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8. 如图,在△ABC中,BC=48 cm,高AD=16 cm,它的内接矩形MNPQ的两邻边之比MN:MQ=5:9,求此矩形的周长.
答案
56 cm
解析
【分析】
本题是三角形内接矩形的计算问题，解题思路如下：①首先观察到矩形的边MQ平行于BC，可推出△AMQ与△ABC相似，相似三角形对应高的比等于相似比，这是解题的核心依据；②已知矩形邻边的比为5:9，可通过设参数的方式表示两条邻边的长度；③找到△AMQ的高AE与原三角形高AD的关系：AE=AD-ED，而ED等于矩形的边MN，据此列出比例方程求解参数，最后计算矩形周长即可。
【解析】
解：设矩形的边$MN=5x\ \mathrm{cm}$，$MQ=9x\ \mathrm{cm}$。
∵四边形MNPQ是△ABC的内接矩形，
∴$MQ// BC$，$MN⊥ BC$，
又
∵AD是△ABC的高，即$AD⊥ BC$，
∴$ED=MN=5x\ \mathrm{cm}$，△AMQ的高$AE=AD-ED=16-5x\ \mathrm{cm}$。
∵$MQ// BC$，
∴$△ AMQ ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{MQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$
代入$BC=48\ \mathrm{cm}$，$AD=16\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{9x}{48}=\frac{16-5x}{16}$
两边同乘48化简得：
$9x=3(16-5x)$
$9x=48-15x$
$24x=48$
解得$x=2$。
∴$MN=5×2=10\ \mathrm{cm}$，$MQ=9×2=18\ \mathrm{cm}$，
矩形周长为$2×(10+18)=56\ \mathrm{cm}$。
【答案】
56 cm
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题关键是利用三角形内接平行于底边的线段得到相似三角形，结合对应高的比等于相似比建立方程，通过设参数的方式简化计算，能很好地考查学生对相似性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
本题是三角形内接矩形的计算问题，解题思路如下：①首先观察到矩形的边MQ平行于BC，可推出△AMQ与△ABC相似，相似三角形对应高的比等于相似比，这是解题的核心依据；②已知矩形邻边的比为5:9，可通过设参数的方式表示两条邻边的长度；③找到△AMQ的高AE与原三角形高AD的关系：AE=AD-ED，而ED等于矩形的边MN，据此列出比例方程求解参数，最后计算矩形周长即可。
【解析】
解：设矩形的边$MN=5x\ \mathrm{cm}$，$MQ=9x\ \mathrm{cm}$。
∵四边形MNPQ是△ABC的内接矩形，
∴$MQ// BC$，$MN⊥ BC$，
又
∵AD是△ABC的高，即$AD⊥ BC$，
∴$ED=MN=5x\ \mathrm{cm}$，△AMQ的高$AE=AD-ED=16-5x\ \mathrm{cm}$。
∵$MQ// BC$，
∴$△ AMQ ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{MQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$
代入$BC=48\ \mathrm{cm}$，$AD=16\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{9x}{48}=\frac{16-5x}{16}$
两边同乘48化简得：
$9x=3(16-5x)$
$9x=48-15x$
$24x=48$
解得$x=2$。
∴$MN=5×2=10\ \mathrm{cm}$，$MQ=9×2=18\ \mathrm{cm}$，
矩形周长为$2×(10+18)=56\ \mathrm{cm}$。
【答案】
56 cm
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题关键是利用三角形内接平行于底边的线段得到相似三角形，结合对应高的比等于相似比建立方程，通过设参数的方式简化计算，能很好地考查学生对相似性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
9. 如图,在$□ ABCD$中,如果M为CD的中点,AM与BD相交于点N,那么$S_{△ DMN}:S_{□ ABCD}=$ 【 】
A.$1:12$
B.$1:9$
C.$1:8$
D.$1:16$
A.$1:12$
B.$1:9$
C.$1:8$
D.$1:16$
答案
A
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合M是CD中点得到DM与AB的长度比为1:2；再根据平行线的内错角相等判定△DMN和△BAN相似，得到两个三角形对应高的比等于相似比1:2；接着推出△DMN的高和平行四边形高的数量关系，最后分别表示出△DMN和平行四边形的面积，计算比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∵M是CD的中点
∴$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，即$DM:AB=1:2$
∵AB//CD
∴$∠MDN=∠ABN$，$∠DMN=∠BAN$
∴$△ DMN ∽ △ BAN$
∴两三角形对应高的比等于相似比1:2
设$△ DMN$中DM边上的高为$h$，则$△ BAN$中AB边上的高为$2h$，平行四边形ABCD的高$H=h+2h=3h$
设$DM=a$，则$CD=AB=2a$
∴$S_{△ DMN}=\frac{1}{2} × DM × h=\frac{1}{2}ah$
$S_{□ABCD}=CD × H=2a × 3h=6ah$
∴$S_{△ DMN}:S_{□ABCD}=\frac{1}{2}ah:6ah=1:12$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、图形面积计算
【点评】
本题是典型的几何比值类题型，解题核心是通过相似三角形的性质得到高的比例关系，需要学生熟练掌握平行四边形和相似三角形的基础性质，注意不要混淆相似三角形的高之比和平行四边形的高的关系。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合M是CD中点得到DM与AB的长度比为1:2；再根据平行线的内错角相等判定△DMN和△BAN相似，得到两个三角形对应高的比等于相似比1:2；接着推出△DMN的高和平行四边形高的数量关系，最后分别表示出△DMN和平行四边形的面积，计算比值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AB=CD
∵M是CD的中点
∴$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，即$DM:AB=1:2$
∵AB//CD
∴$∠MDN=∠ABN$，$∠DMN=∠BAN$
∴$△ DMN ∽ △ BAN$
∴两三角形对应高的比等于相似比1:2
设$△ DMN$中DM边上的高为$h$，则$△ BAN$中AB边上的高为$2h$，平行四边形ABCD的高$H=h+2h=3h$
设$DM=a$，则$CD=AB=2a$
∴$S_{△ DMN}=\frac{1}{2} × DM × h=\frac{1}{2}ah$
$S_{□ABCD}=CD × H=2a × 3h=6ah$
∴$S_{△ DMN}:S_{□ABCD}=\frac{1}{2}ah:6ah=1:12$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、图形面积计算
【点评】
本题是典型的几何比值类题型，解题核心是通过相似三角形的性质得到高的比例关系，需要学生熟练掌握平行四边形和相似三角形的基础性质，注意不要混淆相似三角形的高之比和平行四边形的高的关系。
【难度系数】
0.6
10.（唐河期中）如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在AB、AC上，且$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，下列结论中正确的是
【 】
A.$DE:BC=1:2$
B.$△ ADE$与$△ ABC$的面积比为$1:3$
C.$△ ADE$与$△ ABC$的周长比为$1:2$
D.$△ ADE$与四边形DBCE的面积比为$1:8$
【 】
A.$DE:BC=1:2$
B.$△ ADE$与$△ ABC$的面积比为$1:3$
C.$△ ADE$与$△ ABC$的周长比为$1:2$
D.$△ ADE$与四边形DBCE的面积比为$1:8$
答案
D
解析
【分析】
首先根据已知的线段比例关系$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，结合平行线分线段成比例的逆定理可推出$DE// BC$，进而得到$△ ADE ∽ △ ABC$；接下来先计算两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质：对应边的比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
解：$\because \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$
$\therefore DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，且相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
逐一判断选项：
A选项：相似三角形对应边的比等于相似比，故$DE:BC=k=1:3$，A错误；
B选项：相似三角形面积比等于相似比的平方，故$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=k^2=1:9$，B错误；
C选项：相似三角形周长比等于相似比，故$C_{△ ADE}:C_{△ ABC}=k=1:3$，C错误；
D选项：设$S_{△ ADE}=a$，则$S_{△ ABC}=9a$，$\therefore S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=9a-a=8a$，故$S_{△ ADE}:S_{四边形DBCE}=1:8$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例线段计算
【点评】
本题核心是利用线段比例关系判定三角形相似，再结合相似三角形的性质计算对应比例，解题时要注意区分周长比和面积比与相似比的关系，避免把面积比错认为等于相似比，同时计算相似比时要注意是对应边的比，不要误将$\frac{AD}{DB}$当作相似比。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的线段比例关系$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$，结合平行线分线段成比例的逆定理可推出$DE// BC$，进而得到$△ ADE ∽ △ ABC$；接下来先计算两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质：对应边的比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
解：$\because \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$
$\therefore DE// BC$，$△ ADE ∽ △ ABC$，且相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
逐一判断选项：
A选项：相似三角形对应边的比等于相似比，故$DE:BC=k=1:3$，A错误；
B选项：相似三角形面积比等于相似比的平方，故$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=k^2=1:9$，B错误；
C选项：相似三角形周长比等于相似比，故$C_{△ ADE}:C_{△ ABC}=k=1:3$，C错误；
D选项：设$S_{△ ADE}=a$，则$S_{△ ABC}=9a$，$\therefore S_{四边形DBCE}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}=9a-a=8a$，故$S_{△ ADE}:S_{四边形DBCE}=1:8$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例线段计算
【点评】
本题核心是利用线段比例关系判定三角形相似，再结合相似三角形的性质计算对应比例，解题时要注意区分周长比和面积比与相似比的关系，避免把面积比错认为等于相似比，同时计算相似比时要注意是对应边的比，不要误将$\frac{AD}{DB}$当作相似比。
【难度系数】
0.7
11. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$的面积与$△ DEF$的面积的比值是$\frac{4}{9}$，AM、DN分别是它们对应边上的中线，且$AM=6$，则$DN=$
9
。答案
11. 9
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形的面积比等于相似比的平方；第二，相似三角形对应中线的比等于相似比。我们可以先根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，再利用对应中线的比等于相似比建立关于DN的比例式，代入已知的AM长度即可求出DN的值。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$\frac{4}{9}$
∴ 两三角形的相似比$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
∵ AM、DN是两个三角形对应边上的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比
∴ $\frac{AM}{DN}=k=\frac{2}{3}$
将$AM=6$代入得：$\frac{6}{DN}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2DN=18$
解得：$DN=9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形对应中线比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是明确相似比、面积比、对应线段比之间的关系，注意不要混淆面积比和相似比的平方关系，避免直接将面积比当作相似比计算出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一，相似三角形的面积比等于相似比的平方；第二，相似三角形对应中线的比等于相似比。我们可以先根据已知的面积比求出两个三角形的相似比，再利用对应中线的比等于相似比建立关于DN的比例式，代入已知的AM长度即可求出DN的值。
【解析】
解：
∵ $△ ABC ∽ △ DEF$，$△ ABC$与$△ DEF$的面积比为$\frac{4}{9}$
∴ 两三角形的相似比$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
∵ AM、DN是两个三角形对应边上的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比
∴ $\frac{AM}{DN}=k=\frac{2}{3}$
将$AM=6$代入得：$\frac{6}{DN}=\frac{2}{3}$
交叉相乘得：$2DN=18$
解得：$DN=9$
【答案】
9
【知识点】
相似三角形面积比性质；相似三角形对应中线比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是明确相似比、面积比、对应线段比之间的关系，注意不要混淆面积比和相似比的平方关系，避免直接将面积比当作相似比计算出错。
【难度系数】
0.8
12. 如图,在$△ ABC$中,$DE // AC$,$EF // AB$.
(1) 求证: $△ BDE ∽ △ EFC$;
(2) 若$BD=\dfrac{2}{3}AD$, 且$△ BDE$的面积是5,求$△ EFC$的面积.
(1) 求证: $△ BDE ∽ △ EFC$;
(2) 若$BD=\dfrac{2}{3}AD$, 且$△ BDE$的面积是5,求$△ EFC$的面积.
答案
12. (1) $\because DE // AC, \therefore ∠ BED = ∠ C. \because EF // AB, \therefore ∠ B = ∠ FEC. \therefore △ BDE ∽ △ EFC$
(2) $\because BD = \frac{2}{3}AD, \therefore \frac{BD}{AD} = \frac{2}{3}. \because DE // AC, \therefore \frac{BE}{CE} = \frac{BD}{AD} = \frac{2}{3}$. 由(1)知, $△ BDE ∽ △ EFC$, 且$S_{△ BDE}=5. \therefore \frac{S_{△ BDE}}{S_{△ EFC}} = (\frac{BE}{CE})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}. \therefore S_{△ EFC} = \frac{9}{4}S_{△ BDE} = \frac{9}{4} × 5 = \frac{45}{4}$
(2) $\because BD = \frac{2}{3}AD, \therefore \frac{BD}{AD} = \frac{2}{3}. \because DE // AC, \therefore \frac{BE}{CE} = \frac{BD}{AD} = \frac{2}{3}$. 由(1)知, $△ BDE ∽ △ EFC$, 且$S_{△ BDE}=5. \therefore \frac{S_{△ BDE}}{S_{△ EFC}} = (\frac{BE}{CE})^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}. \therefore S_{△ EFC} = \frac{9}{4}S_{△ BDE} = \frac{9}{4} × 5 = \frac{45}{4}$
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE∽△EFC，可使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理。结合题目给出的两组平行条件，利用平行线同位角相等的性质，找到两组对应角相等即可完成证明。
(2) 要求△EFC的面积，已知△BDE的面积，结合(1)的相似结论，只需求出两个相似三角形的相似比。首先根据BD与AD的比例关系，结合DE//AC，利用平行线分线段成比例得到BE与CE的比值，即两个相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE // AC，
∴ ∠BED = ∠C（两直线平行，同位角相等），
∵ EF // AB，
∴ ∠B = ∠FEC（两直线平行，同位角相等），
∴ △BDE ∽ △EFC（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ BD = $\frac{2}{3}$AD，
∴ $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{2}{3}$，
∵ DE // AC，
∴ $\frac{BE}{CE}$ = $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{2}{3}$，
由(1)知△BDE ∽ △EFC，且$S_{△BDE}=5$，
根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△BDE}}{S_{△EFC}}$ = $(\frac{BE}{CE})^2$ = $(\frac{2}{3})^2$ = $\frac{4}{9}$，
∴ $S_{△EFC}$ = $\frac{9}{4}S_{△BDE}$ = $\frac{9}{4}×5$ = $\frac{45}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{45}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，将平行线性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题核心是找准对应角和对应边的比例关系，熟练掌握相似三角形的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BDE∽△EFC，可使用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理。结合题目给出的两组平行条件，利用平行线同位角相等的性质，找到两组对应角相等即可完成证明。
(2) 要求△EFC的面积，已知△BDE的面积，结合(1)的相似结论，只需求出两个相似三角形的相似比。首先根据BD与AD的比例关系，结合DE//AC，利用平行线分线段成比例得到BE与CE的比值，即两个相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE // AC，
∴ ∠BED = ∠C（两直线平行，同位角相等），
∵ EF // AB，
∴ ∠B = ∠FEC（两直线平行，同位角相等），
∴ △BDE ∽ △EFC（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ BD = $\frac{2}{3}$AD，
∴ $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{2}{3}$，
∵ DE // AC，
∴ $\frac{BE}{CE}$ = $\frac{BD}{AD}$ = $\frac{2}{3}$，
由(1)知△BDE ∽ △EFC，且$S_{△BDE}=5$，
根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△BDE}}{S_{△EFC}}$ = $(\frac{BE}{CE})^2$ = $(\frac{2}{3})^2$ = $\frac{4}{9}$，
∴ $S_{△EFC}$ = $\frac{9}{4}S_{△BDE}$ = $\frac{9}{4}×5$ = $\frac{45}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $\frac{45}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，将平行线性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题核心是找准对应角和对应边的比例关系，熟练掌握相似三角形的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
