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1. 某专营店销售一种进口产品,其成本价是20元/kg,根据以往的销售情况描出销量y(kg/天)与售价x(元/kg)之间的关系,如图所示。
(1)试求出y与x之间的关系式。
(2)利用(1)的结论:
①求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润;
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该进口产品最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/kg,则一次最多只能进货多少千克?
(1)试求出y与x之间的关系式。
(2)利用(1)的结论:
①求每千克售价为多少元时,每天可以获得最大的销售利润;
②进口产品检验、运输等过程需耗时5天,该进口产品最长的保存期为一个月(30天),若售价不低于30元/kg,则一次最多只能进货多少千克?
答案
1. (1) y = -2x + 112 (2) ① 38 ② 1 300
解析
【分析】
(1) 观察散点图可知y与x满足一次函数关系，因此设一次函数解析式为y=kx+b，选取图中两组明确的坐标值代入求解，再验证其余点符合解析式即可得到y与x的关系式。
(2) ① 销售利润=每千克利润×日销量，将每千克利润(x-20)和(1)中求得的y代入，得到利润关于售价x的二次函数，结合二次函数开口方向求顶点对应的x值即为利润最大时的售价。
② 首先计算最长可销售天数为总保存期减运输耗时，再根据售价不低于30元的限制，结合一次函数的增减性找到最大日销量，用最大日销量乘最长销售天数即可得到最多进货量。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$ y = kx + b $（$ k≠0 $），选取图中点$(39,34)$、$(40,32)$代入得：
$\begin{cases}39k + b = 34 \\40k + b = 32\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$ k=-2 $，将$ k=-2 $代入$39k + b=34$，解得$b=112$。
验证：当$x=37$时，$y=-2×37 +112=38$，符合图中点的坐标，因此y与x的关系式为$ y=-2x +112 $。
(2) ① 设每天的销售利润为w元，每千克利润为$(x-20)$元，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+112)\\&=-2x^2 +152x -2240\\&=-2(x-38)^2 +648\end{aligned}$
因为$-2＜0$，二次函数开口向下，因此当$x=38$时，w取得最大值，即每千克售价为38元时，每天销售利润最大。
② 该产品最长可销售天数为：$30-5=25$天。
由$ y=-2x+112 $中$k=-2＜0$，可知y随x的增大而减小，已知售价$x≥30$，因此当$x=30$时，日销量y最大：
$ y=-2×30 +112=52\ \mathrm{kg/天} $
最多进货量为：$25×52=1300\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $ \boldsymbol{y=-2x+112} $
(2) ① $\boldsymbol{38}$元；② $\boldsymbol{1300}$千克
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数最值应用，一次函数增减性应用
【点评】
本题结合实际销售问题，综合考查了一次函数与二次函数的应用，解题时要注意结合实际场景确定变量的取值范围，再根据函数性质求解对应最值，要求学生具备将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察散点图可知y与x满足一次函数关系，因此设一次函数解析式为y=kx+b，选取图中两组明确的坐标值代入求解，再验证其余点符合解析式即可得到y与x的关系式。
(2) ① 销售利润=每千克利润×日销量，将每千克利润(x-20)和(1)中求得的y代入，得到利润关于售价x的二次函数，结合二次函数开口方向求顶点对应的x值即为利润最大时的售价。
② 首先计算最长可销售天数为总保存期减运输耗时，再根据售价不低于30元的限制，结合一次函数的增减性找到最大日销量，用最大日销量乘最长销售天数即可得到最多进货量。
【解析】
(1) 设y与x的函数关系式为$ y = kx + b $（$ k≠0 $），选取图中点$(39,34)$、$(40,32)$代入得：
$\begin{cases}39k + b = 34 \\40k + b = 32\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$ k=-2 $，将$ k=-2 $代入$39k + b=34$，解得$b=112$。
验证：当$x=37$时，$y=-2×37 +112=38$，符合图中点的坐标，因此y与x的关系式为$ y=-2x +112 $。
(2) ① 设每天的销售利润为w元，每千克利润为$(x-20)$元，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-20)y\\&=(x-20)(-2x+112)\\&=-2x^2 +152x -2240\\&=-2(x-38)^2 +648\end{aligned}$
因为$-2＜0$，二次函数开口向下，因此当$x=38$时，w取得最大值，即每千克售价为38元时，每天销售利润最大。
② 该产品最长可销售天数为：$30-5=25$天。
由$ y=-2x+112 $中$k=-2＜0$，可知y随x的增大而减小，已知售价$x≥30$，因此当$x=30$时，日销量y最大：
$ y=-2×30 +112=52\ \mathrm{kg/天} $
最多进货量为：$25×52=1300\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $ \boldsymbol{y=-2x+112} $
(2) ① $\boldsymbol{38}$元；② $\boldsymbol{1300}$千克
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数最值应用，一次函数增减性应用
【点评】
本题结合实际销售问题，综合考查了一次函数与二次函数的应用，解题时要注意结合实际场景确定变量的取值范围，再根据函数性质求解对应最值，要求学生具备将实际问题转化为函数问题的能力。
【难度系数】
0.7
2.某水果店购进一批优质晚熟杧果,进价为10元/kg,售价不低于15元/kg,且不超过40元/kg。根据销售情况,发现该杧果在一天内的销售量y(kg)与该天的售价x(元/kg)之间满足如下表所示的一次函数关系。
(1)某天该杧果的售价为28元/kg,求当天该杧果的销售量。
(2)设某天销售这种杧果获利m元,写出m与售价x之间的关系式。如果水果店该天获利400元,那么这天杧果的售价为多少元?
(1)某天该杧果的售价为28元/kg,求当天该杧果的销售量。
(2)设某天销售这种杧果获利m元,写出m与售价x之间的关系式。如果水果店该天获利400元,那么这天杧果的售价为多少元?
答案
(1) 设该一次函数的表达式为 y = kx + b(k≠0),则$\begin{cases}25k + b = 35, \\22k + b = 38,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k = -1, \\b = 60。\end{cases}$
∴ y = -x + 60(15≤x≤40)。
∴ 当 x = 28 时,y = 32。因此,杧果售价为28 元/kg时,当天该杧果的销售量为 32 kg
(2) 由题意知,m = y(x - 10) = (-x + 60)(x - 10) = -x² + 70x - 600,当 m = 400 时,-x² + 70x - 600 = 400,解得 x₁ = 20,x₂ = 50。
∵ 15≤x≤40,
∴ x = 20。因此,这天杧果的售价为 20 元/kg
∴ y = -x + 60(15≤x≤40)。
∴ 当 x = 28 时,y = 32。因此,杧果售价为28 元/kg时,当天该杧果的销售量为 32 kg
(2) 由题意知,m = y(x - 10) = (-x + 60)(x - 10) = -x² + 70x - 600,当 m = 400 时,-x² + 70x - 600 = 400,解得 x₁ = 20,x₂ = 50。
∵ 15≤x≤40,
∴ x = 20。因此,这天杧果的售价为 20 元/kg
解析
【分析】
(1) 题目明确销售量y与售价x满足一次函数关系，解题时先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入，解二元一次方程组求出k、b，得到符合售价取值范围的函数解析式，再将$x=28$代入解析式即可求出对应销售量。
(2) 销售总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为$(x-10)$元，销售量为已经求出的含x的表达式，代入即可得到m与x的关系式；当$m=400$时，代入关系式得到一元二次方程，求解后结合题目给出的售价范围舍去不符合要求的根，即可得到最终售价。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为 $y = kx + b(k≠0)$，选取表格中两组对应值代入得：
$\begin{cases}25k + b = 35 \\22k + b = 38\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 60\end{cases}$
∴ $y = -x + 60\quad(15≤ x≤40)$
当 $x = 28$ 时，$y=-28+60=32$。
(2) 由题意，总获利=每千克利润×销售量，因此：
$m = y(x - 10) = (-x + 60)(x - 10) = -x^2 + 70x - 600$
当 $m = 400$ 时，代入得：
$-x^2 + 70x - 600 = 400$
整理得$x^2-70x+1000=0$，解得 $x_1 = 20,x_2 = 50$。
∵ 售价范围为$15≤ x≤40$，$x=50$不符合要求，故舍去，得$x=20$。
【答案】
(1) 当天该杧果的销售量为32 kg；
(2) $m=-x^2+70x-600(15≤ x≤40)$，这天杧果的售价为20元。
【知识点】
一次函数应用，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用题，核心考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意结合实际取值范围对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确销售量y与售价x满足一次函数关系，解题时先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组对应的x、y值代入，解二元一次方程组求出k、b，得到符合售价取值范围的函数解析式，再将$x=28$代入解析式即可求出对应销售量。
(2) 销售总利润=每千克利润×销售量，其中每千克利润为$(x-10)$元，销售量为已经求出的含x的表达式，代入即可得到m与x的关系式；当$m=400$时，代入关系式得到一元二次方程，求解后结合题目给出的售价范围舍去不符合要求的根，即可得到最终售价。
【解析】
(1) 设该一次函数的表达式为 $y = kx + b(k≠0)$，选取表格中两组对应值代入得：
$\begin{cases}25k + b = 35 \\22k + b = 38\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -1 \\b = 60\end{cases}$
∴ $y = -x + 60\quad(15≤ x≤40)$
当 $x = 28$ 时，$y=-28+60=32$。
(2) 由题意，总获利=每千克利润×销售量，因此：
$m = y(x - 10) = (-x + 60)(x - 10) = -x^2 + 70x - 600$
当 $m = 400$ 时，代入得：
$-x^2 + 70x - 600 = 400$
整理得$x^2-70x+1000=0$，解得 $x_1 = 20,x_2 = 50$。
∵ 售价范围为$15≤ x≤40$，$x=50$不符合要求，故舍去，得$x=20$。
【答案】
(1) 当天该杧果的销售量为32 kg；
(2) $m=-x^2+70x-600(15≤ x≤40)$，这天杧果的售价为20元。
【知识点】
一次函数应用，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题是函数与方程结合的实际应用题，核心考查学生将实际问题转化为数学模型的能力，解题时要注意结合实际取值范围对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
