB} = 9, \therefore S_{△ ABD} = 36. \because BD = 12, \therefore AH = 6. \because AB = AC, AH ⊥ BC, \therefore BH = CH = 3. \therefore DH = 9. \because EC ⊥ DB, \therefore EC // AH. \therefore △ DEC ∽ △ DAH. \therefore \frac{EC}{AH} = \frac{DC}{DH}. \therefore \frac{EC}{6} = \frac{6}{9}. \therefore EC = 4. \therefore DE = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将等腰三角形、垂直平分线、相似三角形、勾股定理等知识点结合考查，需要同学们梳理清楚各几何性质之间的关联，合理构造辅助线解决面积与线段长度的计算问题，对几何综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△ABD∽△FCB，可通过“两角对应相等，两三角形相似”推导：首先由等腰三角形AB=AC可得∠ABC=∠ACB；再由CE垂直且平分BD，根据垂直平分线的性质得BE=DE，进而推出∠EBD=∠D，两组对应角相等即可证明相似。
（2）先利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知△FCB的面积求出△ABD的面积；过点A作AH⊥BD构造高，根据△ABD的面积计算出AH的长度；再由EC和AH都垂直于BD得EC//AH，可证△DEC∽△DAH，利用相似比求出EC的长度，最后在Rt△ECD中用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE⊥BD，且BC=CD，即EC是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
在△ABD和△FCB中，∠ABD=∠FCB，∠ADB=∠FBC，
∴△ABD∽△FCB。
（2）解：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABD∽△FCB，且BD=BC+CD=2BC，
∴相似比为$\frac{BD}{BC}=2$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△FCB}}{S_{△ABD}}=(\frac{BC}{BD})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
已知$S_{△FCB}=9$，
∴$S_{△ABD}=4×9=36$，
∵$BD=2BC=12$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}× BD× AH=36$，代入得$\frac{1}{2}×12× AH=36$，解得$AH=6$，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴$BH=CH=\frac{1}{2}BC=3$，
∴$DH=CD+CH=6+3=9$，
∵EC⊥BD，AH⊥BD，
∴EC//AH，
∴△DEC∽△DAH，
∴$\frac{EC}{AH}=\frac{DC}{DH}$，即$\frac{EC}{6}=\frac{6}{9}$，解得$EC=4$，
在Rt△ECD中，∠ECD=90°，$EC=4$，$CD=6$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{EC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\because AB = AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB. \because EC ⊥ BD, BC = CD, \therefore BE = DE. \therefore ∠ EBD = ∠ EDB. \therefore △ ABD ∽ △ FCB$
(2) 如图, 作$AH ⊥ BC$于点H. $\because △ ABD ∽ △ FCB, \therefore \frac{AB}{FC} = \frac{AD}{FB} = \frac{BD}{CB}. \because CD = BC = 6, \therefore \frac{S_{△ FCB}}{S_{△ ABD}} = (\frac{BC}{DB})^2 = \frac{1}{4}. \because S_{△ FCB} = 9, \therefore S_{△ ABD} = 36. \because BD = 12, \therefore AH = 6. \because AB = AC, AH ⊥ BC, \therefore BH = CH = 3. \therefore DH = 9. \because EC ⊥ DB, \therefore EC // AH. \therefore △ DEC ∽ △ DAH. \therefore \frac{EC}{AH} = \frac{DC}{DH}. \therefore \frac{EC}{6} = \frac{6}{9}. \therefore EC = 4. \therefore DE = \sqrt{EC^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将等腰三角形、垂直平分线、相似三角形、勾股定理等知识点结合考查，需要同学们梳理清楚各几何性质之间的关联，合理构造辅助线解决面积与线段长度的计算问题，对几何综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 某时刻，身高为1.5m的小明的影长为1.2m，则同一时刻，身高为1.6m的小强的影长为
【 】
A.1.24 m
B.1.26 m
C.1.28 m
D.1.30 m
【 】
A.1.24 m
B.1.26 m
C.1.28 m
D.1.30 m
答案
C
解析
【分析】
本题考查平行投影下相似三角形的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光线是平行的，因此不同物体、物体对应的影子与光线构成的直角三角形相似，根据相似三角形的性质可得：同一时刻，不同物体的高度与影长的比值相等。我们可以设小强的影长为未知数，根据这个等量关系列比例式求解即可。
【解析】
解：同一时刻，物体的高度与影长的比值相等，设小强的影长为$x\ \mathrm{m}$，根据题意列比例式：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}} = \frac{\mathrm{小强的身高}}{\mathrm{小强的影长}}$
代入数据得：
$\frac{1.5}{1.2} = \frac{1.6}{x}$
交叉相乘得：$1.5x = 1.2 × 1.6$
计算右边得：$1.5x = 1.92$
解得：$x = 1.92 ÷ 1.5 = 1.28$
即小强的影长为1.28m，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用题，核心考点是平行投影下物高与影长成正比的规律，解题关键是找准对应量列出正确的比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查平行投影下相似三角形的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光线是平行的，因此不同物体、物体对应的影子与光线构成的直角三角形相似，根据相似三角形的性质可得：同一时刻，不同物体的高度与影长的比值相等。我们可以设小强的影长为未知数，根据这个等量关系列比例式求解即可。
【解析】
解：同一时刻，物体的高度与影长的比值相等，设小强的影长为$x\ \mathrm{m}$，根据题意列比例式：
$\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}} = \frac{\mathrm{小强的身高}}{\mathrm{小强的影长}}$
代入数据得：
$\frac{1.5}{1.2} = \frac{1.6}{x}$
交叉相乘得：$1.5x = 1.2 × 1.6$
计算右边得：$1.5x = 1.92$
解得：$x = 1.92 ÷ 1.5 = 1.28$
即小强的影长为1.28m，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用题，核心考点是平行投影下物高与影长成正比的规律，解题关键是找准对应量列出正确的比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
