登录
1. 如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，若其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则$△ APQ$的最大面积是（
A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
（第1题）
B
）。A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
这是一道结合动点的面积最值问题，解题思路如下：第一步，设运动时间为参数t，结合两个动点的运动速度，分别表示出Rt△APQ的两条直角边AP、AQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出△APQ的面积关于t的函数表达式；第三步，确定t的取值范围：因为动点到达终点就停止运动，分别计算P到B、Q到C的运动时间，取较小值作为t的最大值；第四步，结合函数的单调性求出面积的最大值即可。
【解析】
设动点的运动时间为$ t $秒（$ t≥0 $），
由题意得：$ AP=2t\ \mathrm{cm} $，$ AQ=t\ \mathrm{cm} $，
∵$ ∠ A=90° $，
∴△APQ的面积$ S=\frac{1}{2}· AP· AQ=\frac{1}{2}×2t× t=t^2 $，
再确定$ t $的取值范围：
点P从A运动到B的时间：$ t_1=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{s} $，
点Q从A运动到C的时间：$ t_2=\frac{AC}{1}=\frac{6}{1}=6\ \mathrm{s} $，
∵一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，
∴$ t $的取值范围是$ 0≤ t≤4 $，
∵$ S=t^2 $在$ 0≤ t≤4 $范围内随$ t $的增大而增大，
∴当$ t=4 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4^2=16\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
B
【知识点】
动点问题，二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何类基础题，解题的关键是合理引入参数表示线段长度，建立面积的函数关系，同时要注意结合运动限制确定参数的取值范围，避免因忽略取值范围错算最值。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点的面积最值问题，解题思路如下：第一步，设运动时间为参数t，结合两个动点的运动速度，分别表示出Rt△APQ的两条直角边AP、AQ的长度；第二步，利用直角三角形面积公式写出△APQ的面积关于t的函数表达式；第三步，确定t的取值范围：因为动点到达终点就停止运动，分别计算P到B、Q到C的运动时间，取较小值作为t的最大值；第四步，结合函数的单调性求出面积的最大值即可。
【解析】
设动点的运动时间为$ t $秒（$ t≥0 $），
由题意得：$ AP=2t\ \mathrm{cm} $，$ AQ=t\ \mathrm{cm} $，
∵$ ∠ A=90° $，
∴△APQ的面积$ S=\frac{1}{2}· AP· AQ=\frac{1}{2}×2t× t=t^2 $，
再确定$ t $的取值范围：
点P从A运动到B的时间：$ t_1=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{s} $，
点Q从A运动到C的时间：$ t_2=\frac{AC}{1}=\frac{6}{1}=6\ \mathrm{s} $，
∵一个动点到达终点，另一个动点也停止运动，
∴$ t $的取值范围是$ 0≤ t≤4 $，
∵$ S=t^2 $在$ 0≤ t≤4 $范围内随$ t $的增大而增大，
∴当$ t=4 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 4^2=16\ \mathrm{cm^2} $。
【答案】
B
【知识点】
动点问题，二次函数最值，三角形面积计算
【点评】
本题属于动态几何类基础题，解题的关键是合理引入参数表示线段长度，建立面积的函数关系，同时要注意结合运动限制确定参数的取值范围，避免因忽略取值范围错算最值。
【难度系数】
0.7
2. 如图,有一块矩形空地ABCD,学校规划在其内部的一块四边形空地EFGH上种草坪,其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上,且$AE=AF=CG=CH$,已知$AD=30\ \mathrm{m}$,$AB=50\ \mathrm{m}$,则草坪的面积最大为(
A.$600\ \mathrm{m}^2$
B.$800\ \mathrm{m}^2$
C.$1000\ \mathrm{m}^2$
D.$1200\ \mathrm{m}^2$
B
)。A.$600\ \mathrm{m}^2$
B.$800\ \mathrm{m}^2$
C.$1000\ \mathrm{m}^2$
D.$1200\ \mathrm{m}^2$
答案
2. B
解析
【分析】
要求四边形EFGH的面积，直接求解比较困难，可采用割补法，用矩形ABCD的总面积减去四周四个直角三角形的面积得到草坪面积。首先设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，分别表示出四个直角三角形的边长，进而列出草坪面积关于$x$的函数表达式，再结合二次函数的性质和$x$的实际取值范围求最大值即可。
【解析】
设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，由题意可知矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=50×30=1500\ \mathrm{m}^2$。
四周四个直角三角形中：
$△ AEF$和$△ CHG$为等腰直角三角形，面积和为$2×\frac{1}{2}x^2=x^2$；
$△ FBG$和$△ EDH$为直角三角形，直角边长分别为$(50-x)\ \mathrm{m}$和$(30-x)\ \mathrm{m}$，面积和为$2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)=(50-x)(30-x)$。
因此草坪面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=1500 - x^2 - (50-x)(30-x)\\&=1500 -x^2 - (1500 - 80x +x^2)\\&=-2x^2 +80x\\&=-2(x-20)^2 +800\end{aligned}$
根据实际意义，$x＞0$且$30-x≥0$，即$0＜x≤30$，$x=20$在取值范围内，因此当$x=20$时，$S$取得最大值$800\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；割补法求面积；二次函数最值
【点评】
本题解题关键是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，验证最值是否可取。
【难度系数】
0.7
要求四边形EFGH的面积，直接求解比较困难，可采用割补法，用矩形ABCD的总面积减去四周四个直角三角形的面积得到草坪面积。首先设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，分别表示出四个直角三角形的边长，进而列出草坪面积关于$x$的函数表达式，再结合二次函数的性质和$x$的实际取值范围求最大值即可。
【解析】
设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，由题意可知矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× AD=50×30=1500\ \mathrm{m}^2$。
四周四个直角三角形中：
$△ AEF$和$△ CHG$为等腰直角三角形，面积和为$2×\frac{1}{2}x^2=x^2$；
$△ FBG$和$△ EDH$为直角三角形，直角边长分别为$(50-x)\ \mathrm{m}$和$(30-x)\ \mathrm{m}$，面积和为$2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)=(50-x)(30-x)$。
因此草坪面积$S$为：
$\begin{aligned}S&=1500 - x^2 - (50-x)(30-x)\\&=1500 -x^2 - (1500 - 80x +x^2)\\&=-2x^2 +80x\\&=-2(x-20)^2 +800\end{aligned}$
根据实际意义，$x＞0$且$30-x≥0$，即$0＜x≤30$，$x=20$在取值范围内，因此当$x=20$时，$S$取得最大值$800\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；割补法求面积；二次函数最值
【点评】
本题解题关键是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，再建立二次函数模型求解最值，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，验证最值是否可取。
【难度系数】
0.7
3. 为了节省材料，某工厂利用岸堤MN(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的材料围成一个由四块面积相等的小矩形组成的大矩形ABCD区域(如图)。设BC = x m，有下列四个结论：①BC = 3CF；②AB = $\frac{160 - 4x}{7}$ m；③AE = 3BE；④大矩形ABCD的最大面积为225 m²。其中正确结论的序号是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
C
)。A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
3. C 【解析】:
∵ 四块小矩形的面积相等,
∴ EG = GP = PF = $\frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}x$。设 $AE = HG = QP = DF = b$,
∴ $\frac{1}{3}xb = x · BE$。
∴ $BE = FC = \frac{1}{3}b$,无法得出 $BC = 3CF$,故①错误。
∴ $AE = 3BE$,故③正确。由题意,得 $4b + 2 × \frac{1}{3}b = 80 - 2x$,解得 $b = \frac{120 - 3x}{7}$。则 $AB = b + \frac{1}{3}b = \frac{4}{3}b = \frac{4}{3} × \frac{120 - 3x}{7} = \frac{160 - 4x}{7}(\mathrm{m})$,故②正确。
∵ 大矩形 ABCD 的面积 $S = AB · BC = \frac{160 - 4x}{7} · x = -\frac{4}{7}(x^2 - 40x) = -\frac{4}{7}(x - 20)^2 + \frac{1600}{7}$。
∵ $-\frac{4}{7} ＜ 0$,
∴ 当 $x = 20$,即当 $BC = 20\ \mathrm{m}$ 时,S 有最大值,为 $\frac{1600}{7}\ \mathrm{m}^2$,故④错误。故选 C
∵ 四块小矩形的面积相等,
∴ EG = GP = PF = $\frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}x$。设 $AE = HG = QP = DF = b$,
∴ $\frac{1}{3}xb = x · BE$。
∴ $BE = FC = \frac{1}{3}b$,无法得出 $BC = 3CF$,故①错误。
∴ $AE = 3BE$,故③正确。由题意,得 $4b + 2 × \frac{1}{3}b = 80 - 2x$,解得 $b = \frac{120 - 3x}{7}$。则 $AB = b + \frac{1}{3}b = \frac{4}{3}b = \frac{4}{3} × \frac{120 - 3x}{7} = \frac{160 - 4x}{7}(\mathrm{m})$,故②正确。
∵ 大矩形 ABCD 的面积 $S = AB · BC = \frac{160 - 4x}{7} · x = -\frac{4}{7}(x^2 - 40x) = -\frac{4}{7}(x - 20)^2 + \frac{1600}{7}$。
∵ $-\frac{4}{7} ＜ 0$,
∴ 当 $x = 20$,即当 $BC = 20\ \mathrm{m}$ 时,S 有最大值,为 $\frac{1600}{7}\ \mathrm{m}^2$,故④错误。故选 C
解析
【分析】
本题需结合四块小矩形面积相等的条件推导各边比例关系，再结合材料总长度推导边长表达式，最后通过构建二次函数求面积最值，逐个判断四个结论：第一步，利用面积相等推导边长比例，判断结论①③；第二步，根据材料总长度列方程，求出AB的表达式，判断结论②；第三步，构建面积关于x的二次函数，配方求最值，判断结论④。
【解析】
已知四块小矩形面积相等，设$BC=x\ \mathrm{m}$，可得横向三段边长相等，即$EG=GP=PF=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}x$。
设$AE=HG=QP=DF=b$，由面积相等可得：上方每块小矩形面积$\frac{1}{3}x· b$与下方小矩形面积$x· BE$相等，因此$\frac{1}{3}xb=x· BE$，解得$BE=FC=\frac{1}{3}b$。
1. 判断结论①：$BC=x$，$CF=\frac{1}{3}b$，无固定关系可证明$BC=3CF$，故①错误；
2. 判断结论③：$AE=b$，$BE=\frac{1}{3}b$，因此$AE=3BE$，故③正确；
3. 判断结论②：围区域的材料总长为80m，其中与BC平行的边总长为$BC+EF=2x$，剩余竖直方向边长和满足$4b + 2×\frac{1}{3}b=80-2x$，解得$b=\frac{120-3x}{7}$。
则$AB=AE+BE=b+\frac{1}{3}b=\frac{4}{3}b=\frac{4}{3}×\frac{120-3x}{7}=\frac{160-4x}{7}\ \mathrm{m}$，故②正确；
4. 判断结论④：大矩形ABCD的面积$S=AB· BC=\frac{160-4x}{7}· x$，配方得$S=-\frac{4}{7}(x-20)^2+\frac{1600}{7}$。
因为$-\frac{4}{7}＜0$，所以$x=20$时$S$取最大值$\frac{1600}{7}\ \mathrm{m}^2\approx228.6\ \mathrm{m}^2≠225\ \mathrm{m}^2$，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，二次函数最值，列方程解应用题
【点评】
本题解题的核心是抓住“四块小矩形面积相等”的条件推导各边比例关系，再结合材料总长求出边长表达式，最后利用二次函数性质求面积最值，解题时需注意准确计数围边的数量，避免列错等式。
【难度系数】
0.6
本题需结合四块小矩形面积相等的条件推导各边比例关系，再结合材料总长度推导边长表达式，最后通过构建二次函数求面积最值，逐个判断四个结论：第一步，利用面积相等推导边长比例，判断结论①③；第二步，根据材料总长度列方程，求出AB的表达式，判断结论②；第三步，构建面积关于x的二次函数，配方求最值，判断结论④。
【解析】
已知四块小矩形面积相等，设$BC=x\ \mathrm{m}$，可得横向三段边长相等，即$EG=GP=PF=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}x$。
设$AE=HG=QP=DF=b$，由面积相等可得：上方每块小矩形面积$\frac{1}{3}x· b$与下方小矩形面积$x· BE$相等，因此$\frac{1}{3}xb=x· BE$，解得$BE=FC=\frac{1}{3}b$。
1. 判断结论①：$BC=x$，$CF=\frac{1}{3}b$，无固定关系可证明$BC=3CF$，故①错误；
2. 判断结论③：$AE=b$，$BE=\frac{1}{3}b$，因此$AE=3BE$，故③正确；
3. 判断结论②：围区域的材料总长为80m，其中与BC平行的边总长为$BC+EF=2x$，剩余竖直方向边长和满足$4b + 2×\frac{1}{3}b=80-2x$，解得$b=\frac{120-3x}{7}$。
则$AB=AE+BE=b+\frac{1}{3}b=\frac{4}{3}b=\frac{4}{3}×\frac{120-3x}{7}=\frac{160-4x}{7}\ \mathrm{m}$，故②正确；
4. 判断结论④：大矩形ABCD的面积$S=AB· BC=\frac{160-4x}{7}· x$，配方得$S=-\frac{4}{7}(x-20)^2+\frac{1600}{7}$。
因为$-\frac{4}{7}＜0$，所以$x=20$时$S$取最大值$\frac{1600}{7}\ \mathrm{m}^2\approx228.6\ \mathrm{m}^2≠225\ \mathrm{m}^2$，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，二次函数最值，列方程解应用题
【点评】
本题解题的核心是抓住“四块小矩形面积相等”的条件推导各边比例关系，再结合材料总长求出边长表达式，最后利用二次函数性质求面积最值，解题时需注意准确计数围边的数量，避免列错等式。
【难度系数】
0.6
4. 如图,工人师傅要将矩形区域ABCD分割成为甲、乙、丙3部分,每部分填充不同材料的产品。已知AB=2BC=40 m,点E,F分别在AD和CD上,AE≥DE,且DF=2DE,设AE=x m (x＜20)。
(1)设甲、乙两部分所用材料的面积之和为S,求S与x之间的关系式;
(2)若甲、乙两部分所用材料的价格均为30元/m²,求填充这两部分所需费用的最小值。
(1)设甲、乙两部分所用材料的面积之和为S,求S与x之间的关系式;
(2)若甲、乙两部分所用材料的价格均为30元/m²,求填充这两部分所需费用的最小值。
答案
(1)由题意,得 $AD = BC = 20$,$AE = x\ \mathrm{m}$,则 $DE = (20 - x)\ \mathrm{m}$,$DF = 2 × (20 - x) = (40 - 2x)\ \mathrm{m}$。$S_{\mathrm{甲}} = \frac{1}{2}AB · AE = \frac{1}{2} × 40x = 20x\ \mathrm{m}^2$,$S_{\mathrm{乙}} = \frac{1}{2}DE · DF = \frac{1}{2} × (20 - x) · (40 - 2x) = (x^2 - 40x + 400)\ \mathrm{m}^2$,
∴ $S = S_{\mathrm{甲}} + S_{\mathrm{乙}} = 20x + x^2 - 40x + 400 = (x^2 - 20x + 400)\ \mathrm{m}^2$
(2)
∵ $AE≥DE$,
∴ $x≥20 - x$。
∴ $x≥10$。
∴ $10≤x ＜ 20$。
∵ $S = x^2 - 20x + 400 = (x - 10)^2 + 300$,
∴ 当 $x = 10$ 时,S 取得最小值,最小值为 300,
∴ $300 × 30 = 9\ 000$(元)。因此,填充这两部分所需费用的最小值为9 000元
∴ $S = S_{\mathrm{甲}} + S_{\mathrm{乙}} = 20x + x^2 - 40x + 400 = (x^2 - 20x + 400)\ \mathrm{m}^2$
(2)
∵ $AE≥DE$,
∴ $x≥20 - x$。
∴ $x≥10$。
∴ $10≤x ＜ 20$。
∵ $S = x^2 - 20x + 400 = (x - 10)^2 + 300$,
∴ 当 $x = 10$ 时,S 取得最小值,最小值为 300,
∴ $300 × 30 = 9\ 000$(元)。因此,填充这两部分所需费用的最小值为9 000元
解析
【分析】
(1) 要求S与x的关系式，需先分别求出甲、乙两部分的面积：先根据矩形边长条件得到AD的长度，用含x的代数式表示DE、DF的长度，再利用直角三角形面积公式分别计算甲、乙的面积，求和即可得到S的表达式。
(2) 要求费用最小值，先根据AE≥DE确定x的取值范围，再将(1)中得到的二次函数配方，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围求出S的最小值，最后乘以单价即可得到最低费用。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形ABCD中，$AB=2BC=40\ \mathrm{m}$，因此$BC=AD=20\ \mathrm{m}$。
已知$AE=x\ \mathrm{m}$，则$DE=AD-AE=(20-x)\ \mathrm{m}$，又$DF=2DE$，故$DF=2(20-x)=(40-2x)\ \mathrm{m}$。
甲为$△ ABE$，是直角三角形，面积$S_{\mathrm{甲}}=\frac{1}{2}·AB·AE=\frac{1}{2}×40·x=20x\ \mathrm{m}^2$；
乙为$△ DEF$，是直角三角形，面积$S_{\mathrm{乙}}=\frac{1}{2}·DE·DF=\frac{1}{2}×(20-x)(40-2x)=x^2-40x+400\ \mathrm{m}^2$。
因此甲、乙面积和$S=S_{\mathrm{甲}}+S_{\mathrm{乙}}=20x+x^2-40x+400=x^2-20x+400$。
(2) 由条件$AE≥DE$，可得$x≥20-x$，解得$x≥10$，结合题中$x＜20$，得自变量取值范围为$10≤x＜20$。
将S的表达式配方得：$S=x^2-20x+400=(x-10)^2+300$。
该二次函数开口向上，对称轴为$x=10$，因此在$10≤x＜20$范围内，当$x=10$时，S取得最小值，最小值为$300\ \mathrm{m}^2$。
已知材料单价为$30\ \mathrm{元/m^2}$，因此最低费用为$300×30=9000$元。
【答案】
(1)$S=x^2-20x+400（10≤x＜20）$
(2)9000元
【知识点】
三角形面积计算、二次函数的应用、二次函数的最值
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次函数的实际应用结合，解题时需先理清图形中各线段的数量关系，正确列出函数关系式，再结合自变量的取值范围求解最值，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要求S与x的关系式，需先分别求出甲、乙两部分的面积：先根据矩形边长条件得到AD的长度，用含x的代数式表示DE、DF的长度，再利用直角三角形面积公式分别计算甲、乙的面积，求和即可得到S的表达式。
(2) 要求费用最小值，先根据AE≥DE确定x的取值范围，再将(1)中得到的二次函数配方，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围求出S的最小值，最后乘以单价即可得到最低费用。
【解析】
(1) 由题意可知，矩形ABCD中，$AB=2BC=40\ \mathrm{m}$，因此$BC=AD=20\ \mathrm{m}$。
已知$AE=x\ \mathrm{m}$，则$DE=AD-AE=(20-x)\ \mathrm{m}$，又$DF=2DE$，故$DF=2(20-x)=(40-2x)\ \mathrm{m}$。
甲为$△ ABE$，是直角三角形，面积$S_{\mathrm{甲}}=\frac{1}{2}·AB·AE=\frac{1}{2}×40·x=20x\ \mathrm{m}^2$；
乙为$△ DEF$，是直角三角形，面积$S_{\mathrm{乙}}=\frac{1}{2}·DE·DF=\frac{1}{2}×(20-x)(40-2x)=x^2-40x+400\ \mathrm{m}^2$。
因此甲、乙面积和$S=S_{\mathrm{甲}}+S_{\mathrm{乙}}=20x+x^2-40x+400=x^2-20x+400$。
(2) 由条件$AE≥DE$，可得$x≥20-x$，解得$x≥10$，结合题中$x＜20$，得自变量取值范围为$10≤x＜20$。
将S的表达式配方得：$S=x^2-20x+400=(x-10)^2+300$。
该二次函数开口向上，对称轴为$x=10$，因此在$10≤x＜20$范围内，当$x=10$时，S取得最小值，最小值为$300\ \mathrm{m}^2$。
已知材料单价为$30\ \mathrm{元/m^2}$，因此最低费用为$300×30=9000$元。
【答案】
(1)$S=x^2-20x+400（10≤x＜20）$
(2)9000元
【知识点】
三角形面积计算、二次函数的应用、二次函数的最值
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次函数的实际应用结合，解题时需先理清图形中各线段的数量关系，正确列出函数关系式，再结合自变量的取值范围求解最值，是实际应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7
