2026年学习检测九年级数学上册华师大版河南专版第76页答案

13. 如图,点 B、D、E 在同一条直线上,BE 与 AC 相交于点 F, $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$.
(1) 求证: $∠ BAD=∠ CAE$;
(2) 若 $∠ BAD=21°$, 求 $∠ EBC$ 的度数;
(3) 连结 EC,若 $AB=AC$, $BD=5$, 求 EC 的长.

答案

13.

解析

【分析】
(1) 要证明∠BAD=∠CAE，首先观察已知条件给出了三组边对应成比例，可依据“三边对应成比例的两个三角形相似”先证△ABC∽△ADE，得到对应角∠BAC=∠DAE，两个相等的角同时减去公共角∠DAF，即可推出∠BAD=∠CAE。
(2) 求∠EBC的度数时，可利用(1)中得到的相似三角形性质，得∠ABC=∠ADE，再结合三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，将∠ADE拆分为∠ABE+∠BAD，∠ABC拆分为∠ABE+∠EBC，通过等量代换即可得到∠EBC和∠BAD相等，代入已知角度即可求解。
(3) 求EC的长时，结合(1)中得到的∠BAD=∠CAE，以及已知的边的比例关系$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，可依据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证△ABD∽△ACE，再根据相似三角形对应边成比例，结合AB=AC的条件，即可推出EC与BD相等，代入BD的长度即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，
∴ △ABC∽△ADE（三边对应成比例的两个三角形相似），
∴ ∠BAC=∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠DAF = ∠DAE - ∠DAF，即∠BAD=∠CAE。
(2) 解：
∵ △ABC∽△ADE，
∴ ∠ABC=∠ADE，
∵ ∠ABC=∠ABE + ∠EBC，∠ADE是△ABD的外角，
∴ ∠ADE=∠ABE + ∠BAD，
∴ ∠EBC=∠BAD=21°。
(3) 解：
连结CE，由(1)知∠BAD=∠CAE，
又
∵ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴ △ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$，
∵ AB=AC，BD=5，
∴ CE=BD=5。
【答案】

(1) $\because \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE},\therefore △ ABC∽△ ADE.\ \therefore ∠ BAC=∠ DAE.\ \therefore ∠ BAC-∠ DAF=∠ DAE-∠ DAF,\mathrm{即}\ ∠ BAD=∠ CAE$
(2) $\because △ ABC∽△ ADE,\therefore ∠ ABC=∠ ADE.\ \because ∠ ABC=∠ ABE+∠ EBC,∠ ADE=∠ ABE+∠ BAD,\therefore ∠ EBC=∠ BAD=21°$
(3) 如图,连结 CE.由(1)知, $∠ BAD=∠ CAE.\ \mathrm{又}\because \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},\therefore △ ABD∽△ ACE.\ \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}.\ \because AB=AC,\ BD=5,\therefore CE=BD=5$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形模块的典型综合题，解题核心是根据已知的边的比例关系准确判定相似三角形，再结合角的等量代换、边的比例关系求解，能有效考查对相似三角形相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F，垂足为F，连结PE.
（1）求证：△PFA ∽△ABE；
（2）当PA为何值时，能使△PEF与△ABE相似.

答案

14.

(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AD// BC,\ ∠ B=90°.\ \therefore ∠ DAE=∠ AEB.\ \because PF⊥ AE,\therefore ∠ PFA=90°.\ \therefore ∠ B=∠ PFA.\ \therefore △ PFA∽△ ABE$
(2) 当$△ PFE∽△ ABE$时,如图①所示. $\therefore ∠ PEF=∠ AEB,\frac{EF}{EB}=\frac{PF}{AB}.$ 由题意,得 $AB=4,\ BE=\frac{1}{2}BC=2.\ \therefore \frac{EF}{2}=\frac{PF}{4}.\ \therefore PF=2EF.\ \because AE^2=AB^2+BE^2,\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{5}.\ \because ∠ DAE=∠ AEB.\ \therefore ∠ PAE=∠ PEA.\ \therefore PA=PE.\ \therefore △ PAE$ 是等腰三角形. $\because PF⊥ AE,\therefore$ 由三线合一,得 $AF=EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}.\ \therefore PF=2EF=2\sqrt{5}.\ \therefore PA=\sqrt{AF^2+PF^2}=\sqrt{5+20}=5.$ 当$△ EFP∽△ ABE$时,如图②所示. $\therefore ∠ PEF=∠ EAB.\ \therefore AB// PE.\ \therefore ∠ PEB=180°-∠ B=90°.\ \therefore$ 四边形 $ABEP$ 是矩形. $\therefore PA=BE=2.$ 综上,当 $PA$ 的值为 5 或 2 时,能使$△ PEF$与$△ ABE$相似

解析

【分析】
（1）要证明△PFA∽△ABE，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”推导：先根据正方形性质得到AD//BC、∠B=90°，推出内错角∠PAF=∠AEB，再结合PF⊥AE得到∠PFA=∠B=90°，即可完成相似证明。
（2）△PEF与△ABE相似时，对应顶点未明确，需分两种情况讨论：①当△PFE∽△ABE时，对应角∠PEF=∠AEB，可推出△PAE为等腰三角形，结合三线合一、勾股定理计算PA的长度；②当△EFP∽△ABE时，对应角∠PEF=∠EAB，可推出四边形ABEP为矩形，直接得到PA=BE，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD// BC$，$∠B=90°$，
∴$∠DAE=∠AEB$。
∵$PF⊥ AE$，
∴$∠PFA=90°$，
∴$∠B=∠PFA$，
∴$△ PFA ∽ △ ABE$。
(2) 解：
由题意得，$AB=4$，$E$是$BC$中点，故$BE=\frac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
分两种情况讨论相似：
① 如图①，当$△ PFE ∽ △ ABE$时，
∴$∠PEF=∠AEB$，$\frac{EF}{EB}=\frac{PF}{AB}$，即$\frac{EF}{2}=\frac{PF}{4}$，得$PF=2EF$。
∵$∠DAE=∠AEB$，
∴$∠PAE=∠PEA$，
∴$PA=PE$，即$△ PAE$为等腰三角形。
∵$PF⊥ AE$，由等腰三角形三线合一得$AF=EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$，
∴$PF=2EF=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ PAF$中，$PA=\sqrt{AF^2+PF^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2}=\sqrt{25}=5$。
② 如图②，当$△ EFP ∽ △ ABE$时，
∴$∠PEF=∠EAB$，
∴$PE// AB$，
∵$AD// BC$，$∠B=90°$，
∴四边形$ABEP$是矩形，
∴$PA=BE=2$。
综上，当$PA$的值为2或5时，$△ PEF$与$△ ABE$相似。
【答案】

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