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1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价(
A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
A
)。A.5元
B.10元
C.15元
D.20元
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解利润最大值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，设降价金额为自变量，总利润为因变量，分别表示出降价后的单个利润和销售数量；第三步，根据利润公式列出二次函数表达式；第四步，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向，找到使总利润最大时自变量的取值即可。
【解析】
解：设应降价$ x $元，每日获得的总利润为$ y $元。
1. 计算降价后单个商品的利润：单个商品原利润为$ 100-70=30 $元，降价$ x $元后，单个利润为$ (30-x) $元；
2. 计算降价后的日销量：原日销量为20个，每降价1元销量增加1个，降价$ x $元后日销量为$ (20+x) $个；
3. 列总利润的函数表达式：
$ y=(30-x)(20+x) $
展开整理得：$ y=-x^2+10x+600 $
配方为顶点式：$ y=-(x-5)^2+625 $
4. 求最值：
∵ 二次项系数$ -1＜0 $，抛物线开口向下，
∴ 当$ x=5 $时，$ y $取得最大值，即降价5元时可获取最大利润。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、二次函数的应用、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际经营问题中的典型应用，解题核心是准确梳理各个量之间的关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解利润最大值的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确利润计算公式：总利润=单个商品利润×销售数量；第二步，设降价金额为自变量，总利润为因变量，分别表示出降价后的单个利润和销售数量；第三步，根据利润公式列出二次函数表达式；第四步，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向，找到使总利润最大时自变量的取值即可。
【解析】
解：设应降价$ x $元，每日获得的总利润为$ y $元。
1. 计算降价后单个商品的利润：单个商品原利润为$ 100-70=30 $元，降价$ x $元后，单个利润为$ (30-x) $元；
2. 计算降价后的日销量：原日销量为20个，每降价1元销量增加1个，降价$ x $元后日销量为$ (20+x) $个；
3. 列总利润的函数表达式：
$ y=(30-x)(20+x) $
展开整理得：$ y=-x^2+10x+600 $
配方为顶点式：$ y=-(x-5)^2+625 $
4. 求最值：
∵ 二次项系数$ -1＜0 $，抛物线开口向下，
∴ 当$ x=5 $时，$ y $取得最大值，即降价5元时可获取最大利润。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、二次函数的应用、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数在实际经营问题中的典型应用，解题核心是准确梳理各个量之间的关系，正确列出二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，注意最终结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2.某宾馆有100张床位,若每床每晚收费10元,则床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出。已知每床每晚提高的费用是2元的正整数倍,为了成本少而获利大,每床每晚收费应提高(
A.4元或6元
B.4元
C.6元
D.8元
C
)。A.4元或6元
B.4元
C.6元
D.8元
答案
2. C
解析
【分析】
这是销售利润类的最值问题，解题思路如下：①先根据题意设定变量，明确每张床位的利润和租出床位数量的表达式；②根据“总利润=单床利润×租出床位数”建立总利润与提价金额的二次函数关系；③结合二次函数的性质求出利润最大值对应的提价方案；④注意题干“成本少而获利大”的限制，同等利润下选择租出床位更少（成本更低）的方案。
【解析】
设每床每晚收费提高$2x$元（$x$为正整数，满足提价为2元正整数倍的要求），每晚总获利为$y$元。
此时单床每晚收费为$(10+2x)$元，租出的床位数量为$(100-10x)$张，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\\&=-20(x-2.5)^2+1125\end{aligned}$
$\because a=-20＜0$，二次函数开口向下，且$x$为正整数
$\therefore$当$x=2$或$x=3$时，$y$取得最大值，最大利润均为1120元
当$x=2$时，提价$2×2=4$元，租出床位$100-10×2=80$张
当$x=3$时，提价$2×3=6$元，租出床位$100-10×3=70$张
题干要求“成本少而获利大”，同等利润下租出床位越少成本越低，因此选择提价6元的方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、销售利润计算、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题时要注意结合题干的附加限制条件筛选最优解，避免只计算出最大利润对应的所有方案就直接选择，忽略实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
这是销售利润类的最值问题，解题思路如下：①先根据题意设定变量，明确每张床位的利润和租出床位数量的表达式；②根据“总利润=单床利润×租出床位数”建立总利润与提价金额的二次函数关系；③结合二次函数的性质求出利润最大值对应的提价方案；④注意题干“成本少而获利大”的限制，同等利润下选择租出床位更少（成本更低）的方案。
【解析】
设每床每晚收费提高$2x$元（$x$为正整数，满足提价为2元正整数倍的要求），每晚总获利为$y$元。
此时单床每晚收费为$(10+2x)$元，租出的床位数量为$(100-10x)$张，根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\\&=-20(x-2.5)^2+1125\end{aligned}$
$\because a=-20＜0$，二次函数开口向下，且$x$为正整数
$\therefore$当$x=2$或$x=3$时，$y$取得最大值，最大利润均为1120元
当$x=2$时，提价$2×2=4$元，租出床位$100-10×2=80$张
当$x=3$时，提价$2×3=6$元，租出床位$100-10×3=70$张
题干要求“成本少而获利大”，同等利润下租出床位越少成本越低，因此选择提价6元的方案。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、销售利润计算、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题时要注意结合题干的附加限制条件筛选最优解，避免只计算出最大利润对应的所有方案就直接选择，忽略实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
3. 某件产品的成本为10元,如果试销阶段的销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的关系式是$y=(x-10)(40-x)$,那么获利最多时的售价为
25
元/件。答案
3. 25
解析
【分析】
本题是求销售利润最大值对应的售价，核心是利用二次函数的最值性质求解。首先观察给出的利润关系式，可判断其为二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点处取得最大值，因此只需求出二次函数顶点的横坐标，即为获利最多时的售价。解题时可先将关系式展开为一般式用对称轴公式计算，也可通过配方法转化为顶点式直接得到对应x的值。
【解析】
方法一：对称轴公式法
先将函数关系式展开为一般式：
$y=(x-10)(40-x)=-x^2+50x-400$
其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数有最大值，当x取对称轴对应的值时，y最大。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=50$得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
方法二：配方法
对函数关系式配方：
$y=(x-10)(40-x)=-x^2+50x-400$
$=-(x^2-50x+625)+625-400$
$=-(x-25)^2+225$
因为$-(x-25)^2≤0$，所以当$x-25=0$即$x=25$时，y取得最大值。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值；销售利润问题；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，重点考查二次函数求最值的方法，解题时需注意先判断二次函数的开口方向，再结合公式或配方法求最值，同时要验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题是求销售利润最大值对应的售价，核心是利用二次函数的最值性质求解。首先观察给出的利润关系式，可判断其为二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，顶点处取得最大值，因此只需求出二次函数顶点的横坐标，即为获利最多时的售价。解题时可先将关系式展开为一般式用对称轴公式计算，也可通过配方法转化为顶点式直接得到对应x的值。
【解析】
方法一：对称轴公式法
先将函数关系式展开为一般式：
$y=(x-10)(40-x)=-x^2+50x-400$
其中二次项系数$a=-1＜0$，因此函数有最大值，当x取对称轴对应的值时，y最大。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=50$得：
$x=-\frac{50}{2×(-1)}=25$
方法二：配方法
对函数关系式配方：
$y=(x-10)(40-x)=-x^2+50x-400$
$=-(x^2-50x+625)+625-400$
$=-(x-25)^2+225$
因为$-(x-25)^2≤0$，所以当$x-25=0$即$x=25$时，y取得最大值。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的最值；销售利润问题；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，重点考查二次函数求最值的方法，解题时需注意先判断二次函数的开口方向，再结合公式或配方法求最值，同时要验证所求自变量的值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
4.某种商品每件的进价为20元,调查发现:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售,可卖出(600-20x)件,要使利润最大,则每件售价应定为
25
元。答案
4. 25
解析
【分析】
要解决利润最大化的问题，首先明确利润的核心计算逻辑：总利润=单件利润×销售量。第一步根据已知条件表示出单件利润（售价减进价），结合给出的销售量与售价的关系，列出总利润关于售价x的二次函数表达式；第二步根据二次函数的性质，结合x的取值范围，找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x - 20)$元，销售量为$(600 - 20x)$件，因此总利润的表达式为：
$y=(x - 20)(600 - 20x) \quad (20≤ x≤30)$
展开并整理函数：
$\begin{aligned}y&=600x - 20x^2 - 12000 + 400x\\y&=-20x^2 + 1000x - 12000\end{aligned}$
该函数为二次函数，其中$a=-20＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$、$b=1000$得：
$x=-\frac{1000}{2×(-20)}=25$
经检验，$x=25$在取值范围$20≤ x≤30$内，符合题意。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的基础题型，解题核心是根据利润公式正确建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解最值，求解过程中需注意验证自变量的取值是否符合实际限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决利润最大化的问题，首先明确利润的核心计算逻辑：总利润=单件利润×销售量。第一步根据已知条件表示出单件利润（售价减进价），结合给出的销售量与售价的关系，列出总利润关于售价x的二次函数表达式；第二步根据二次函数的性质，结合x的取值范围，找到使利润最大的x值即可。
【解析】
设总利润为y元，根据题意可得：
单件利润为$(x - 20)$元，销售量为$(600 - 20x)$件，因此总利润的表达式为：
$y=(x - 20)(600 - 20x) \quad (20≤ x≤30)$
展开并整理函数：
$\begin{aligned}y&=600x - 20x^2 - 12000 + 400x\\y&=-20x^2 + 1000x - 12000\end{aligned}$
该函数为二次函数，其中$a=-20＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$、$b=1000$得：
$x=-\frac{1000}{2×(-20)}=25$
经检验，$x=25$在取值范围$20≤ x≤30$内，符合题意。
【答案】
25
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是销售类最值问题的基础题型，解题核心是根据利润公式正确建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解最值，求解过程中需注意验证自变量的取值是否符合实际限制条件。
【难度系数】
0.8
5. 进价为80元的某衬衣定价100元时,每月可卖出2 000件,如果价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元/件)之间的关系式为
每月利润w(元)与衬衣售价x(元/件)之间的关系式为
$y=2\ 000-5(x-100)$
。每月利润w(元)与衬衣售价x(元/件)之间的关系式为
$w=[2\ 000-5(x-100)](x-80)$
。(以上关系式只列式不化简)答案
5. $y=2\ 000-5(x-100)$
$w=[2\ 000-5(x-100)](x-80)$
$w=[2\ 000-5(x-100)](x-80)$
解析
【分析】
求解销售量y与售价x的关系式时，先明确变化规律：原售价100元对应销量2000件，售价每涨1元销量减少5件。首先计算售价相对100元的上涨幅度为(x-100)元，对应销量减少量为5(x-100)件，用原销量减去减少的销量即可得到y的表达式。求解利润w与售价x的关系式时，利用“总利润=单件利润×总销量”的公式，单件利润为售价减进价即(x-80)元，总销量为已求出的y，两者相乘即可得到w的表达式。
【解析】
1. 列y与x的关系式：
售价为x元时，相比原定价100元上涨了$(x-100)$元，对应销量减少$5(x-100)$件，原销量为2000件，因此：
$y=2000-5(x-100)$
2. 列w与x的关系式：
每件衬衣的利润为$(x-80)$元，总利润=单件利润×总销量，将单件利润和总销量代入得：
$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【答案】
$y=2000-5(x-100)$；$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【知识点】
销售问题等量关系；列函数关系式；利润计算
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题，解题关键是找准售价变化和销售量变化的对应关系，牢记总利润的计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
求解销售量y与售价x的关系式时，先明确变化规律：原售价100元对应销量2000件，售价每涨1元销量减少5件。首先计算售价相对100元的上涨幅度为(x-100)元，对应销量减少量为5(x-100)件，用原销量减去减少的销量即可得到y的表达式。求解利润w与售价x的关系式时，利用“总利润=单件利润×总销量”的公式，单件利润为售价减进价即(x-80)元，总销量为已求出的y，两者相乘即可得到w的表达式。
【解析】
1. 列y与x的关系式：
售价为x元时，相比原定价100元上涨了$(x-100)$元，对应销量减少$5(x-100)$件，原销量为2000件，因此：
$y=2000-5(x-100)$
2. 列w与x的关系式：
每件衬衣的利润为$(x-80)$元，总利润=单件利润×总销量，将单件利润和总销量代入得：
$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【答案】
$y=2000-5(x-100)$；$w=[2000-5(x-100)](x-80)$
【知识点】
销售问题等量关系；列函数关系式；利润计算
【点评】
本题属于销售类实际应用的基础题，解题关键是找准售价变化和销售量变化的对应关系，牢记总利润的计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6. 某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg,每千克可盈利6元,为减少库存,经市场调查,若这种水果每千克降价1元,则每天可多售出20 kg。
(1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y与x之间的关系式;
(2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?
(1)设每千克水果降价x元,平均每天盈利y元,试写出y与x之间的关系式;
(2)若要平均每天盈利960元,则每千克应降价多少元?
答案
(1) $y = -20x^2 - 80x + 1\ 200$
(2) 2元
(2) 2元
解析
【分析】
(1) 求解y与x的函数关系式，核心是抓住“总盈利=每千克盈利×总销售量”这一等量关系：首先确定降价x元后每千克的盈利为(6-x)元，再确定降价后每天的总销售量为(200+20x)kg，两者相乘后整理为标准二次函数形式即可。
(2) 求解盈利960元时的降价金额，只需将y=960代入第一问得到的函数关系式，得到一元二次方程，求解方程后结合“减少库存”的实际要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克水果盈利为$(6-x)$元，每天的销售量为$(200+20x)$kg。
根据总盈利=每千克盈利×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(6-x)(200+20x)\\&=1200+120x-200x-20x^2\\&=-20x^2-80x+1200\end{aligned}$
(2) 令$y=960$，代入关系式得：
$-20x^2-80x+1200=960$
移项整理得：$x^2+4x-12=0$
因式分解得：$(x+6)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-6$（降价金额不能为负，不符合题意，舍去）
又因要减少库存，降价越多销售量越高，故x=2符合要求。
【答案】
(1) $y = -20x^2 - 80x + 1200$
(2) 2元
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程的解法；销售利润问题
【点评】
本题是常见的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列函数式或方程，求解后要注意结合实际情境对解进行取舍，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求解y与x的函数关系式，核心是抓住“总盈利=每千克盈利×总销售量”这一等量关系：首先确定降价x元后每千克的盈利为(6-x)元，再确定降价后每天的总销售量为(200+20x)kg，两者相乘后整理为标准二次函数形式即可。
(2) 求解盈利960元时的降价金额，只需将y=960代入第一问得到的函数关系式，得到一元二次方程，求解方程后结合“减少库存”的实际要求舍去不符合题意的解即可。
【解析】
(1) 由题意得，降价x元后，每千克水果盈利为$(6-x)$元，每天的销售量为$(200+20x)$kg。
根据总盈利=每千克盈利×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(6-x)(200+20x)\\&=1200+120x-200x-20x^2\\&=-20x^2-80x+1200\end{aligned}$
(2) 令$y=960$，代入关系式得：
$-20x^2-80x+1200=960$
移项整理得：$x^2+4x-12=0$
因式分解得：$(x+6)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-6$（降价金额不能为负，不符合题意，舍去）
又因要减少库存，降价越多销售量越高，故x=2符合要求。
【答案】
(1) $y = -20x^2 - 80x + 1200$
(2) 2元
【知识点】
二次函数实际应用；一元二次方程的解法；销售利润问题
【点评】
本题是常见的销售利润类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列函数式或方程，求解后要注意结合实际情境对解进行取舍，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
