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3. 某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润$y_1$与投资量$x$成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$成二次函数关系,如图②所示。(利润与投资量的单位:万元)
(1)分别求出利润$y_1,y_2$与投资量$x$之间的关系式。
(2)如果这位园林专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少能获得多少利润?他能获得的最大利润是多少?
(1)分别求出利润$y_1,y_2$与投资量$x$之间的关系式。
(2)如果这位园林专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少能获得多少利润?他能获得的最大利润是多少?
答案
(1) $y_1 = 2x(x≥0)$ $y_2 = \frac{1}{2}x^2(x≥0)$
(2) 他至少能获得 14 万元的利润,他能获得的最大利润是 32 万元
(2) 他至少能获得 14 万元的利润,他能获得的最大利润是 32 万元
解析
【分析】
(1) 求解函数解析式：观察图①可知$y_1$是过原点的正比例函数，可设解析式为$y_1=kx(k≠0)$，代入已知点$P(1,2)$即可求出$k$，得到$y_1$的关系式；图②中$y_2$是顶点在原点的二次函数，可设解析式为$y_2=ax^2(a≠0)$，代入已知点$Q(2,2)$即可求出$a$，得到$y_2$的关系式。
(2) 求解利润最值：设投入花卉的资金为$t$万元，则投入树木的资金为$(8-t)$万元，$t$的取值范围为$0≤t≤8$，总利润为两类种植利润之和，据此列出总利润关于$t$的二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，即可求出最大和最小利润。
【解析】
(1) 设种植树木的利润$y_1$与投资量$x$的关系式为$y_1=kx(k≠0)$，
将点$P(1,2)$代入得：$2=k×1$，解得$k=2$，
因此$y_1=2x(x≥0)$。
设种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$的关系式为$y_2=ax^2(a≠0)$，
将点$Q(2,2)$代入得：$2=a×2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入种植花卉的资金为$t$万元，则投入种植树木的资金为$(8-t)$万元，其中$0≤ t≤8$，设总利润为$w$万元。
根据总利润=花卉利润+树木利润，得：
$\begin{aligned}w&=\frac{1}{2}t^2 + 2(8-t)\\&=\frac{1}{2}t^2 -2t +16\\&=\frac{1}{2}(t-2)^2 +14\end{aligned}$
∵$a=\frac{1}{2}＞0$，二次函数开口向上，对称轴为直线$t=2$，且$2$在$0≤ t≤8$范围内，
∴当$t=2$时，$w$取得最小值，$w_{\mathrm{最小}}=14$万元。
当$t＞2$时，$w$随$t$的增大而增大，因此在取值范围内$t=8$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}×(8-2)^2 +14=32$万元。
【答案】
(1) $y_1 = 2x(x≥0)$ $y_2 = \frac{1}{2}x^2(x≥0)$
(2) 他至少能获得 14 万元的利润,他能获得的最大利润是 32 万元
【知识点】
正比例函数，二次函数，二次函数最值
【点评】
本题结合实际生产情境考查函数的应用，解题的关键是根据图像特征选择合适的形式设函数解析式，再结合自变量的实际取值范围求解最值，需要注意区分两类利润对应的投资量。
【难度系数】
0.65
(1) 求解函数解析式：观察图①可知$y_1$是过原点的正比例函数，可设解析式为$y_1=kx(k≠0)$，代入已知点$P(1,2)$即可求出$k$，得到$y_1$的关系式；图②中$y_2$是顶点在原点的二次函数，可设解析式为$y_2=ax^2(a≠0)$，代入已知点$Q(2,2)$即可求出$a$，得到$y_2$的关系式。
(2) 求解利润最值：设投入花卉的资金为$t$万元，则投入树木的资金为$(8-t)$万元，$t$的取值范围为$0≤t≤8$，总利润为两类种植利润之和，据此列出总利润关于$t$的二次函数，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，即可求出最大和最小利润。
【解析】
(1) 设种植树木的利润$y_1$与投资量$x$的关系式为$y_1=kx(k≠0)$，
将点$P(1,2)$代入得：$2=k×1$，解得$k=2$，
因此$y_1=2x(x≥0)$。
设种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$的关系式为$y_2=ax^2(a≠0)$，
将点$Q(2,2)$代入得：$2=a×2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入种植花卉的资金为$t$万元，则投入种植树木的资金为$(8-t)$万元，其中$0≤ t≤8$，设总利润为$w$万元。
根据总利润=花卉利润+树木利润，得：
$\begin{aligned}w&=\frac{1}{2}t^2 + 2(8-t)\\&=\frac{1}{2}t^2 -2t +16\\&=\frac{1}{2}(t-2)^2 +14\end{aligned}$
∵$a=\frac{1}{2}＞0$，二次函数开口向上，对称轴为直线$t=2$，且$2$在$0≤ t≤8$范围内，
∴当$t=2$时，$w$取得最小值，$w_{\mathrm{最小}}=14$万元。
当$t＞2$时，$w$随$t$的增大而增大，因此在取值范围内$t=8$时，$w$取得最大值：
$w_{\mathrm{最大}}=\frac{1}{2}×(8-2)^2 +14=32$万元。
【答案】
(1) $y_1 = 2x(x≥0)$ $y_2 = \frac{1}{2}x^2(x≥0)$
(2) 他至少能获得 14 万元的利润,他能获得的最大利润是 32 万元
【知识点】
正比例函数，二次函数，二次函数最值
【点评】
本题结合实际生产情境考查函数的应用，解题的关键是根据图像特征选择合适的形式设函数解析式，再结合自变量的实际取值范围求解最值，需要注意区分两类利润对应的投资量。
【难度系数】
0.65
4. 某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为30元/kg，物价部门规定其销售价格不高于60元/kg，不低于30元/kg。经市场调查发现：该化工原料日销售量$ y $（kg）与销售价格$ x $（元/kg）之间满足一次函数关系，且当$ x = 60 $时，$ y = 80 $；当$ x = 50 $时，$ y = 100 $。在销售过程中，每天还要支付其他费用450元。
(1)求$ y $与$ x $之间的关系式，并写出自变量$ x $的取值范围。
(2)求该公司销售该化工原料日获利$ w $（元）与销售单价$ x $（元/kg）之间的关系式。
(3)当销售价格为每千克多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
(1)求$ y $与$ x $之间的关系式，并写出自变量$ x $的取值范围。
(2)求该公司销售该化工原料日获利$ w $（元）与销售单价$ x $（元/kg）之间的关系式。
(3)当销售价格为每千克多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
答案
(1) y = -2x + 200(30≤x≤60)
(2) w = (x - 30)(-2x + 200) - 450 = -2x² + 260x - 6 450 = -2(x - 65)² + 2 000
(3) w = -2(x - 65)² + 2 000。
∵ 30≤x≤60,
∴ 当x = 60 时,w 有最大值 1 950。因此,当销售价格为60 元/kg 时,该公司日获利最大,最大获利是 1 950 元
(2) w = (x - 30)(-2x + 200) - 450 = -2x² + 260x - 6 450 = -2(x - 65)² + 2 000
(3) w = -2(x - 65)² + 2 000。
∵ 30≤x≤60,
∴ 当x = 60 时,w 有最大值 1 950。因此,当销售价格为60 元/kg 时,该公司日获利最大,最大获利是 1 950 元
解析
【分析】
本题分三小问逐步求解，思路如下：
1. 第一问：已知日销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，且给出两组$x$、$y$的对应值，可采用待定系数法设$y=kx+b$，代入两组值解出$k$、$b$即可得到函数关系式，再结合题目给出的销售单价限制写出自变量$x$的取值范围。
2. 第二问：日获利的计算逻辑为“每千克利润×日销售量 - 每日其他费用”，每千克利润为$(x-30)$元，日销售量用第一问得到的$y$的表达式代入，展开整理即可得到$w$与$x$的函数关系式，也可配方为顶点式方便后续求最值。
3. 第三问：$w$是开口向下的二次函数，先确定对称轴，再结合自变量$x$的取值范围判断最值点：若顶点在取值范围内，顶点处取最值；若顶点不在取值范围内，根据函数增减性在区间端点处取最值。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的一次函数关系式为$y=kx+b(k\ne0)$，将$\begin{cases}x=60,y=80\\x=50,y=100\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 80 \\50k + b = 100\end{cases}$
两式相减得$10k=-20$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$50k + b=100$，解得$b=200$。
结合物价部门对销售价格的规定，自变量$x$的取值范围为$30≤ x≤60$，因此$y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2) 根据日获利的计算规则：$w=$每千克利润×销售量 - 其他费用，代入相关量得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)(-2x+200)-450\\&=-2x^2+200x+60x-6000-450\\&=-2x^2+260x-6450\end{aligned}$
配方为顶点式：
$\begin{aligned}w&=-2(x^2-130x)-6450\\&=-2[(x-65)^2-4225]-6450\\&=-2(x-65)^2+2000\end{aligned}$
(3) 由$w=-2(x-65)^2+2000$可知，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=65$。
$\because 30≤ x≤60$，在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=60$时，$w$取得最大值，代入得：
$w=-2×(60-65)^2+2000=-2×25+2000=1950$。
即当销售单价为60元/kg时，日获利最大，最大获利为1950元。
【答案】
(1) $y = -2x + 200(30≤ x≤ 60)$
(2) $w=-2x^2 + 260x - 6450$（或$w=-2(x-65)^2 + 2000$）
(3) 当销售价格为60元/kg时，该公司日获利最大，最大获利是1950元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题综合考察一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是理清利润的计算逻辑，同时要注意实际问题中自变量的取值范围对二次函数最值的影响，不能直接套用顶点坐标忽略取值范围，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
本题分三小问逐步求解，思路如下：
1. 第一问：已知日销售量$y$是销售单价$x$的一次函数，且给出两组$x$、$y$的对应值，可采用待定系数法设$y=kx+b$，代入两组值解出$k$、$b$即可得到函数关系式，再结合题目给出的销售单价限制写出自变量$x$的取值范围。
2. 第二问：日获利的计算逻辑为“每千克利润×日销售量 - 每日其他费用”，每千克利润为$(x-30)$元，日销售量用第一问得到的$y$的表达式代入，展开整理即可得到$w$与$x$的函数关系式，也可配方为顶点式方便后续求最值。
3. 第三问：$w$是开口向下的二次函数，先确定对称轴，再结合自变量$x$的取值范围判断最值点：若顶点在取值范围内，顶点处取最值；若顶点不在取值范围内，根据函数增减性在区间端点处取最值。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的一次函数关系式为$y=kx+b(k\ne0)$，将$\begin{cases}x=60,y=80\\x=50,y=100\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 80 \\50k + b = 100\end{cases}$
两式相减得$10k=-20$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$50k + b=100$，解得$b=200$。
结合物价部门对销售价格的规定，自变量$x$的取值范围为$30≤ x≤60$，因此$y=-2x+200(30≤ x≤60)$。
(2) 根据日获利的计算规则：$w=$每千克利润×销售量 - 其他费用，代入相关量得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)(-2x+200)-450\\&=-2x^2+200x+60x-6000-450\\&=-2x^2+260x-6450\end{aligned}$
配方为顶点式：
$\begin{aligned}w&=-2(x^2-130x)-6450\\&=-2[(x-65)^2-4225]-6450\\&=-2(x-65)^2+2000\end{aligned}$
(3) 由$w=-2(x-65)^2+2000$可知，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=65$。
$\because 30≤ x≤60$，在对称轴左侧，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=60$时，$w$取得最大值，代入得：
$w=-2×(60-65)^2+2000=-2×25+2000=1950$。
即当销售单价为60元/kg时，日获利最大，最大获利为1950元。
【答案】
(1) $y = -2x + 200(30≤ x≤ 60)$
(2) $w=-2x^2 + 260x - 6450$（或$w=-2(x-65)^2 + 2000$）
(3) 当销售价格为60元/kg时，该公司日获利最大，最大获利是1950元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题综合考察一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是理清利润的计算逻辑，同时要注意实际问题中自变量的取值范围对二次函数最值的影响，不能直接套用顶点坐标忽略取值范围，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
