1. 若$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比为$2:3$，则$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}$为 【 】

A.$2:3$
B.$4:9$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$3:2$

B

【分析】
本题考查相似三角形的面积比与相似比的关系，解题思路如下：首先明确已知条件：$△ ABC$与$△ DEF$相似，相似比为$2:3$，要求两个三角形的面积比。接下来回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用该性质直接计算即可得到结果，注意不要把面积比的规律和周长比的规律混淆。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$2:3$。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ABC}:S_{△ DEF}=(2:3)^2=4:9$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、比例运算
【点评】
本题属于基础题，核心考察相似三角形面积比与相似比的对应关系，解题的关键是牢记相似三角形面积比为相似比的平方，避免与周长比等于相似比的知识点混淆。
【难度系数】
0.8

2. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB:DE=1:2$，则$△ ABC$与$△ DEF$的周长比等于 【 】

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$
D.$4:1$

A

【分析】
解题时首先识别题目考点为相似三角形的性质，第一步先确定两个相似三角形的相似比：题目给出△ABC∽△DEF，AB与DE是对应边，因此对应边的比AB:DE=1:2就是两个三角形的相似比；第二步回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，直接代入相似比即可得到周长比，从而选出正确选项。
【解析】
解：
∵△ABC∽△DEF，AB与DE为对应边
∴两三角形的相似比为AB:DE=1:2
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比
可得△ABC与△DEF的周长比为1:2
故选：A
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；相似比的概念
【点评】
本题属于基础题，直接考查相似三角形周长比与相似比的对应关系，熟练掌握相似三角形的相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2 m，CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是 【 】

A.$\frac{5}{6}$ m
B.$\frac{6}{7}$ m
C.$\frac{6}{5}$ m
D.$\frac{10}{3}$ m

C

【分析】
已知AB平行于CD，可先判定△PAB和△PCD相似，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。本题中点P到AB的距离是△PAB的高，点P到CD的距离是△PCD的高，结合已知的AB、CD长度和点P到CD的距离，列比例式即可求解点P到AB的距离。
【解析】
解：
∵AB//CD
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D
∴△PAB∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）
设点P到AB的距离为$h$ m，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{h}{\mathrm{点}P\mathrm{到}CD\mathrm{的距离}}=\frac{AB}{CD}$
代入已知$AB=2\ \mathrm{m}$，$CD=5\ \mathrm{m}$，点P到CD的距离为3 m，得：
$\frac{h}{3}=\frac{2}{5}$
解得$h=\frac{6}{5}$
即点P到AB的距离是$\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
【答案】C
【知识点】相似三角形判定；相似三角形性质；平行线性质
【点评】本题是相似三角形在投影问题中的基础应用，解题核心是利用平行条件推导三角形相似，再结合相似三角形对应高与对应边成比例的性质列式计算，掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】0.75

4. 已知两个相似三角形的对应中线之比为1：2，那么它们的周长之比为。

4. 1:2

【分析】
解题时先从题干给出的已知条件入手：首先看到题目涉及相似三角形的对应中线比，首先回忆相似三角形的基础性质：相似三角形的所有对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比，因此可先通过对应中线比确定两个三角形的相似比；接着再回忆相似三角形周长比的相关性质：相似三角形的周长比等于相似比，结合前面得到的相似比就能直接推出周长比。
【解析】
解：根据相似三角形的性质，相似三角形的对应中线之比等于相似比
已知两个相似三角形的对应中线之比为$1:2$，因此这两个三角形的相似比为$1:2$
又因为相似三角形的周长之比等于相似比
所以两个三角形的周长之比为$1:2$
【答案】
$1:2$
【知识点】
1.相似三角形对应线段性质
2.相似三角形周长性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础考题，解题核心是牢记相似比与对应线段比、周长比的等量关系，注意不要和相似三角形的面积比（相似比的平方）混淆。
【难度系数】
0.9

5. 如图,在△ABC中,直线DE//BC交AB于点D,交AC于点E,G为边BC上的点,连结AG交DE于点F.若DE:BC=1:2,则AF:AG=.

5. 1:2

【分析】
解题时先从已知条件DE//BC入手，首先由平行线可判定△ADE与△ABC相似，结合已知DE:BC=1:2得到两个三角形的相似比为1:2，即对应边AD:AB=1:2；再观察待求的AF、AG在同一条线段上，且DE//BC，可判定△ADF与△ABG相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出AF:AG的比值。
【解析】
解：
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
又
∵DE//BC，
∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠AGB，
∴△ADF∽△ABG（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，即AF:AG=1:2。
【答案】
1:2
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，核心是利用平行线得到相似三角形，再通过相似三角形对应边成比例求解线段比，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$△ ADE ∽ △ ACB$，$DE=3$，$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=9:16$，则$BC$的长为

6. 5

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出两个三角形相似，同时给出小三角形和四边形的面积比。第一步先推导两个相似三角形的面积比：大三角形$△ ACB$的面积等于$△ ADE$的面积与四边形$BCED$的面积之和，据此可将已知的面积比转化为$△ ADE$与$△ ACB$的面积比。第二步根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算出两个三角形的相似比。第三步结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的$DE$长度，即可求出$BC$的长度。
【解析】
解：$\because S_{△ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=9:16$
$\therefore S_{△ADE}:S_{△ACB}=9:(9+16)=9:25$
又$\because △ ADE ∽ △ ACB$
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得两三角形的相似比为：
$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$
再根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}$
把$DE=3$代入上式：
$\frac{3}{BC}=\frac{3}{5}$
解得 $BC=5$
【答案】
5
【知识点】
1.相似三角形面积比性质 2.相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，易错点是容易误将小三角形与四边形的面积比直接当作两个相似三角形的面积比计算，解题时先明确两个相似三角形的面积占比，再结合对应性质求解即可。
【难度系数】
0.7

7. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，边AB上的中线$CD=4\ \mathrm{cm}$，$△ ABC$的周长为$20\ \mathrm{cm}$，$△ A'B'C'$的面积为$64\ \mathrm{cm}^2$，求：
（1）边$A'B'$上的中线$C'D'$的长；
（2）$△ A'B'C'$的周长；
（3）$△ ABC$的面积。

(1) $\because △ ABC ∽ △ A'B'C', \frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$,边AB上的中线$CD=4\ \mathrm{cm}, \therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{1}{2}. \therefore C'D' = 4 × 2 = 8(\mathrm{cm})$. 即边$A'B'$上的中线$C'D'$的长为8cm
(2) $\because △ ABC ∽ △ A'B'C', \frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{△ ABC 的周长}{△ A'B'C' 的周长}=\frac{1}{2}$. 又$\because △ ABC$的周长为20 cm, $\therefore △ A'B'C'$的周长$=20 × 2 = 40(\mathrm{cm})$
(3) $\because △ ABC ∽ △ A'B'C', \frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{△ ABC 的面积}{△ A'B'C' 的面积}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$. 又$\because △ A'B'C'$的面积是$64\ \mathrm{cm}^2, \therefore △ ABC$的面积$=64 ÷ 4 = 16(\mathrm{cm}^2)$

【分析】
解决本题的核心是熟练运用相似三角形的相关性质，首先明确两个相似三角形的相似比为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$：（1）求对应中线的长，依据相似三角形对应中线的比等于相似比，代入已知中线长度即可求解；（2）求对应三角形的周长，依据相似三角形的周长比等于相似比，代入已知周长计算即可；（3）求对应三角形的面积，依据相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入已知面积计算即可。
【解析】
（1）$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，且相似三角形对应中线的比等于相似比，$CD$是$AB$边上的中线，$C'D'$是$A'B'$边上的中线，
$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{1}{2}$，
又$\because CD=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore C'D'=2× CD=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
（2）$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，且相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore \frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{1}{2}$，
又$\because C_{△ ABC}=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore C_{△ A'B'C'}=2× C_{△ ABC}=2×20=40\ \mathrm{cm}$。
（3）$\because △ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比$\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}$，且相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
又$\because S_{△ A'B'C'}=64\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{4}× S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{4}×64=16\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$8\ \mathrm{cm}$；
（2）$40\ \mathrm{cm}$；
（3）$16\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
相似三角形对应中线性质；相似三角形周长比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是牢记相似三角形对应线段比、周长比、面积比与相似比的关系，计算时注意区分面积比是相似比的平方，避免混淆关系导致计算错误。
【难度系数】
0.8