1.（许昌一模）如图，在$△ ABC$中，D、E分别是BC、AC的中点，AD与BE相交于点G。若$BG=6$，则$EG=$ 【 】

A.4.5
B.4
C.3.5
D.3

D

【分析】
首先梳理题目条件：D、E分别是BC、AC的中点，可知AD、BE是△ABC的两条中线，二者交点G是三角形的重心；也可通过构造中位线结合相似三角形求解。若用重心性质，核心规律是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，可直接得到BG与EG的比例关系，代入BG的长度即可求出EG；若用相似法，先证明DE是中位线，得到DE与AB平行且长度为AB的一半，进而证明△DEG与△ABG相似，利用相似比得到BG与EG的比值，即可计算EG。
【解析】
方法一：利用重心性质求解
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴AD、BE是△ABC的中线，交点G是△ABC的重心。
根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，
∴$BG:EG=2:1$。
已知$BG=6$，
∴$EG=BG÷2=6÷2=3$。
方法二：利用相似三角形求解
连接DE，
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ DEG=∠ ABG$，$∠ EDG=∠ BAG$，
∴$△ DEG∽△ ABG$，相似比为$DE:AB=1:2$，
∴$BG:EG=AB:DE=2:1$。
∵$BG=6$，
∴$EG=6÷2=3$。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形重心的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，既可以直接利用重心性质快速解题，也可以通过中位线结合相似三角形的知识推导得出结果，解题的关键是熟练掌握三角形中线、重心、相似相关的基础性质。
【难度系数】
0.8

2.（永城期末）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是边$AB$上的高，则下列结论中不正确的是 【 】

A.$AC^2=AD· AB$
B.$CD^2=AD· BD$
C.$BC^2=BD· AB$
D.$CD· AD=AC· BC$

D

【分析】
本题可通过证明直角三角形斜边上的高分得的两个小直角三角形与原三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，逐一验证四个选项，最终选出不正确的结论。具体思路：1. 先根据已知直角、公共角、同角的余角相等，证明△ACD∽△ABC∽△CBD；2. 根据相似三角形的对应边成比例推导各边的关系，对应A、B、C选项的结论；3. 通过比例变形或面积法验证D选项是否成立。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°。
① 验证A选项：
∵∠A是△ACD和△ABC的公共角，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，交叉相乘得$AC^2=AD·AB$，A选项结论正确。
② 验证C选项：
∵∠B是△CBD和△ABC的公共角，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△CBD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，交叉相乘得$BC^2=BD·AB$，C选项结论正确。
③ 验证B选项：
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，交叉相乘得$CD^2=AD·BD$，B选项结论正确。
④ 验证D选项：
由△ABC的面积公式可得：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CD$，
整理得$AC·BC=AB·CD$，显然$AB·CD≠CD·AD$（AB≠AD），故D选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质；射影定理
【点评】
本题属于基础考题，核心考查直角三角形中由斜边上的高构造的相似三角形的性质应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.7

3. 如图,点P是$△ ABC$的重心,$AB=8$,连结$AP$、$BP$并延长,分别交$BC$、$AC$于点$D$、$E$,连结$DE$,则$DE$的长为 【 】

A.2
B.3
C.4
D.5
（第3题）

C

【分析】
解题时首先明确重心的定义：三角形的重心是三条中线的交点，由此可得AD、BE均为△ABC的中线，即D、E分别是BC、AC的中点，进而判断DE是△ABC的中位线，最后结合中位线定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵点P是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D是BC的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=8，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形重心的性质 2.三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形重心性质和中位线定理的掌握，熟练记忆相关定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4.（淮北期末）如图，$△ ABC$的中线$BD$、$CE$相交于点$O$，连结$OA$，点$G$、$F$分别为$OC$、$OB$的中点，$BC=10$，$AO=8$，则四边形$DEFG$的周长为 【 】

A.20
B.18
C.16
D.14

B

【分析】
已知BD、CE是△ABC的中线，可得D、E分别是AC、AB的中点，结合G、F是OC、OB的中点，图形中存在多组中点，优先考虑运用三角形中位线定理解题。我们先通过中位线定理分别得到四边形DEFG各边与已知线段BC、AO的数量关系，再判定四边形的形状，最后代入数值计算周长即可。
【解析】
解：
∵BD、CE是△ABC的中线，
∴D、E分别为AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
∵G、F分别为OC、OB的中点，
∴GF是△OBC的中位线，
∴$GF// BC$，$GF=\frac{1}{2}BC=5$，
∴$DE// GF$且$DE=GF$，故四边形DEFG是平行四边形。
同理，DG是△AOC的中位线，
∴$DG=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×8=4$。
∴平行四边形DEFG的周长为$2×(DE+DG)=2×(5+4)=18$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础类题型，解题关键是看到多个中点关联出现时，联想到三角形中位线定理，通过中位线的性质得到线段的平行关系和长度关系，进而判定四边形形状求解周长，熟练掌握中位线定理即可快速作答。
【难度系数】
0.7

5. (温州模拟)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AC=6$,$AB=8$,点$E$为$△ ABC$的重心,则$AE$的长为.

5. $\frac{10}{3}$

【分析】
解题可按三步思考：第一步，已知Rt△ABC的两条直角边长，首先用勾股定理计算斜边BC的长度；第二步，AD是BC边上的中线，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出中线AD的长度；第三步，E是三角形重心，根据重心将中线分为2:1的两段（顶点到重心的距离占中线的$\frac{2}{3}$），即可求出AE的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=6$，根据勾股定理：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
设$AD$为$BC$边上的中线，即$D$为$BC$中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$
$\because E$为$△ ABC$的重心，重心分中线的比为$AE:ED=2:1$
$\therefore AE=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×5=\frac{10}{3}$
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；三角形重心性质
【点评】
本题是几何基础计算题，将直角三角形的性质与重心性质结合考查，解题的核心是熟记相关性质，按步骤推导即可，属于常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，点$G$是$△ ABC$的重心，连结$AG$并延长交$BC$于点$E$，过点$G$作$GF // AB$交$BC$于点$F$.如果$EF=2$，那么$CE=$.

6. 6

【分析】
解题时首先回忆三角形重心的性质：①重心是三角形三条中线的交点，故过重心与顶点相连的线段延长后交对边于中点，可得E是BC中点，即CE=BE；②重心分中线的比为AG:GE=2:1，可得EG与AE的比值。再结合GF//AB的条件，可判定△EGF与△EAB相似，利用相似三角形对应边成比例求出BE的长度，即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵点G是△ABC的重心，AE是连接AG延长交BC的线段
∴E为BC的中点，即$CE=BE$，且$AG:GE=2:1$
∴$\frac{EG}{EA}=\frac{EG}{AG+EG}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$
∵$GF// AB$
∴$∠ GFE=∠ ABE$，$∠ EGF=∠ EAB$
∴$△ EGF ∽ △ EAB$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{EG}{EA}=\frac{1}{3}$
已知$EF=2$，代入得$\frac{2}{BE}=\frac{1}{3}$，解得$BE=6$
又
∵$CE=BE$
∴$CE=6$
【答案】
6
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何计算题，将三角形重心的性质和相似三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握重心的性质得到线段比例关系，再结合平行线判定相似三角形，通过相似比求解对应线段长度。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ADC=∠ACB=90°.
(1)求证: $AC^2 = AB · AD$;
(2)若BC=3,AB=5,求CD的长.

(1) $\because AC$ 平分$∠ BAD, \therefore ∠ DAC = ∠ CAB. \because ∠ ADC = ∠ ACB = 90°,\therefore △ ADC ∽ △ ACB. \therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}. \therefore AC^2 = AB · AD$
(2) $\because ∠ ACB = 90°, BC = 3, AB = 5,\therefore AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$. 由(1)知, $AC^2 = AB · AD. \therefore AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}. \because ∠ ADC = 90°,\therefore CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{16}{5})^2} = \frac{12}{5}$

【分析】
(1) 要证明等积式$AC^2 = AB·AD$，可先将其转化为比例式$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，只需证明包含这四条边的两个三角形相似即可；已知AC平分∠BAD可得一组对应角相等，再结合已知的两个直角相等，即可证明$△ ADC ∽ △ ACB$，进而得到比例式推导得证。(2) 先在$Rt△ ACB$中利用勾股定理求出AC的长度，再借助第(1)问的结论求出AD的长，最后在$Rt△ ADC$中用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because AC$平分$∠ BAD$，$\therefore ∠ DAC = ∠ CAB$。
又$\because ∠ ADC = ∠ ACB = 90°$，
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
$\therefore AC^2 = AB · AD$。
(2) 解：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$BC=3$，$AB=5$，
由勾股定理得：$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由(1)的结论$AC^2 = AB · AD$，代入数值可得：
$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (\frac{16}{5})^2} = \frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CD=\frac{12}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何综合题，将相似三角形与勾股定理结合考察，证明等积式的常用方法是将其转化为比例式，通过证明对应三角形相似推导结论，后续问题可直接使用前一问的结论简化运算，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7