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5. 关于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象有下列命题:①当$c=0$时,函数的图象经过原点;②当$b=0$时,函数的图象关于$y$轴对称;③函数的图象的最高点的纵坐标是$\frac{4ac - b^2}{4a}$;④当$c ＞ 0$且函数的图象的开口向下时,关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$必有两个不相等的实数根。其中假命题的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
B
)。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
5. B
解析
【分析】
要判断假命题的个数，需结合二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，逐个分析4个命题的真假即可。首先回忆二次函数的图象特征、对称轴、顶点坐标的相关知识，再逐一验证每个命题的表述是否严谨、正确。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 对于命题①：当$c=0$时，二次函数解析式为$y=ax^2+bx$，将$x=0$代入得$y=0$，因此函数图象一定经过原点，①是真命题；
2. 对于命题②：当$b=0$时，二次函数解析式为$y=ax^2+c$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$，即对称轴为y轴，因此函数图象关于y轴对称，②是真命题；
3. 对于命题③：二次函数顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，但只有当$a＜0$时，函数图象开口向下，该纵坐标是最高点的纵坐标；若$a＞0$，函数图象开口向上，只有最低点，没有最高点。命题未考虑$a＞0$的情况，表述错误，③是假命题；
4. 对于命题④：当$c＞0$且函数图象开口向下时，可知$a＜0$，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$。因为$b^2≥0$，$a＜0,c＞0$，所以$-4ac＞0$，因此$\Delta=b^2+(-4ac)＞0$，方程必有两个不相等的实数根，④是真命题。
综上，假命题只有1个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，命题真假判断
【点评】
本题考查二次函数相关的命题判断，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象特点、顶点坐标、对称轴的规律，以及二次函数与对应一元二次方程根的联系，分析命题时要注意考虑参数的不同取值情况，保证表述的严谨性。
【难度系数】
0.7
要判断假命题的个数，需结合二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，逐个分析4个命题的真假即可。首先回忆二次函数的图象特征、对称轴、顶点坐标的相关知识，再逐一验证每个命题的表述是否严谨、正确。
【解析】
我们逐个判断命题的真假：
1. 对于命题①：当$c=0$时，二次函数解析式为$y=ax^2+bx$，将$x=0$代入得$y=0$，因此函数图象一定经过原点，①是真命题；
2. 对于命题②：当$b=0$时，二次函数解析式为$y=ax^2+c$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=0$，即对称轴为y轴，因此函数图象关于y轴对称，②是真命题；
3. 对于命题③：二次函数顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，但只有当$a＜0$时，函数图象开口向下，该纵坐标是最高点的纵坐标；若$a＞0$，函数图象开口向上，只有最低点，没有最高点。命题未考虑$a＞0$的情况，表述错误，③是假命题；
4. 对于命题④：当$c＞0$且函数图象开口向下时，可知$a＜0$，此时一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$。因为$b^2≥0$，$a＜0,c＞0$，所以$-4ac＞0$，因此$\Delta=b^2+(-4ac)＞0$，方程必有两个不相等的实数根，④是真命题。
综上，假命题只有1个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，命题真假判断
【点评】
本题考查二次函数相关的命题判断，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象特点、顶点坐标、对称轴的规律，以及二次函数与对应一元二次方程根的联系，分析命题时要注意考虑参数的不同取值情况，保证表述的严谨性。
【难度系数】
0.7
6. 根据下表中的二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与$y$的对应值，可判断二次函数的图象与$x$轴(
A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在$y$轴两侧
C.有两个交点，且它们均在$y$轴同侧
D.无交点
$y\uparrow$
B
)。A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在$y$轴两侧
C.有两个交点，且它们均在$y$轴同侧
D.无交点
$y\uparrow$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先可以通过表格中对称的函数值确定二次函数的基本特征，也可以直接用待定系数法求出函数解析式：第一步先代入x=0的点求出常数项c，再代入另外两个点解方程组求出a和b；第二步通过判别式判断函数图象和x轴的交点个数；第三步利用韦达定理判断两根的正负，即可确定交点的位置。
【解析】
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$：
1. 代入$x=0,y=-\frac{7}{4}$，可得$c=-\frac{7}{4}$；
2. 分别代入$x=-1,y=-1$和$x=1,y=-2$，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+c=-1 \\a+b+c=-2 \end{cases}$
将$c=-\frac{7}{4}$代入方程组，化简得：
$\begin{cases}a-b=\frac{3}{4} \\a+b=-\frac{1}{4} \end{cases}$
两式相加解得$a=\frac{1}{4}$，代入求得$b=-\frac{1}{2}$，因此解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}$。
3. 判断交点个数：计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{4}×(-\frac{7}{4})=2＞0$，因此二次函数图象与x轴有两个交点。
4. 判断交点位置：根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}=-7＜0$，说明两个根一正一负，即两个交点分别在y轴两侧。
【答案】
B
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数与x轴交点判定，韦达定理应用
【点评】
本题结合表格考查二次函数的相关性质，解题方法灵活，既可以通过代数计算的方式推导结果，也可以结合二次函数的对称性和函数值变化规律直接判断，核心是掌握二次函数与一元二次方程的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先可以通过表格中对称的函数值确定二次函数的基本特征，也可以直接用待定系数法求出函数解析式：第一步先代入x=0的点求出常数项c，再代入另外两个点解方程组求出a和b；第二步通过判别式判断函数图象和x轴的交点个数；第三步利用韦达定理判断两根的正负，即可确定交点的位置。
【解析】
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c$：
1. 代入$x=0,y=-\frac{7}{4}$，可得$c=-\frac{7}{4}$；
2. 分别代入$x=-1,y=-1$和$x=1,y=-2$，得到方程组：
$\begin{cases}a-b+c=-1 \\a+b+c=-2 \end{cases}$
将$c=-\frac{7}{4}$代入方程组，化简得：
$\begin{cases}a-b=\frac{3}{4} \\a+b=-\frac{1}{4} \end{cases}$
两式相加解得$a=\frac{1}{4}$，代入求得$b=-\frac{1}{2}$，因此解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{7}{4}$。
3. 判断交点个数：计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{4}×(-\frac{7}{4})=2＞0$，因此二次函数图象与x轴有两个交点。
4. 判断交点位置：根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-\frac{7}{4}}{\frac{1}{4}}=-7＜0$，说明两个根一正一负，即两个交点分别在y轴两侧。
【答案】
B
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数与x轴交点判定，韦达定理应用
【点评】
本题结合表格考查二次函数的相关性质，解题方法灵活，既可以通过代数计算的方式推导结果，也可以结合二次函数的对称性和函数值变化规律直接判断，核心是掌握二次函数与一元二次方程的对应关系。
【难度系数】
0.7
7. 若二次函数$y=-x^2+2x+k$的部分图象如图所示，关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+k=0$的一个解为$x=3$，则另一个解是
$x=-1$
。答案
7. $x=-1$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的解对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，再利用二次函数的对称性求解。第一步先计算二次函数的对称轴，第二步根据二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个解即可求出另一个解。
【解析】
利用二次函数对称性求解：
1. 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中二次函数$y=-x^2+2x+k$的$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
2. 一元二次方程$-x^2+2x+k=0$的解是二次函数$y=-x^2+2x+k$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称。
设方程另一个解为$x_1$，则两个解的中点为对称轴$x=1$，可得：
$\frac{x_1+3}{2}=1$
解得$x_1=2-3=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程的解
【点评】
本题考查二次函数和对应一元二次方程的关联，利用对称性求解无需计算参数k，是此类题的常用简便技巧，需要熟练掌握二次函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需明确一元二次方程的解对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，再利用二次函数的对称性求解。第一步先计算二次函数的对称轴，第二步根据二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个解即可求出另一个解。
【解析】
利用二次函数对称性求解：
1. 对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中二次函数$y=-x^2+2x+k$的$a=-1$，$b=2$，代入得对称轴：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$
2. 一元二次方程$-x^2+2x+k=0$的解是二次函数$y=-x^2+2x+k$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴对称。
设方程另一个解为$x_1$，则两个解的中点为对称轴$x=1$，可得：
$\frac{x_1+3}{2}=1$
解得$x_1=2-3=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程的解
【点评】
本题考查二次函数和对应一元二次方程的关联，利用对称性求解无需计算参数k，是此类题的常用简便技巧，需要熟练掌握二次函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.8
8. 如果方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为-3和1，那么抛物线$y=ax^2 + bx + c$的对称轴是直线
$x=-1$
。答案
8. $x=-1$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，回忆一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，由此可确定抛物线与x轴的两个交点坐标；其次，抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，用两个交点横坐标的平均值即可算出对称轴的直线表达式。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为-3和1
∴ 抛物线$y=ax^2 + bx + c$与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题，核心考查方程的根与抛物线和x轴交点的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，熟练掌握该知识点能提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为两步：首先，回忆一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，由此可确定抛物线与x轴的两个交点坐标；其次，抛物线是轴对称图形，与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是过两个交点中点且垂直于x轴的直线，用两个交点横坐标的平均值即可算出对称轴的直线表达式。
【解析】
解：
∵ 方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为-3和1
∴ 抛物线$y=ax^2 + bx + c$与x轴的两个交点坐标为$(-3,0)$和$(1,0)$
∵ 抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称
∴ 对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$
【答案】
$x=-1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数部分的基础常考题，核心考查方程的根与抛物线和x轴交点的对应关系，结合抛物线的对称性即可快速求解，熟练掌握该知识点能提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
9.若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象的最低点的坐标为$(1,-1)$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$的根为
$x_1=x_2=1$
。答案
9. $x_1=x_2=1$
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=m$的根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=m$交点的横坐标。本题中二次函数有最低点，说明开口向上，最低点就是顶点，顶点坐标为$(1,-1)$，即只有当$x=1$时，函数值取到最小值$-1$，对应方程$ax^2+bx+c=-1$的解就是顶点的横坐标，且只有一个解（两个相等的实根）。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象最低点是顶点，
∴该函数的顶点坐标为$(1,-1)$，即当且仅当$x=1$时，函数值$y=-1$。
又
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$的根就是函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-1$时对应的$x$的取值，
∴该方程的根为$x_1=x_2=1$。
【答案】
$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数顶点性质
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心是将方程的根转化为二次函数特定函数值对应的自变量取值，只要熟练掌握二次函数的顶点特征和函数与方程的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=m$的根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=m$交点的横坐标。本题中二次函数有最低点，说明开口向上，最低点就是顶点，顶点坐标为$(1,-1)$，即只有当$x=1$时，函数值取到最小值$-1$，对应方程$ax^2+bx+c=-1$的解就是顶点的横坐标，且只有一个解（两个相等的实根）。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象最低点是顶点，
∴该函数的顶点坐标为$(1,-1)$，即当且仅当$x=1$时，函数值$y=-1$。
又
∵一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$的根就是函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-1$时对应的$x$的取值，
∴该方程的根为$x_1=x_2=1$。
【答案】
$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 二次函数顶点性质
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，核心是将方程的根转化为二次函数特定函数值对应的自变量取值，只要熟练掌握二次函数的顶点特征和函数与方程的对应关系，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
10.已知抛物线$y=x^2 -2(m-1)x +m^2 -7$与$x$轴有两个不同的交点。
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)若抛物线与$x$轴交于$A,B$两点，且点$A$的坐标为$(3,0)$，求点$B$的坐标。
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)若抛物线与$x$轴交于$A,B$两点，且点$A$的坐标为$(3,0)$，求点$B$的坐标。
答案
(1) $m ＜ 4$ (2) 点$B$的坐标为$(-1,0)$
解析
【分析】
(1) 抛物线与x轴有两个不同交点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此可通过根的判别式Δ＞0建立关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式，将A点坐标代入解析式可求出m的值，结合(1)中m的取值范围筛选出符合条件的m，再代入解析式令y=0，解方程即可求出点B的坐标。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2 -2(m-1)x +m^2 -7$与$x$轴有两个不同的交点，即一元二次方程$x^2 -2(m-1)x +m^2 -7=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
计算判别式：
$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2 -7)$
$=4(m^2 - 2m +1) -4m^2 +28$
$=4m^2 -8m +4 -4m^2 +28$
$=-8m +32$
由$\Delta＞0$得：
$-8m +32＞0$
解得$m＜4$。
(2)
∵点$A(3,0)$在抛物线上，将$x=3,y=0$代入抛物线解析式得：
$3^2 -2(m-1)×3 +m^2 -7 =0$
化简得：$9 -6m +6 +m^2 -7=0$
即$m^2 -6m +8=0$
因式分解得：$(m-2)(m-4)=0$
解得$m=2$或$m=4$
由(1)知$m＜4$，故舍去$m=4$，取$m=2$。
将$m=2$代入抛物线解析式得：
$y=x^2 -2x -3$
令$y=0$，即$x^2 -2x -3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x=3$或$x=-1$
∵点A坐标为$(3,0)$，
∴点B的坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1) $m ＜ 4$
(2) 点$B$的坐标为$(-1,0)$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点问题
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系，同时要注意结合前问的结论对参数的取值进行筛选，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 抛物线与x轴有两个不同交点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此可通过根的判别式Δ＞0建立关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式，将A点坐标代入解析式可求出m的值，结合(1)中m的取值范围筛选出符合条件的m，再代入解析式令y=0，解方程即可求出点B的坐标。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2 -2(m-1)x +m^2 -7$与$x$轴有两个不同的交点，即一元二次方程$x^2 -2(m-1)x +m^2 -7=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
计算判别式：
$\Delta = [-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2 -7)$
$=4(m^2 - 2m +1) -4m^2 +28$
$=4m^2 -8m +4 -4m^2 +28$
$=-8m +32$
由$\Delta＞0$得：
$-8m +32＞0$
解得$m＜4$。
(2)
∵点$A(3,0)$在抛物线上，将$x=3,y=0$代入抛物线解析式得：
$3^2 -2(m-1)×3 +m^2 -7 =0$
化简得：$9 -6m +6 +m^2 -7=0$
即$m^2 -6m +8=0$
因式分解得：$(m-2)(m-4)=0$
解得$m=2$或$m=4$
由(1)知$m＜4$，故舍去$m=4$，取$m=2$。
将$m=2$代入抛物线解析式得：
$y=x^2 -2x -3$
令$y=0$，即$x^2 -2x -3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x=3$或$x=-1$
∵点A坐标为$(3,0)$，
∴点B的坐标为$(-1,0)$。
【答案】
(1) $m ＜ 4$
(2) 点$B$的坐标为$(-1,0)$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点问题
2. 一元二次方程根的判别式
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系，同时要注意结合前问的结论对参数的取值进行筛选，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
