1. 判断下列说法是否有误,并说明原因.
（1）连续掷一枚质地均匀的硬币,若5次都是正面朝上,则第6次仍然正面朝上.

（2）投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次.

（3）袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球,从中随机抽出1个球,一定是红球.

（4）某地发行一种福利彩票,中奖率是千分之一,买这种彩票1000张,一定会中奖.

（5）“某市明天下雨的概率是75%”是指该市明天将有75%的地区下雨.

（6）抛掷两枚硬币,不是两个正面,就是两个反面,要不然就是一正一反,所以,这三种情况出现的机会均是三分之一.

1. (1) 错误，第6次可能正面朝上.
(2) 错误，正面朝上的次数可能为50次.
(3) 错误，从中随机抽出1个球可能是红球.
(4) 错误，买这种彩票1000张，可能会中奖.
(5) 错误，是指该市明天下雨的可能性为75%.
(6) 错误，抛掷两枚硬币，会出现四种情况：正正，反反，正反，反正. 所以，各种情况出现的机会均是四分之一.

【分析】
这道题围绕概率的基础概念设置判断，解题时需紧扣3个核心要点逐一分析每个说法：①随机事件的发生具有不确定性，概率仅描述事件发生的可能性大小，不代表事件必然发生或不发生；②独立随机事件的结果不受之前试验结果的影响；③计算等可能事件的概率时，需正确列举所有等可能的试验结果，避免漏算重复情况。具体解题时先判断每个说法的正误，再结合对应概念说明原因即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
（1）掷质地均匀的硬币属于独立随机事件，每次正面朝上的概率均为$\frac{1}{2}$，前5次的试验结果不影响第6次的结果，第6次正面朝上是可能发生，不是必然发生，因此原说法错误。
（2）投掷硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$，指大量重复试验时，正面朝上的频率会稳定在$\frac{1}{2}$附近，投掷100次属于有限次试验，正面朝上的次数是不确定的，可能为50次，不是一定为50次，因此原说法错误。
（3）袋中既有红球也有白球，随机抽1个球时，抽到红球、白球都是随机事件，可能抽到红球，不是必然抽到红球，因此原说法错误。
（4）彩票中奖率是千分之一，指每张彩票中奖的可能性为$\frac{1}{1000}$，买1000张彩票仍属于随机事件，可能中奖，不是必然中奖，因此原说法错误。
（5）“明天下雨的概率是75%”是指明天下雨这个事件发生的可能性大小为75%，和下雨的地区占比无关，因此原说法错误。
（6）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种，其中正正、反反的概率各为$\frac{1}{4}$，一正一反的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，三种情况的概率并不相等，因此原说法错误。
【答案】
(1) 错误，第6次可能正面朝上。
(2) 错误，正面朝上的次数可能为50次。
(3) 错误，从中随机抽出1个球可能是红球。
(4) 错误，买这种彩票1000张，可能会中奖。
(5) 错误，是指该市明天下雨的可能性为75%。
(6) 错误，抛掷两枚硬币，会出现四种情况：正正，反反，正反，反正。所以，各种情况出现的机会均是四分之一。
【知识点】
随机事件的特点、概率的意义、等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率章节的常见基础题型，易错点在于容易将概率描述的可能性误认为是必然结果，以及列举等可能事件结果时出现遗漏。准确理解概率的本质含义、正确列举试验的所有等可能结果即可准确作答。
【难度系数】
0.7

2.如图5-3-1,两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成两个扇形,各扇形内都标有数字,同时转动两个转盘,转盘停止后,指针所指扇形的数字之和为4的概率是多少?

图5-3-1
甲的解法:
列出所有等可能事件:
$1+1=2,\quad 1+2=3,$
$2+1=3,\quad 2+2=4.$
∴ 数字之和为4的概率 $P=\dfrac{1}{4}.$
乙的解法:
列出所有等可能事件:
$1+1=2,1+2=3,2+1=3,$
$2+2=4,2+1=3,2+2=4.$
∴ 数字之和为4的概率 $P=\dfrac{1}{3}.$
以上两种解法是否正确?请说明原因.

2. 甲错，乙正确. 把左图看作三个等分扇形.

【分析】
用列举法计算概率的核心前提是所有列举的基本事件必须是等可能的。首先分析两个转盘的区域占比：左侧转盘标1的扇形圆心角为120°，标2的扇形圆心角为240°，因此转动左盘时指向2的概率是指向1的2倍，两个结果不是等可能的；右侧转盘标1、2的扇形圆心角均为180°，两个结果是等可能的。解题时需先将左盘的结果拆分为等可能的基本事件，即把左盘标2的区域平均分成2个和标1区域面积相等的扇形，此时左盘相当于有3个等可能结果，再结合右盘的结果列举所有等可能事件，即可判断两种解法的对错。
【解析】
1. 计算两个转盘指向不同数字的概率：
左盘：$P(\mathrm{指向1})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{指向2})=\frac{360°-120°}{360°}=\frac{2}{3}$，指向1和指向2不是等可能事件；
右盘：$P(\mathrm{指向1})=P(\mathrm{指向2})=\frac{180°}{360°}=\frac{1}{2}$，指向1和指向2是等可能事件。
2. 分析甲的解法：甲错误认为左盘指向1、2是等可能事件，默认两个转盘各有2种等可能结果，总共有4种等可能事件，不符合左盘的实际区域占比，因此甲的解法错误。
3. 分析乙的解法：乙将左盘标2的区域拆分为2个和标1区域等面积的部分，此时左盘有3种等可能结果：1、2、2，右盘有2种等可能结果：1、2，总共有$3×2=6$种等可能事件，其中数字和为4的情况有2种（2+2、2+2），因此概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，计算过程符合等可能事件的要求，因此乙的解法正确。
【答案】
甲错，乙正确. 把左图看作三个等分扇形.
【知识点】
等可能事件判断、列举法求概率、几何概率
【点评】
本题的易错点是忽略列举法求概率的前提是所有基本事件等可能，不少同学会直接按区域数量划分事件，忽略不同区域面积占比对概率的影响，解题时要先根据区域面积占比判断事件发生的可能性是否相等，再进行后续的概率计算。
【难度系数】
0.6

3.现有2个$30°$的角、1个$45°$的角、2个$60°$的角和1个$90°$的角.
（1）每次抽取2个角，做好记录，放回搅匀再抽.请你画出树状图，利用树状图求出抽取的2个角拼成钝角的概率是多少.
（2）借助（1）的树状图猜想：一次抽取3个角，这3个角恰好是三角形三个内角的概率是多少？

3. (1) 树状图如图；$\dfrac{8}{15}$.
(2) $\dfrac{1}{5}$.

【分析】
（1）解决本题先明确角的总数：2个30°、1个45°、2个60°、1个90°，共6个角，一次抽取2个角为不放回抽样，首先计算所有等可能的抽取结果总数；再根据钝角的定义（大于90°且小于180°），找出两个角的和满足钝角要求的结果数；最后根据概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
（2）第二问先回忆三角形内角和为180°，首先找出所有三个角相加等于180°的角的组合，再计算一次抽取3个角的所有等可能结果总数，以及符合条件的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）我们将6个角标记为：$30°_1$、$30°_2$、$45°$、$60°_1$、$60°_2$、$90°$。
一次抽取2个角，所有等可能的结果共有$\dfrac{6×5}{2}=15$种，分别为：
$(30°_1,30°_2)$、$(30°_1,45°)$、$(30°_1,60°_1)$、$(30°_1,60°_2)$、$(30°_1,90°)$、
$(30°_2,45°)$、$(30°_2,60°_1)$、$(30°_2,60°_2)$、$(30°_2,90°)$、
$(45°,60°_1)$、$(45°,60°_2)$、$(45°,90°)$、
$(60°_1,60°_2)$、$(60°_1,90°)$、$(60°_2,90°)$
根据钝角定义（大于90°且小于180°），计算两个角的和，符合条件的结果有：
$(30°_1,90°)$、$(30°_2,90°)$、$(45°,60°_1)$、$(45°,60°_2)$、$(45°,90°)$、$(60°_1,60°_2)$、$(60°_1,90°)$、$(60°_2,90°)$，共8种。
所以抽取的2个角拼成钝角的概率$P=\dfrac{8}{15}$，树状图如图。
（2）一次抽取3个角，所有等可能的结果共有$\dfrac{6×5×4}{3×2×1}=20$种。
三角形三个内角和为180°，枚举所有三个角的和，仅$30°+60°+90°=180°$符合要求。
从2个30°中选1个，2个60°中选1个，1个90°中选1个，符合条件的结果共有$2×2×1=4$种。
所以这3个角恰好是三角形三个内角的概率$P=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
(1) 树状图如图；$\dfrac{8}{15}$
(2) $\dfrac{1}{5}$
【知识点】
概率计算；钝角定义；三角形内角和
【点评】
本题结合角的性质考查概率的求解，解题时需要准确枚举所有等可能结果，避免漏算或多算符合条件的结果，掌握基础的角的性质和概率公式是解题的核心。
【难度系数】
0.6