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利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤。
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标：
由图象可知，交点的横坐标的取值范围，可通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围（或将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值）；
(3)确定方程的解。
（注意：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果一般只取到
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标：
由图象可知，交点的横坐标的取值范围，可通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围（或将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值）；
(3)确定方程的解。
（注意：用图象法求一元二次方程的近似根时，结果一般只取到
十分位
）答案
十分位
解析
【分析】
本题考查用二次函数图象求一元二次方程近似根的结果精度要求，可结合对应的操作步骤推导答案：求解过程中提到可将单位长度十等分来缩小根的范围，单位长度十等分后每一小段代表0.1个单位，因此最终近似根的常规精度对应十分位，符合这类近似求解的统一要求。
【解析】
用二次函数图象求解一元二次方程近似根时，通常先确定根所在的整数区间，再通过将单位长度十等分的方式逐步缩小根的取值范围，每次划分的精度为0.1，为了统一近似计算的规范，同时满足普通场景的精度需求，最终得到的方程近似根结果一般只取到十分位。
【答案】
十分位
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似根求解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对图象法求一元二次方程近似根的操作规范的掌握，熟悉相关操作流程即可快速作答。
【难度系数】
0.85
本题考查用二次函数图象求一元二次方程近似根的结果精度要求，可结合对应的操作步骤推导答案：求解过程中提到可将单位长度十等分来缩小根的范围，单位长度十等分后每一小段代表0.1个单位，因此最终近似根的常规精度对应十分位，符合这类近似求解的统一要求。
【解析】
用二次函数图象求解一元二次方程近似根时，通常先确定根所在的整数区间，再通过将单位长度十等分的方式逐步缩小根的取值范围，每次划分的精度为0.1，为了统一近似计算的规范，同时满足普通场景的精度需求，最终得到的方程近似根结果一般只取到十分位。
【答案】
十分位
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程近似根求解
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对图象法求一元二次方程近似根的操作规范的掌握，熟悉相关操作流程即可快速作答。
【难度系数】
0.85
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值列表如下：
则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似根是(
A.$x=0$
B.$x=1.2$
C.$x=1.3$
D.$x=1.1$
则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似根是(
C
)。A.$x=0$
B.$x=1.2$
C.$x=1.3$
D.$x=1.1$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。因此我们只需要在表格中找到最接近0的$y$值，它对应的$x$就是方程的近似根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格中的函数值：
当$x=1.2$时，$y=-0.49$；
当$x=1.3$时，$y=0.04$；
其中$0.04$是给出的$y$值里最接近0的，因此对应的$x=1.3$就是方程的一个近似根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；估算方程近似根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题核心是理解方程的根对应函数值为0时的自变量，通过对比函数值和0的接近程度即可得到近似根，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。因此我们只需要在表格中找到最接近0的$y$值，它对应的$x$就是方程的近似根。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的$x$值。
观察表格中的函数值：
当$x=1.2$时，$y=-0.49$；
当$x=1.3$时，$y=0.04$；
其中$0.04$是给出的$y$值里最接近0的，因此对应的$x=1.3$就是方程的一个近似根。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；估算方程近似根
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题核心是理解方程的根对应函数值为0时的自变量，通过对比函数值和0的接近程度即可得到近似根，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
2. 已知 $ m ＞ 0 $，关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (x+1)(x-2) - m = 0 $ 的解为 $ x_1, x_2 (x_1 ＜ x_2) $，则下列结论正确的是(
A.$ x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2 $
B.$ -1 ＜ x_1 ＜ 2 ＜ x_2 $
C.$ -1 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 2 $
D.$ x_1 ＜ -1 ＜ x_2 ＜ 2 $
A
)。A.$ x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2 $
B.$ -1 ＜ x_1 ＜ 2 ＜ x_2 $
C.$ -1 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ 2 $
D.$ x_1 ＜ -1 ＜ x_2 ＜ 2 $
答案
2. A
解析
【分析】
我们可以借助二次函数与一元二次方程的关系解题：首先将原方程变形为$(x+1)(x-2)=m$，其解等价于二次函数$y=(x+1)(x-2)$的函数值为$m(m＞0)$时对应的自变量$x$的值。我们先找到该二次函数与$x$轴的交点，再结合抛物线开口方向，就能判断出函数值大于0时$x$的取值范围，进而得到$x_1、x_2$与$-1、2$的大小关系。也可以通过求根公式直接计算两根的范围进行判断。
【解析】
方法一：数形结合法
1. 设二次函数$y=(x+1)(x-2)=x^2 - x - 2$，原方程的解就是$y=m(m＞0)$时对应的$x$值，记为$x_1、x_2(x_1＜x_2)$。
2. 求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=2$，即抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$两点。
3. 抛物线二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
4. 开口向上的抛物线中，当函数值$y＞0$时，自变量$x$的取值在两个交点外侧，即$x＜-1$或$x＞2$。
5. 结合$x_1＜x_2$可得：$x_1＜-1$，$x_2＞2$，因此大小关系为$x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2$。
方法二：求根公式法
将原方程整理为标准一元二次方程：$x^2 - x - (2 + m)=0$
由求根公式得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1 + 4(2 + m)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{9 + 4m}}{2}$
因为$m＞0$，所以$\sqrt{9 + 4m}＞\sqrt{9}=3$
则$x_1=\frac{1 - \sqrt{9 + 4m}}{2}＜\frac{1 - 3}{2}=-1$，$x_2=\frac{1 + \sqrt{9 + 4m}}{2}＞\frac{1 + 3}{2}=2$
因此$x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的分布判断，既可通过求根公式直接计算推导，也可利用数形结合思想，将方程问题转化为二次函数的函数值问题求解，数形结合的方法更简便快捷。
【难度系数】
0.7
我们可以借助二次函数与一元二次方程的关系解题：首先将原方程变形为$(x+1)(x-2)=m$，其解等价于二次函数$y=(x+1)(x-2)$的函数值为$m(m＞0)$时对应的自变量$x$的值。我们先找到该二次函数与$x$轴的交点，再结合抛物线开口方向，就能判断出函数值大于0时$x$的取值范围，进而得到$x_1、x_2$与$-1、2$的大小关系。也可以通过求根公式直接计算两根的范围进行判断。
【解析】
方法一：数形结合法
1. 设二次函数$y=(x+1)(x-2)=x^2 - x - 2$，原方程的解就是$y=m(m＞0)$时对应的$x$值，记为$x_1、x_2(x_1＜x_2)$。
2. 求抛物线与$x$轴的交点：令$y=0$，解得$x=-1$或$x=2$，即抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$和$(2,0)$两点。
3. 抛物线二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
4. 开口向上的抛物线中，当函数值$y＞0$时，自变量$x$的取值在两个交点外侧，即$x＜-1$或$x＞2$。
5. 结合$x_1＜x_2$可得：$x_1＜-1$，$x_2＞2$，因此大小关系为$x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2$。
方法二：求根公式法
将原方程整理为标准一元二次方程：$x^2 - x - (2 + m)=0$
由求根公式得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1 + 4(2 + m)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{9 + 4m}}{2}$
因为$m＞0$，所以$\sqrt{9 + 4m}＞\sqrt{9}=3$
则$x_1=\frac{1 - \sqrt{9 + 4m}}{2}＜\frac{1 - 3}{2}=-1$，$x_2=\frac{1 + \sqrt{9 + 4m}}{2}＞\frac{1 + 3}{2}=2$
因此$x_1 ＜ -1 ＜ 2 ＜ x_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象性质
【点评】
本题考查一元二次方程根的分布判断，既可通过求根公式直接计算推导，也可利用数形结合思想，将方程问题转化为二次函数的函数值问题求解，数形结合的方法更简便快捷。
【难度系数】
0.7
3. 小颖用计算器探索方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 $ x = -3.4 $，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（
A.$ x = 4.4 $
B.$ x = 3.4 $
C.$ x = 2.4 $
D.$ x = 1.4 $
D
）。A.$ x = 4.4 $
B.$ x = 3.4 $
C.$ x = 2.4 $
D.$ x = 1.4 $
答案
3. D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。其次抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为$x=-1$，其中一个根为$x=-3.4$，代入对称关系即可求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$。
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，且抛物线的对称轴为$x=-1$，
∴ 抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个根的平均数等于对称轴的x坐标：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$-3.4 + x = -2$
解得：$x = -2 + 3.4 = 1.4$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是利用抛物线的对称性建立两个根与对称轴的等量关系，不需要求出函数解析式即可快速求解，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。其次抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为$x=-1$，其中一个根为$x=-3.4$，代入对称关系即可求出另一个根。
【解析】
设方程的另一个近似根为$x$。
∵ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，且抛物线的对称轴为$x=-1$，
∴ 抛物线与x轴的两个交点关于直线$x=-1$对称，即两个根的平均数等于对称轴的x坐标：
$\frac{-3.4 + x}{2} = -1$
等式两边同乘2得：$-3.4 + x = -2$
解得：$x = -2 + 3.4 = 1.4$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题核心是利用抛物线的对称性建立两个根与对称轴的等量关系，不需要求出函数解析式即可快速求解，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象，由图象可知关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是(
A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$且$x＞5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
D
)。A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$且$x＞5$
D.$x＜-1$或$x＞5$
答案
4. D
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是找二次函数图象落在$x$轴下方时对应的$x$的取值范围。首先观察图象可得：抛物线对称轴为直线$x=2$，与$x$轴的一个交点是$(5,0)$，我们可以先利用二次函数的对称性求出它与$x$轴的另一个交点坐标，再结合抛物线开口方向，就能确定图象在$x$轴下方对应的$x$的取值范围。
【解析】
解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，图象与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数图象的对称性，设抛物线与$x$轴的另一个交点横坐标为$x_1$，两个交点关于对称轴对称，因此满足：
$\frac{x_1+5}{2}=2$
解得$x_1=2×2-5=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应二次函数图象位于$x$轴下方的部分，由图可知抛物线开口向下，因此图象在$x$轴下方时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是利用二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，要注意解集是两个不连续的区间，需要用“或”连接，不要误选成“且”的表述。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是找二次函数图象落在$x$轴下方时对应的$x$的取值范围。首先观察图象可得：抛物线对称轴为直线$x=2$，与$x$轴的一个交点是$(5,0)$，我们可以先利用二次函数的对称性求出它与$x$轴的另一个交点坐标，再结合抛物线开口方向，就能确定图象在$x$轴下方对应的$x$的取值范围。
【解析】
解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，图象与$x$轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
根据二次函数图象的对称性，设抛物线与$x$轴的另一个交点横坐标为$x_1$，两个交点关于对称轴对称，因此满足：
$\frac{x_1+5}{2}=2$
解得$x_1=2×2-5=-1$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(-1,0)$。
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应二次函数图象位于$x$轴下方的部分，由图可知抛物线开口向下，因此图象在$x$轴下方时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称性，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题关键是利用二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，要注意解集是两个不连续的区间，需要用“或”连接，不要误选成“且”的表述。
【难度系数】
0.7
