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4.如图5-3-2,一个正方形点阵,其水平方向和竖直方向相邻的两点间的距离都为一个单位长,以这些点为顶点的三角形称为网格三角形,请回答下列问题:
(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形.
(2)任意取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求$△ ABM$的面积为2的概率.
(3)任意取该点阵中能与A,B构成三角形的一点N,求$△ ABN$为直角三角形的概率.
(1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形.
(2)任意取该点阵中能与A,B构成三角形的一点M,求$△ ABM$的面积为2的概率.
(3)任意取该点阵中能与A,B构成三角形的一点N,求$△ ABN$为直角三角形的概率.
答案
4. (1) 图略；(2) $\dfrac{3}{14}$；(3) $\dfrac{3}{14}$.
解析
【分析】
(1) 要画以AB为边、面积为2的网格三角形，先利用三角形面积公式推导点到AB的距离要求：先确定AB所在直线斜率为1，计算得满足面积为2时，第三个顶点到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，在点阵中找到符合该距离的格点连接即可。
(2) 计算概率先确定总样本数：先算点阵总点数，排除A、B两点和与A、B共线的点，得到所有能与A、B构成三角形的点的总数；再计数满足$△ ABM$面积为2的点的个数，用符合条件的点数除以总样本数得概率。
(3) 求直角三角形的概率，先按直角顶点位置分类（直角在A、直角在B、直角在N）计数符合条件的N点总数，再除以总样本数即可。
【解析】
解：(1) 设相邻两点距离为1，由A、B位置可知直线AB斜率为1，AB长度为$2\sqrt{2}$。设第三个顶点为C，若$S_{△ ABC}=2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×h=2$，解得$h=\sqrt{2}$，在点阵中任找一个到直线AB距离为$\sqrt{2}$的格点，连接AC、BC即可，画图略。
(2) 点阵共8行8列，总点数为$8×8=64$个。直线AB是斜率为1的对角线，该直线上共有8个格点，其中除A、B外的6个点与A、B共线，不能构成三角形，因此能与A、B构成三角形的点的总数为$64-2-6=56$个。经计数，满足$△ ABM$面积为2的点M共有12个，因此概率$P=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
(3) 分类计数能与A、B构成直角三角形的点N：①直角顶点为A，共4个点；②直角顶点为B，共4个点；③直角顶点为N，共4个点，合计12个符合条件的点。因此概率$P=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
【答案】
(1) 图略；(2) $\dfrac{3}{14}$；(3) $\dfrac{3}{14}$
【知识点】
三角形面积计算，概率公式，直角三角形判定
【点评】
本题结合网格情境考查三角形相关性质与概率计算，解题关键是先准确计算可构成三角形的总点数，再分类计数符合条件的点，注意排除共线点避免计数错误，对格点计数能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要画以AB为边、面积为2的网格三角形，先利用三角形面积公式推导点到AB的距离要求：先确定AB所在直线斜率为1，计算得满足面积为2时，第三个顶点到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，在点阵中找到符合该距离的格点连接即可。
(2) 计算概率先确定总样本数：先算点阵总点数，排除A、B两点和与A、B共线的点，得到所有能与A、B构成三角形的点的总数；再计数满足$△ ABM$面积为2的点的个数，用符合条件的点数除以总样本数得概率。
(3) 求直角三角形的概率，先按直角顶点位置分类（直角在A、直角在B、直角在N）计数符合条件的N点总数，再除以总样本数即可。
【解析】
解：(1) 设相邻两点距离为1，由A、B位置可知直线AB斜率为1，AB长度为$2\sqrt{2}$。设第三个顶点为C，若$S_{△ ABC}=2$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×h=2$，解得$h=\sqrt{2}$，在点阵中任找一个到直线AB距离为$\sqrt{2}$的格点，连接AC、BC即可，画图略。
(2) 点阵共8行8列，总点数为$8×8=64$个。直线AB是斜率为1的对角线，该直线上共有8个格点，其中除A、B外的6个点与A、B共线，不能构成三角形，因此能与A、B构成三角形的点的总数为$64-2-6=56$个。经计数，满足$△ ABM$面积为2的点M共有12个，因此概率$P=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
(3) 分类计数能与A、B构成直角三角形的点N：①直角顶点为A，共4个点；②直角顶点为B，共4个点；③直角顶点为N，共4个点，合计12个符合条件的点。因此概率$P=\frac{12}{56}=\frac{3}{14}$。
【答案】
(1) 图略；(2) $\dfrac{3}{14}$；(3) $\dfrac{3}{14}$
【知识点】
三角形面积计算，概率公式，直角三角形判定
【点评】
本题结合网格情境考查三角形相关性质与概率计算，解题关键是先准确计算可构成三角形的总点数，再分类计数符合条件的点，注意排除共线点避免计数错误，对格点计数能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5.为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油进行检测，两种品牌食用油共抽取18瓶，检测结果分成优秀、合格、不合格三个等级，数据处理后制成以下折线统计图(如图5-3-3)和扇形统计图(如图5-3-4).
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）在该超市购买1瓶乙品牌食用油，请估计能买到优秀等级的概率.
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）在该超市购买1瓶乙品牌食用油，请估计能买到优秀等级的概率.
答案
5. (1) 综合两图信息可知，甲种品牌食用油有1瓶不合格，乙种品牌食用油有0瓶不合格，
∴ 甲种品牌食用油抽取 $1÷10\% = 10$(瓶)，乙种品牌食用油抽取 $18-10=8$(瓶).
(2) 优秀等级的食用油中，甲种品牌有 $10×60\% =6$(瓶)，乙种品牌有 $10-6=4$(瓶)，
∴ $P$(优秀等级的乙种品牌食用油) $=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.
∴ 甲种品牌食用油抽取 $1÷10\% = 10$(瓶)，乙种品牌食用油抽取 $18-10=8$(瓶).
(2) 优秀等级的食用油中，甲种品牌有 $10×60\% =6$(瓶)，乙种品牌有 $10-6=4$(瓶)，
∴ $P$(优秀等级的乙种品牌食用油) $=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时先找两个统计图的关联信息作为突破口：①折线统计图反映了甲、乙两种品牌各等级的总瓶数，可知不合格的总共有1瓶；②扇形统计图是甲品牌的等级占比，可知甲不合格占比为10%。由此可判断总不合格的1瓶都来自甲品牌，先求出甲的抽取总数，再结合总抽取数18瓶求出乙的抽取数。第二问先根据甲的总数和优秀占比求出甲的优秀瓶数，再结合折线图中优秀总瓶数求出乙的优秀瓶数，最后用乙的优秀瓶数除以乙的总瓶数即可得到对应概率。
【解析】
（1）由折线统计图可知，两种品牌食用油不合格的总瓶数为1瓶；由甲品牌的扇形统计图可知，甲不合格瓶数占甲抽取总数的10%，且乙品牌无不合格产品，因此不合格的1瓶均为甲品牌。
甲品牌抽取瓶数：$1÷10\%=10$（瓶）
乙品牌抽取瓶数：$18-10=8$（瓶）
（2）先计算甲品牌优秀的瓶数：$10×60\%=6$（瓶）
由折线统计图可知，优秀等级总共有10瓶，因此乙品牌优秀的瓶数为：$10-6=4$（瓶）
购买1瓶乙品牌食用油是优秀等级的概率：$P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 甲种品牌食用油被抽取了10瓶，乙种品牌食用油被抽取了8瓶；
(2) 估计能买到优秀等级乙品牌食用油的概率为$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
折线统计图的应用、扇形统计图的应用、简单概率计算
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，解题关键是找到不同图表之间的关联数据，从不合格产品数量这个突破口入手逐步推导，同时结合概率公式求解，能够锻炼学生读取统计信息、综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先找两个统计图的关联信息作为突破口：①折线统计图反映了甲、乙两种品牌各等级的总瓶数，可知不合格的总共有1瓶；②扇形统计图是甲品牌的等级占比，可知甲不合格占比为10%。由此可判断总不合格的1瓶都来自甲品牌，先求出甲的抽取总数，再结合总抽取数18瓶求出乙的抽取数。第二问先根据甲的总数和优秀占比求出甲的优秀瓶数，再结合折线图中优秀总瓶数求出乙的优秀瓶数，最后用乙的优秀瓶数除以乙的总瓶数即可得到对应概率。
【解析】
（1）由折线统计图可知，两种品牌食用油不合格的总瓶数为1瓶；由甲品牌的扇形统计图可知，甲不合格瓶数占甲抽取总数的10%，且乙品牌无不合格产品，因此不合格的1瓶均为甲品牌。
甲品牌抽取瓶数：$1÷10\%=10$（瓶）
乙品牌抽取瓶数：$18-10=8$（瓶）
（2）先计算甲品牌优秀的瓶数：$10×60\%=6$（瓶）
由折线统计图可知，优秀等级总共有10瓶，因此乙品牌优秀的瓶数为：$10-6=4$（瓶）
购买1瓶乙品牌食用油是优秀等级的概率：$P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) 甲种品牌食用油被抽取了10瓶，乙种品牌食用油被抽取了8瓶；
(2) 估计能买到优秀等级乙品牌食用油的概率为$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
折线统计图的应用、扇形统计图的应用、简单概率计算
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，解题关键是找到不同图表之间的关联数据，从不合格产品数量这个突破口入手逐步推导，同时结合概率公式求解，能够锻炼学生读取统计信息、综合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
