5.《中共中央 国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》指出，鼓励学校（家委会）和社区等组织开展学生生活技能展示活动。某社区计划利用社区现有资源开发一块劳动实践基地供家长加强学生的劳动教育，为使得种植面积最大，该劳动基地一面靠墙AB，AB = 10 m，其余部分用围栏围挡（实线所示，且没有浪费），围栏总长共25 m，如图所示，基地分为$S_1,S_2$和$S_3$三个部分，其中$S_1$是宽$(DG)$为1 m的矩形水池，$S_2$和$S_3$为矩形种植区域，且$S_2$为正方形，设$AG$的长是$x$ m。
(1)请用含$x$的式子表示$CE$，并求出$x$的取值范围；
(2)求该劳动实践基地种植面积的最大值。

(1)由题意可知 $3(x + 1) + x + CE = 25$,
∴ $CE = 22 - 4x$。
∵ $CD≤10$,
∴ $22 - 4x + x ≤10$,解得 $x≥4$,又
∵ $3(x + 1) + x ＜ 25$,
∴ $x ＜ \frac{11}{2}$。
∴ $4≤x ＜ \frac{11}{2}$
(2)设该劳动实践基地的种植面积为 S,即 $S = S_2 + S_3$,则$S = x^2 + (x + 1)(22 - 4x) = -3(x - 3)^2 + 49$。
∵ $-3 ＜ 0$,$4≤x ＜ \frac{11}{2}$,
∴ 当 $x ＞ 3$ 时,S 的值随着 x 值的增大而减小,
∴ 当 $x = 4$ 时,S 有最大值,此时 $S = -3 × (4 - 3)^2 + 49 = 46$。因此,该劳动实践基地种植面积的最大值为 $46\ \mathrm{m}^2$

【分析】
(1) 首先梳理各边的数量关系：S₂是正方形，AG=x，则S₂的边长为x，竖直方向总高度为$AG+DG=x+1$；围栏总长由3段竖直围栏、DE、CE三部分组成，据此列等式即可表示CE；再结合靠墙边长不超过AB的长度、CE长度为正两个实际限制，即可求出x的取值范围。
(2) 种植面积为S₂与S₃的面积和，分别表示两个区域的面积相加，得到关于x的二次函数，根据二次函数的开口方向、增减性，结合x的取值范围，即可求出种植面积的最大值。
【解析】
(1) 由题意可知，竖直方向共有3段等长的围栏，每段长度为$x+1$ m，水平方向围栏分为DE（长为x m）和CE两段，围栏总长25 m，因此：
$3(x + 1) + x + CE = 25$
整理得：$CE = 22 - 4x$
求x的取值范围：
① 靠墙一侧边长$CD = x + CE ≤ AB = 10$，代入CE的表达式得：
$x + 22 - 4x ≤ 10$
解得$x≥4$
② CE为线段长度，需满足$CE＞0$，即$22 - 4x ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{11}{2}$
综上，x的取值范围为$4≤x ＜ \frac{11}{2}$
(2) 设种植面积为S，$S = S_2 + S_3$：
正方形$S_2$的面积为$x^2$，矩形$S_3$的长为$22-4x$，宽为$x+1$，因此：
$\begin{aligned}S &= x^2 + (x+1)(22-4x) \\&= -3x^2 + 18x + 22 \\&= -3(x - 3)^2 + 49\end{aligned}$
∵ 二次项系数$-3＜0$，函数图象开口向下，对称轴为直线$x=3$
∴ 当$x＞3$时，S随x的增大而减小
结合x的取值范围$4≤x ＜ \frac{11}{2}$，当$x=4$时S取得最大值：
$S_{max} = -3×(4-3)^2 + 49 = 46$
【答案】
(1) $CE=22-4x$，x的取值范围是$4≤x ＜ \frac{11}{2}$；
(2) 该劳动实践基地种植面积的最大值为$46\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的增减性；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活情境考查二次函数的最值应用，解题的关键是准确梳理各边的数量关系，列出正确的函数表达式，同时要注意自变量的取值范围要符合实际意义，避免忽略范围直接代入顶点求最值的错误。
【难度系数】
0.65

6. 综合与实践:制作一个长方体礼盒。材料:一张矩形卡纸(长为30 cm,宽为24 cm,如图①)。
【实验操作】
操作一:如图②,将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的小矩形;
操作二:如图③,将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面(阴影部分)折成一个长方体礼盒(接缝处忽略不计)。
【问题解决】
设剪去的小正方形的边长为x cm。
(1)长方体礼盒底面长AB为cm,宽BC为cm。(均用含有x的式子表示)
(2)若礼盒的底面积为140 cm²,求x的值。
(3)是否存在x,使礼盒的侧面积最大?若存在,求x的值;若不存在,说明理由。

6. (1) $(24 - 2x)$ $(15 - x)$
(2)由题意可得$(24 - 2x)(15 - x) = 140$。解得 $x_1 = 5$,$x_2 = 22$(不符合题意,舍去)
(3)存在 x,使礼盒的侧面积最大。设礼盒的侧面积为 $y\ \mathrm{cm}^2$,由题意,得 $y = 2(24 - 2x)x + 2(15 - x)x = -6x^2 + 78x = -6(x^2 - 13x + \frac{169}{4} - \frac{169}{4}) = -6(x - 6.5)^2 + 253.5$。
∵ $\begin{cases}0 ＜ 24 - 2x ＜ 24, \\ 0 ＜ 15 - x ＜ 15,\end{cases}$ 解得 $0 ＜ x ＜ 12$。
∴ 当 $x = 6.5$ 时,y 有最大值,为 253.5。因此,存在 x,使礼盒的侧面积最大,此时 x 的值为 6.5

【分析】
(1) 结合折叠前后图形的边长关系分析：原矩形宽为24cm，上下各剪去边长为x的小正方形，因此底面长AB=24-2x；原矩形长为30cm，减去2个小正方形边长后剩余长度为2个BC的长度，因此BC=(30-2x)÷2=15-x。
(2) 已知底面积为140cm²，根据“底面积=长×宽”，将(1)中得到的AB、BC的代数式代入即可列出一元二次方程，求解后需检验根是否符合实际意义（边长为正），舍去不符合要求的根。
(3) 长方体侧面积为四个侧面的面积之和，四个侧面的高均为小正方形边长x，分别表示出四个侧面的面积相加即可得到侧面积关于x的二次函数，通过配方法求二次函数的最大值，同时先确定x的取值范围，判断最值点是否在取值范围内即可得出结论。
【解析】
(1) 由图形边长关系可得：
AB = 原矩形卡纸的宽 - 2×小正方形边长 = $24-2x$
BC = (原矩形卡纸的长 - 2×小正方形边长)÷2 = $\frac{30-2x}{2}=15-x$
(2) 根据礼盒底面积为140$\mathrm{cm}^2$，列方程：
$\quad(24-2x)(15-x)=140$
整理得：$x^2-27x+110=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=22$
当$x=22$时，$24-2x=-20＜0$，不符合边长为正的实际要求，故舍去。
(3) 存在。设礼盒的侧面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，侧面积为四个侧面的面积和：
$\begin{aligned}y&=2×(24-2x)x + 2×(15-x)x\\&=-6x^2+78x\\&=-6(x-6.5)^2+253.5\end{aligned}$
由实际意义可得边长均为正，即$\begin{cases}x＞0 \\24-2x＞0 \\15-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜12$。
二次函数开口向下，顶点横坐标$x=6.5$在$0＜x＜12$范围内，因此当$x=6.5$时，$y$取得最大值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(24-2x)}$；$\boldsymbol{(15-x)}$
(2) $\boldsymbol{x=5}$
(3) 存在，$\boldsymbol{x=6.5}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题结合长方体折叠的实际操作场景，综合考查了代数式表示、一元二次方程求解和二次函数最值的相关知识，解题时要注意结合实际问题的约束条件确定自变量的取值范围，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.6