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1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点个数由$b^2-4ac$的符号确定:(1)$b^2-4ac＞0⇔$抛物线与$x$轴有
两
个交点;(2)$b^2-4ac=0⇔$抛物线与$x$轴有一
个交点;(3)$b^2-4ac＜0⇔$抛物线与$x$轴没有
交点。答案
1.(1) 两
1.(2) 一
1.(3) 没有
1.(2) 一
1.(3) 没有
解析
【分析】
解答本题首先要明确二次函数与x轴交点和对应的一元二次方程实根的对应关系：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此交点个数可通过一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$的符号判断。我们只需要对应判别式不同符号对应的实根个数，就能得到抛物线与x轴的交点个数。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标等价于方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，二者数量完全对应：
(1) 当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此抛物线与x轴有2个交点；
(2) 当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，因此抛物线与x轴有1个交点（此时交点为抛物线的顶点）；
(3) 当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，因此抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1) 两；(2) 一；(3) 没有
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程判别式；二次函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，该知识点是解决二次函数相关的交点问题、不等式问题的基础，需要牢固记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确二次函数与x轴交点和对应的一元二次方程实根的对应关系：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，因此交点个数可通过一元二次方程根的判别式$b^2-4ac$的符号判断。我们只需要对应判别式不同符号对应的实根个数，就能得到抛物线与x轴的交点个数。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标等价于方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，二者数量完全对应：
(1) 当$b^2-4ac＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此抛物线与x轴有2个交点；
(2) 当$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根，因此抛物线与x轴有1个交点（此时交点为抛物线的顶点）；
(3) 当$b^2-4ac＜0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根，因此抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1) 两；(2) 一；(3) 没有
【知识点】
二次函数图象性质；一元二次方程判别式；二次函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，该知识点是解决二次函数相关的交点问题、不等式问题的基础，需要牢固记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根有三种情况：
有两个不相等的实数根
、有两个相等的实数根、没有实数根
。答案
2. 有两个不相等的实数根 没有实数根
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况分类，解题时先回忆一元二次方程根的判别式相关知识：一元二次方程的根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定，共分为三类，题干已给出“有两个相等的实数根”，对应$\Delta=0$的情况，剩下两个空缺分别对应$\Delta＞0$和$\Delta＜0$的根的情况，直接对应填写即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），设其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
因此题目两个空缺处依次填入有两个不相等的实数根、没有实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根 没有实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一元二次方程根的三种情况的记忆，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的情况分类，解题时先回忆一元二次方程根的判别式相关知识：一元二次方程的根的情况由判别式$\Delta = b^2-4ac$的符号决定，共分为三类，题干已给出“有两个相等的实数根”，对应$\Delta=0$的情况，剩下两个空缺分别对应$\Delta＞0$和$\Delta＜0$的根的情况，直接对应填写即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），设其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
因此题目两个空缺处依次填入有两个不相等的实数根、没有实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根 没有实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一元二次方程根的三种情况的记忆，熟练掌握判别式与根的情况的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的
横坐标
就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。答案
3. 横坐标
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数与一元二次方程的关联：当二次函数的函数值y=0时，对应的表达式就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。此时满足方程的x值，对应函数图象上纵坐标为0的点，也就是二次函数图象与x轴的交点，交点的坐标为$(x,0)$，其中x的取值就是方程的根，因此空缺处应填交点的横坐标。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，令函数值$y=0$，即可得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。此时方程的解$x$，对应二次函数图象上纵坐标为0的点，即二次函数图象与x轴的交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。
【答案】
横坐标
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察的是二次函数和对应一元二次方程的核心关联，是后续利用函数图象解方程、解不等式的基础，需要牢记相关概念。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数与一元二次方程的关联：当二次函数的函数值y=0时，对应的表达式就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。此时满足方程的x值，对应函数图象上纵坐标为0的点，也就是二次函数图象与x轴的交点，交点的坐标为$(x,0)$，其中x的取值就是方程的根，因此空缺处应填交点的横坐标。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，令函数值$y=0$，即可得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$。此时方程的解$x$，对应二次函数图象上纵坐标为0的点，即二次函数图象与x轴的交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根。
【答案】
横坐标
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象特征
【点评】
本题属于基础概念类题目，考察的是二次函数和对应一元二次方程的核心关联，是后续利用函数图象解方程、解不等式的基础，需要牢记相关概念。
【难度系数】
0.9
1. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c-8=0$的根的情况是(
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
C
)。A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
1. C
解析
【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c-8=0$的根的情况，首先将方程变形为$ax^2+bx+c=8$，此时方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值等于8时对应的自变量$x$的值。接下来观察二次函数的图像：该函数开口向下，顶点纵坐标为8，说明函数的最大值是8，只有顶点处的函数值等于8，因此对应仅1个自变量$x$满足条件，即可判断对应一元二次方程的根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-8=0$移项可得：$ax^2+bx+c=8$。
由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像可知，函数开口向下，顶点坐标的纵坐标为8，即该二次函数的最大值为8，仅当$x$取顶点横坐标时，函数值$y=8$。
因此方程$ax^2+bx+c=8$只有1个解，即一元二次方程$ax^2+bx+c-8=0$有两个相等的实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题核心是将一元二次方程根的问题转化为二次函数函数值对应自变量取值的问题，结合图像直观判断，是数形结合思想的典型应用，解题时要熟练掌握二次函数图像特征与对应方程的联系。
【难度系数】
0.8
要判断方程$ax^2+bx+c-8=0$的根的情况，首先将方程变形为$ax^2+bx+c=8$，此时方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值等于8时对应的自变量$x$的值。接下来观察二次函数的图像：该函数开口向下，顶点纵坐标为8，说明函数的最大值是8，只有顶点处的函数值等于8，因此对应仅1个自变量$x$满足条件，即可判断对应一元二次方程的根的情况。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-8=0$移项可得：$ax^2+bx+c=8$。
由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像可知，函数开口向下，顶点坐标的纵坐标为8，即该二次函数的最大值为8，仅当$x$取顶点横坐标时，函数值$y=8$。
因此方程$ax^2+bx+c=8$只有1个解，即一元二次方程$ax^2+bx+c-8=0$有两个相等的实数根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图像与性质
【点评】
本题解题核心是将一元二次方程根的问题转化为二次函数函数值对应自变量取值的问题，结合图像直观判断，是数形结合思想的典型应用，解题时要熟练掌握二次函数图像特征与对应方程的联系。
【难度系数】
0.8
2. 若抛物线 $ y = kx^2 -7x -7 $ 与x轴有交点，则k的取值范围是(
A.$ k ＞ -\frac{7}{4} $
B.$ k ≥ -\frac{7}{4} $且 $ k ≠ 0 $
C.$ k ≥ -\frac{7}{4} $
D.$ k ＞ -\frac{7}{4} $且 $ k ≠ 0 $
B
)。A.$ k ＞ -\frac{7}{4} $
B.$ k ≥ -\frac{7}{4} $且 $ k ≠ 0 $
C.$ k ≥ -\frac{7}{4} $
D.$ k ＞ -\frac{7}{4} $且 $ k ≠ 0 $
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要抓住“抛物线”这个关键信息，说明该函数是二次函数，因此二次项系数k不能为0，这是容易忽略的隐含条件；其次抛物线与x轴有交点，等价于对应一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，最后结合两个条件即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 函数表达式为抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即 $k≠0$；
抛物线与x轴有交点，说明当$y=0$时，一元二次方程 $kx^2 -7x -7 = 0$ 有实数根，因此判别式 $\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$；
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式：
$28k ≥ -49$
$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是 $k≥-\frac{7}{4}$ 且 $k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略抛物线是二次函数，二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解误选C。解题时要先明确函数类型的限制条件，再结合交点要求列不等式求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要抓住“抛物线”这个关键信息，说明该函数是二次函数，因此二次项系数k不能为0，这是容易忽略的隐含条件；其次抛物线与x轴有交点，等价于对应一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，最后结合两个条件即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 函数表达式为抛物线，
∴ 该函数为二次函数，即 $k≠0$；
抛物线与x轴有交点，说明当$y=0$时，一元二次方程 $kx^2 -7x -7 = 0$ 有实数根，因此判别式 $\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$；
其中$a=k$，$b=-7$，$c=-7$，代入得：
$\Delta = (-7)^2 - 4× k× (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式：
$28k ≥ -49$
$k ≥ -\frac{7}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得k的取值范围是 $k≥-\frac{7}{4}$ 且 $k≠0$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数定义，根的判别式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题属于易错题，易错点是忽略抛物线是二次函数，二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解误选C。解题时要先明确函数类型的限制条件，再结合交点要求列不等式求解。
【难度系数】
0.6
3. 已知抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点在第三象限，则关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的根的情况是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
)。A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先判断抛物线开口方向：该抛物线二次项系数为1＞0，因此开口向上；2. 结合顶点在第三象限的条件，可得顶点纵坐标小于0；3. 利用抛物线顶点纵坐标公式，将纵坐标小于0的条件转化为关于b、c的不等式，推导可得一元二次方程的判别式Δ＞0；4. 根据判别式的正负即可判断方程根的情况。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
∵ 抛物线顶点在第三象限，
∴ 顶点的纵坐标小于0，
由抛物线顶点纵坐标公式$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=1$得：
$\frac{4c - b^2}{4} ＜ 0$，
整理得：$b^2 - 4c ＞ 0$，
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点性质
2. 根的判别式
3. 二次函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础综合题，核心是建立二次函数图象特征与一元二次方程根的情况的对应关系，解题的突破口是通过顶点所在象限得到顶点纵坐标的符号，进而推导判别式的正负，此类题型是常考的基础考点，需要熟练掌握二者的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先判断抛物线开口方向：该抛物线二次项系数为1＞0，因此开口向上；2. 结合顶点在第三象限的条件，可得顶点纵坐标小于0；3. 利用抛物线顶点纵坐标公式，将纵坐标小于0的条件转化为关于b、c的不等式，推导可得一元二次方程的判别式Δ＞0；4. 根据判别式的正负即可判断方程根的情况。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
∵ 抛物线顶点在第三象限，
∴ 顶点的纵坐标小于0，
由抛物线顶点纵坐标公式$\frac{4ac - b^2}{4a}$，代入$a=1$得：
$\frac{4c - b^2}{4} ＜ 0$，
整理得：$b^2 - 4c ＞ 0$，
对于一元二次方程$x^2+bx+c=0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 4c ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数顶点性质
2. 根的判别式
3. 二次函数与方程的联系
【点评】
本题属于基础综合题，核心是建立二次函数图象特征与一元二次方程根的情况的对应关系，解题的突破口是通过顶点所在象限得到顶点纵坐标的符号，进而推导判别式的正负，此类题型是常考的基础考点，需要熟练掌握二者的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
4. 二次函数$y=x^2 -4x +3$的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，则$△ ABC$的面积为(
A.1
B.3
C.4
D.6
B
)。A.1
B.3
C.4
D.6
答案
4. B
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. A、B是二次函数图象与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解一元二次方程即可得到A、B的横坐标，进而求出AB的长度（即三角形的底）；2. C是二次函数图象与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，因此令x=0，代入函数解析式即可得到C点的纵坐标，C点到x轴的距离就是三角形的高；最后根据三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标及AB的长度
令二次函数中y=0，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
即A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则AB的长度为$3-1=2$。
步骤2：求C点坐标及三角形的高
令二次函数中x=0，代入得：$y=0^2 -4×0 +3=3$
即C点坐标为$(0,3)$，C点到x轴的距离为3，也就是△ABC的高为3。
步骤3：计算三角形面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合简单的几何面积公式即可解答，是二次函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. A、B是二次函数图象与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此令y=0，解一元二次方程即可得到A、B的横坐标，进而求出AB的长度（即三角形的底）；2. C是二次函数图象与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，因此令x=0，代入函数解析式即可得到C点的纵坐标，C点到x轴的距离就是三角形的高；最后根据三角形面积公式计算即可。
【解析】
步骤1：求A、B两点坐标及AB的长度
令二次函数中y=0，得方程：$x^2 -4x +3=0$
因式分解得：$(x-1)(x-3)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$
即A、B两点坐标为$(1,0)$、$(3,0)$，则AB的长度为$3-1=2$。
步骤2：求C点坐标及三角形的高
令二次函数中x=0，代入得：$y=0^2 -4×0 +3=3$
即C点坐标为$(0,3)$，C点到x轴的距离为3，也就是△ABC的高为3。
步骤3：计算三角形面积
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×3=3$
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法，结合简单的几何面积公式即可解答，是二次函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
