登录
1. 在平面直角坐标系中，已知$a≠b$，设函数$y=(x+a)(x+b)$的图象与$x$轴有$M$个交点，函数$y=(ax+1)(bx+1)$的图象与$x$轴有$N$个交点，则(
A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
C
)。A.$M=N-1$或$M=N+1$
B.$M=N-1$或$M=N+2$
C.$M=N$或$M=N+1$
D.$M=N$或$M=N-1$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，需分别求出两个函数图象与x轴的交点个数M、N，再对比二者的关系：
1. 先求M：第一个函数是二次项系数为1的二次函数，令y=0可得方程(x+a)(x+b)=0，因为a≠b，所以方程有2个不同的实根，因此M是固定值2。
2. 再求N：第二个函数的二次项系数为ab，取值不确定，需分类讨论：①当ab≠0时，函数为二次函数，令y=0求根，结合a≠b判断根的个数；②当ab=0时，因为a≠b，所以a、b中仅有一个为0，此时函数退化为一次函数，再判断根的个数。
最后将M和不同情况下的N对比，即可得出结论。
【解析】
对于函数$y=(x+a)(x+b)$，令$y=0$，解得$x_1=-a$，$x_2=-b$。
$\because a≠ b$，$\therefore x_1≠ x_2$，即方程有2个不同的实根，因此该函数图象与x轴有2个交点，$M=2$。
对于函数$y=(ax+1)(bx+1)$，分两种情况讨论：
1. 当$ab≠0$时，函数为二次函数，令$y=0$，解得$x_1=-\frac{1}{a}$，$x_2=-\frac{1}{b}$。
$\because a≠ b$，$\therefore x_1≠ x_2$，即方程有2个不同的实根，此时$N=2$，可得$M=N$。
2. 当$ab=0$时，$\because a≠ b$，$\therefore a、b$中仅有一个为0，不妨设$a=0$，$b≠0$，此时函数化简为$y=bx+1$，是一次函数。
令$y=0$，解得$x=-\frac{1}{b}$，只有1个实根，此时$N=1$，可得$M=N+1$。
综上，$M=N$或$M=N+1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数与x轴交点求解；二次函数根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查函数图象与x轴交点个数的判断，解题核心是对第二个函数的二次项系数是否为0进行分类讨论，避免遗漏参数为0时函数退化为一次函数的特殊情况。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分别求出两个函数图象与x轴的交点个数M、N，再对比二者的关系：
1. 先求M：第一个函数是二次项系数为1的二次函数，令y=0可得方程(x+a)(x+b)=0，因为a≠b，所以方程有2个不同的实根，因此M是固定值2。
2. 再求N：第二个函数的二次项系数为ab，取值不确定，需分类讨论：①当ab≠0时，函数为二次函数，令y=0求根，结合a≠b判断根的个数；②当ab=0时，因为a≠b，所以a、b中仅有一个为0，此时函数退化为一次函数，再判断根的个数。
最后将M和不同情况下的N对比，即可得出结论。
【解析】
对于函数$y=(x+a)(x+b)$，令$y=0$，解得$x_1=-a$，$x_2=-b$。
$\because a≠ b$，$\therefore x_1≠ x_2$，即方程有2个不同的实根，因此该函数图象与x轴有2个交点，$M=2$。
对于函数$y=(ax+1)(bx+1)$，分两种情况讨论：
1. 当$ab≠0$时，函数为二次函数，令$y=0$，解得$x_1=-\frac{1}{a}$，$x_2=-\frac{1}{b}$。
$\because a≠ b$，$\therefore x_1≠ x_2$，即方程有2个不同的实根，此时$N=2$，可得$M=N$。
2. 当$ab=0$时，$\because a≠ b$，$\therefore a、b$中仅有一个为0，不妨设$a=0$，$b≠0$，此时函数化简为$y=bx+1$，是一次函数。
令$y=0$，解得$x=-\frac{1}{b}$，只有1个实根，此时$N=1$，可得$M=N+1$。
综上，$M=N$或$M=N+1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
函数与x轴交点求解；二次函数根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查函数图象与x轴交点个数的判断，解题核心是对第二个函数的二次项系数是否为0进行分类讨论，避免遗漏参数为0时函数退化为一次函数的特殊情况。
【难度系数】
0.7
2. 已知二次函数 $y=2x^2 + bx + c$（$b,c$ 为常数）的图象经过点$(2,-6)$，且对称轴为直线 $x=1$。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 求该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标；
(3) 二次函数 $y=2x^2 + bx + c$（$b,c$ 为常数）的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 经过怎样的平移得到？
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 求该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标；
(3) 二次函数 $y=2x^2 + bx + c$（$b,c$ 为常数）的图象可由抛物线 $y=2x^2$ 经过怎样的平移得到？
答案
(1) $\because$ 二次函数的图象的对称轴为直线 $x = 1$，$\therefore -\frac{b}{2 × 2} = 1$。解得 $b = -4$。$\because$ 二次函数 $y = 2x^2 + bx + c$ 的图象经过点$(2, -6)$，$\therefore 8 + 2b + c = -6$。$\therefore 8 - 8 + c = -6$。解得 $c = -6$。$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = 2x^2 - 4x - 6$
(2) 当 $y = 0$ 时，$2x^2 - 4x - 6 = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。$\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1, 0)$，$(3, 0)$
(3) $\because y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$，$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的顶点坐标为 $(1, -8)$。$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的图象可由抛物线 $y = 2x^2$ 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度得到（答案不唯一）
(2) 当 $y = 0$ 时，$2x^2 - 4x - 6 = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。$\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1, 0)$，$(3, 0)$
(3) $\because y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8$，$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的顶点坐标为 $(1, -8)$。$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的图象可由抛物线 $y = 2x^2$ 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度得到（答案不唯一）
解析
【分析】
(1) 求二次函数表达式时，已知二次项系数a=2，首先利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可求出b的值，再将已知点$(2,-6)$代入函数表达式，即可求出c的值，得到完整的函数解析式。
(2) 求二次函数与x轴的交点坐标，根据x轴上点的纵坐标为0的性质，令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，纵坐标为0，即可得到交点坐标。
(3) 判断图象平移方式，先将求出的二次函数一般式配方转化为顶点式，得到其顶点坐标，再与抛物线$y=2x^2$的顶点$(0,0)$对比，按照“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得到平移方法。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数的图象的对称轴为直线 $x = 1$，$\therefore -\frac{b}{2 × 2} = 1$，解得 $b = -4$。
$\because$ 二次函数 $y = 2x^2 + bx + c$ 的图象经过点$(2, -6)$，$\therefore$ 将$x=2,y=-6$代入得$8 + 2b + c = -6$，把$b=-4$代入得$8 - 8 + c = -6$，解得 $c = -6$。
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = 2x^2 - 4x - 6$。
(2) 令$y = 0$，即$2x^2 - 4x - 6 = 0$，化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
$\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1, 0)$，$(3, 0)$。
(3) 将函数表达式配方化为顶点式：
$y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2-2x) -6 = 2(x^2-2x+1-1)-6 = 2(x-1)^2 - 8$，
$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的顶点坐标为 $(1, -8)$，抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的图象可由抛物线 $y = 2x^2$ 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度得到（答案不唯一）。
【答案】
(1) $y = 2x^2 - 4x - 6$
(2) $(-1, 0)$，$(3, 0)$
(3) 先向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（答案不唯一）
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数与坐标轴交点，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕二次函数核心性质设置问题，解题思路清晰，熟练掌握二次函数对称轴公式、求交点方法、图象平移规律即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数表达式时，已知二次项系数a=2，首先利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可求出b的值，再将已知点$(2,-6)$代入函数表达式，即可求出c的值，得到完整的函数解析式。
(2) 求二次函数与x轴的交点坐标，根据x轴上点的纵坐标为0的性质，令y=0，解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，纵坐标为0，即可得到交点坐标。
(3) 判断图象平移方式，先将求出的二次函数一般式配方转化为顶点式，得到其顶点坐标，再与抛物线$y=2x^2$的顶点$(0,0)$对比，按照“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得到平移方法。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数的图象的对称轴为直线 $x = 1$，$\therefore -\frac{b}{2 × 2} = 1$，解得 $b = -4$。
$\because$ 二次函数 $y = 2x^2 + bx + c$ 的图象经过点$(2, -6)$，$\therefore$ 将$x=2,y=-6$代入得$8 + 2b + c = -6$，把$b=-4$代入得$8 - 8 + c = -6$，解得 $c = -6$。
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = 2x^2 - 4x - 6$。
(2) 令$y = 0$，即$2x^2 - 4x - 6 = 0$，化简得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
$\therefore$ 该二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-1, 0)$，$(3, 0)$。
(3) 将函数表达式配方化为顶点式：
$y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x^2-2x) -6 = 2(x^2-2x+1-1)-6 = 2(x-1)^2 - 8$，
$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的顶点坐标为 $(1, -8)$，抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
$\therefore$ 二次函数$y = 2x^2 - 4x - 6$ 的图象可由抛物线 $y = 2x^2$ 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 8 个单位长度得到（答案不唯一）。
【答案】
(1) $y = 2x^2 - 4x - 6$
(2) $(-1, 0)$，$(3, 0)$
(3) 先向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（答案不唯一）
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数与坐标轴交点，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础综合题，围绕二次函数核心性质设置问题，解题思路清晰，熟练掌握二次函数对称轴公式、求交点方法、图象平移规律即可顺利解答，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示。
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为
(2) 观察图象，当$-2≤ x≤1$时，$y$的取值范围为
(3) 将该二次函数的图象向上平移$m(m＞0)$个单位长度后恰好经过点$(-2,0)$，记此时二次函数的图象与$x$轴的交点为$A,B$（点$A$在点$B$左侧），顶点为$C$，请写出$m$的值，并求$△ ABC$的面积。
(1) 方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为
$x_1=-3,x_2=1$
；(2) 观察图象，当$-2≤ x≤1$时，$y$的取值范围为
$-4≤y≤0$
；(3) 将该二次函数的图象向上平移$m(m＞0)$个单位长度后恰好经过点$(-2,0)$，记此时二次函数的图象与$x$轴的交点为$A,B$（点$A$在点$B$左侧），顶点为$C$，请写出$m$的值，并求$△ ABC$的面积。
答案
3. (1) $x_1 = -3, x_2 = 1$
(2) $-4 ≤ y ≤ 0$
(3) 由题意，设二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)^2 - 4$，将$(1,0)$的坐标代入，得 $0 = a(1 + 1)^2 - 4$，$\therefore a = 1$。$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4$。$\because$ 将二次函数 $y = (x + 1)^2 - 4$ 的图象向上平移 $m$ 个单位长度后恰好过点 $(-2,0)$，$\therefore$ 将 $(-2,0)$ 代入 $y = (x + 1)^2 - 4 + m$，得 $0 = (-2 + 1)^2 - 4 + m$，$\therefore m = 3$。$\therefore$ 该二次函数的图象平移后的表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4 + 3$，即 $y = (x + 1)^2 - 1$。$\therefore$ 顶点 $C(-1, -1)$。$\therefore$ 点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为 1。令 $y = (x + 1)^2 - 1 = 0$，则 $x_1 = 0$，$x_2 = -2$。$\therefore A(-2,0)$，$B(0,0)$。$\therefore |AB| = 0 - (-2) = 2$。$\therefore △ ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$
(2) $-4 ≤ y ≤ 0$
(3) 由题意，设二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)^2 - 4$，将$(1,0)$的坐标代入，得 $0 = a(1 + 1)^2 - 4$，$\therefore a = 1$。$\therefore$ 二次函数的表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4$。$\because$ 将二次函数 $y = (x + 1)^2 - 4$ 的图象向上平移 $m$ 个单位长度后恰好过点 $(-2,0)$，$\therefore$ 将 $(-2,0)$ 代入 $y = (x + 1)^2 - 4 + m$，得 $0 = (-2 + 1)^2 - 4 + m$，$\therefore m = 3$。$\therefore$ 该二次函数的图象平移后的表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4 + 3$，即 $y = (x + 1)^2 - 1$。$\therefore$ 顶点 $C(-1, -1)$。$\therefore$ 点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为 1。令 $y = (x + 1)^2 - 1 = 0$，则 $x_1 = 0$，$x_2 = -2$。$\therefore A(-2,0)$，$B(0,0)$。$\therefore |AB| = 0 - (-2) = 2$。$\therefore △ ABC$ 的面积 $= \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$
解析
【分析】
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。已知图象对称轴为直线$x=-1$，其中一个交点为$(1,0)$，利用二次函数的对称性可求出另一个交点坐标，即可得到方程的两个根。
(2) 求指定$x$范围内$y$的取值范围，需先确定区间内函数的最值：二次函数开口向上，顶点处取得最小值，再计算区间端点对应的$y$值，比较得到最大值，即可确定$y$的范围。
(3) 先利用顶点式求原二次函数解析式：已知顶点坐标为$(-1,-4)$，设顶点式$y=a(x+1)^2-4$，代入点$(1,0)$求出$a$的值；再根据平移规律“上加下减”写出平移后的解析式，将点$(-2,0)$代入求出$m$的值；最后求出平移后函数与$x$轴的交点、顶点坐标，以$AB$为底，顶点到$x$轴的距离为高，即可计算$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 由图象得二次函数对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，根据对称性，另一个交点横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即交点为$(-3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 二次函数开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，即$x=-1$时$y$取最小值$-4$；当$x=1$时$y=0$，当$x=-2$时$y=(-2+1)^2-4=-3$，因此区间内$y$的最大值为$0$，故$y$的取值范围是$-4\le y\le0$。
(3) 设原二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)^2 - 4$，将$(1,0)$代入得：
$0 = a(1 + 1)^2 - 4$，解得$a = 1$，
因此原二次函数表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4$。
函数向上平移$m$个单位后解析式为$y = (x + 1)^2 - 4 + m$，将$(-2,0)$代入得：
$0 = (-2 + 1)^2 - 4 + m$，解得$m = 3$。
平移后二次函数解析式为$y = (x + 1)^2 - 1$，其顶点$C(-1, -1)$，点$C$到$x$轴的距离为$1$。
令$y=0$，即$(x + 1)^2 - 1 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$，因此$A(-2,0)$，$B(0,0)$，$AB=0 - (-2) = 2$。
$△ ABC$的面积 $= \frac{1}{2} × AB × 1 = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
(1) $x_1 = -3, x_2 = 1$
(2) $-4 ≤ y ≤ 0$
(3) $m=3$，$△ ABC$的面积为$1$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的平移；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考查数形结合思想的应用，涵盖了二次函数与方程的联系、平移规律、图形面积计算等核心考点，是二次函数章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与$x$轴交点的横坐标。已知图象对称轴为直线$x=-1$，其中一个交点为$(1,0)$，利用二次函数的对称性可求出另一个交点坐标，即可得到方程的两个根。
(2) 求指定$x$范围内$y$的取值范围，需先确定区间内函数的最值：二次函数开口向上，顶点处取得最小值，再计算区间端点对应的$y$值，比较得到最大值，即可确定$y$的范围。
(3) 先利用顶点式求原二次函数解析式：已知顶点坐标为$(-1,-4)$，设顶点式$y=a(x+1)^2-4$，代入点$(1,0)$求出$a$的值；再根据平移规律“上加下减”写出平移后的解析式，将点$(-2,0)$代入求出$m$的值；最后求出平移后函数与$x$轴的交点、顶点坐标，以$AB$为底，顶点到$x$轴的距离为高，即可计算$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 由图象得二次函数对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(1,0)$，根据对称性，另一个交点横坐标为$2×(-1)-1=-3$，即交点为$(-3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) 二次函数开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，即$x=-1$时$y$取最小值$-4$；当$x=1$时$y=0$，当$x=-2$时$y=(-2+1)^2-4=-3$，因此区间内$y$的最大值为$0$，故$y$的取值范围是$-4\le y\le0$。
(3) 设原二次函数的表达式为 $y = a(x + 1)^2 - 4$，将$(1,0)$代入得：
$0 = a(1 + 1)^2 - 4$，解得$a = 1$，
因此原二次函数表达式为 $y = (x + 1)^2 - 4$。
函数向上平移$m$个单位后解析式为$y = (x + 1)^2 - 4 + m$，将$(-2,0)$代入得：
$0 = (-2 + 1)^2 - 4 + m$，解得$m = 3$。
平移后二次函数解析式为$y = (x + 1)^2 - 1$，其顶点$C(-1, -1)$，点$C$到$x$轴的距离为$1$。
令$y=0$，即$(x + 1)^2 - 1 = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = -2$，因此$A(-2,0)$，$B(0,0)$，$AB=0 - (-2) = 2$。
$△ ABC$的面积 $= \frac{1}{2} × AB × 1 = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1$。
【答案】
(1) $x_1 = -3, x_2 = 1$
(2) $-4 ≤ y ≤ 0$
(3) $m=3$，$△ ABC$的面积为$1$
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的平移；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数基础综合题，侧重考查数形结合思想的应用，涵盖了二次函数与方程的联系、平移规律、图形面积计算等核心考点，是二次函数章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
