5. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，则不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集是()。

A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$或$x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0$或$x＞2$

5. D

【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜3$，本质是找二次函数图象上函数值$y＜3$时对应的$x$的取值范围。首先从图象提取已知信息：①二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$；②图象与$y$轴交于点$(0,3)$，即$x=0$时$y=3$。接下来利用二次函数的对称性，求出$y=3$对应的另一个$x$值，最后结合开口方向即可判断$y＜3$的$x$范围。
【解析】
由图象可得：
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向下，对称轴为直线$x=1$；
2. 当$x=0$时，$y=3$，即点$(0,3)$在函数图象上。
根据二次函数的对称性，点$(0,3)$关于对称轴$x=1$的对称点坐标为$(2,3)$，即$x=2$时$y=3$。
因为函数开口向下，在对称轴处函数值最大，因此当$x＜0$或$x＞2$时，函数值$y＜3$，即不等式$ax^2+bx+c＜3$的解集为$x＜0$或$x＞2$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与不等式；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型基础题，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性和图象的增减性，将不等式求解转化为函数图象对应区间的判断。
【难度系数】
0.7

6. 已知二次函数$y=x^2 -6x +8$的图象，利用图象解决问题：
(1)求方程$x^2 -6x +8=0$的解。
(2)当$x$取什么值时，$y＞0$？
(3)当$x$取什么值时，$y＜0$？

(1) $x_1=2,x_2=4$ (2) $x＜2$或$x＞4$ (3) $2＜x＜4$

【分析】
本题可利用数形结合思想求解：1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标；2. $y＞0$对应二次函数图象在x轴上方部分的x的取值范围，$y＜0$对应图象在x轴下方部分的x的取值范围。结合本题给出的图象，已知抛物线与x轴交于$(2,0)$、$(4,0)$且开口向上，代入对应规律即可求解。
【解析】
观察二次函数$y=x^2-6x+8$的图象可知，抛物线开口向上，与x轴的交点坐标为$(2,0)$、$(4,0)$。
(1) 方程$x^2-6x+8=0$的解是抛物线与x轴交点的横坐标，因此解为$x_1=2$，$x_2=4$；
(2) $y＞0$对应抛物线图象位于x轴上方的部分，观察图象可得对应x的取值范围是$x＜2$或$x＞4$；
(3) $y＜0$对应抛物线图象位于x轴下方的部分，观察图象可得对应x的取值范围是$2＜x＜4$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=4$ (2) $x＜2$或$x＞4$ (3) $2＜x＜4$
【知识点】
二次函数与一元二次方程；二次函数图象性质；二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题关键是明确二次函数图象与对应方程、不等式的关联，通过观察图象即可快速得到结果，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8

1. “如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根。”请根据你对这句话的理解，解决下面的问题：若$m,n(m＜n)$是关于$x$的方程$1-(x-a)(x-b)=0$的两个根，且$a＜b$，则$a,b,m,n$的大小关系是（）。

A.$m＜a＜b＜n$
B.$a＜m＜n＜b$
C.$a＜m＜b＜n$
D.$m＜a＜n＜b$

1. A

【分析】
解题时可以利用函数思想解决方程根的大小比较问题：第一步先将原方程变形，转化为二次函数取固定函数值的问题；第二步构造二次函数$y=(x-a)(x-b)$，明确该抛物线的开口方向、与x轴的交点坐标；第三步结合抛物线的性质，分析函数值为1时对应的x的位置，进而判断m、n、a、b的大小关系。
【解析】
首先将原方程$1-(x-a)(x-b)=0$变形为：$(x-a)(x-b)=1$。
设二次函数$y=(x-a)(x-b)$，其二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上。
令$y=0$，可得$(x-a)(x-b)=0$，解得$x=a$或$x=b$，即抛物线与x轴的两个交点横坐标为$a$、$b$，结合$a＜b$，可知两个交点从左到右为$(a,0)$、$(b,0)$。
根据开口向上的抛物线性质：当$x＜a$或$x＞b$时，函数值$y＞0$；当$a＜x＜b$时，函数值$y＜0$。
方程的根$m、n$是$y=1$时对应的x值，1是正数，因此两个根必然分别位于$a$的左侧和$b$的右侧，结合$m＜n$，可得$m＜a＜b＜n$。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在方程根的大小比较中的应用，将方程根的问题转化为二次函数与水平直线的交点问题，结合抛物线的图象性质就能快速判断根的位置，解题关键是合理构造二次函数，建立方程与函数的联系。
【难度系数】
0.6

2. 如图,已知二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象与一次函数$y_2=kx+m(k≠0)$的图象相交于点$A(-2,4),B(8,2)$,则能使$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是。

2. x ＞ 8 或 x ＜ -2

【分析】
要确定$y_1＞y_2$的$x$取值范围，核心是结合函数图象的位置判断函数值大小：相同$x$取值下，图象位置更高的函数值更大。首先两个函数的交点是$y_1=y_2$的分界点，已知交点横坐标为$-2$和$8$，接下来只需观察二次函数图象位于一次函数图象上方时对应的$x$区间即可。
【解析】
已知二次函数$y_1$与一次函数$y_2$交于点$A(-2,4)$和$B(8,2)$，因此当$x=-2$或$x=8$时，$y_1=y_2$。
观察图象可得：
1. 当$x＜-2$时，二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$图象上方，此时$y_1＞y_2$；
2. 当$-2＜x＜8$时，二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$图象下方，此时$y_1＜y_2$；
3. 当$x＞8$时，二次函数$y_1$的图象在一次函数$y_2$图象上方，此时$y_1＞y_2$。
综上，$y_1＞y_2$成立的$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞8$。
【答案】
$x＜-2$或$x＞8$
【知识点】
函数值与图象位置关系；二次函数图象性质；数形结合解不等式
【点评】
本题考查利用函数图象比较函数值大小，解题关键是将函数值的大小关系转化为图象的上下位置关系，结合交点的分界作用即可快速求解，充分体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8

3. 二次函数$y=ax^2 + c$的图象与直线$y=kx + b(k＞0)$交于$M(-2,m),N(1,n)$两点$(mn＜0)$，则关于$x$的不等式$ax^2 + kx + (c - b) ＞ 0$的解集为。

3. -1 ＜ x ＜ 2

【分析】
解题时先将待解不等式变形，转化为两个函数值大小比较的问题，结合函数图象求解：①先移项把$ax^2 +kx +c -b＞0$转化为$ax^2 +c ＞ -kx +b$，左边是已知二次函数，右边是与原直线$y=kx+b$关于y轴对称的直线；②利用原直线与二次函数的交点，根据y轴对称的点的坐标特征，得到变形后直线与二次函数的交点坐标；③结合$k＞0$、$mn＜0$的条件推导二次函数的开口方向；④根据抛物线开口方向，判断抛物线在直线上方对应的x范围即可得到解集。
【解析】
1. 不等式变形：
将$ax^2 + kx + (c - b) ＞ 0$移项得：$\boldsymbol{ax^2 + c ＞ -kx + b}$，即求二次函数$y=ax^2+c$的图象在直线$y=-kx+b$上方时x的取值范围。
2. 求两函数交点：
已知$M(-2,m)$、$N(1,n)$是$y=ax^2+c$和$y=kx+b$的交点，可得：
$m=-2k+b$、$n=k+b$；
对直线$y=-kx+b$：当$x=2$时，$y=-2k+b=m$，即$(2,m)$是$y=ax^2+c$与$y=-kx+b$的交点；当$x=-1$时，$y=k+b=n$，即$(-1,n)$是两个函数的另一个交点。
3. 判断二次函数开口方向：
因为$k＞0$，一次函数$y=kx+b$随x增大而增大，$-2＜1$，所以$m＜n$，结合$mn＜0$得$m＜0＜n$。
又$m-n=(4a+c)-(a+c)=3a$，$m-n＜0$，所以$3a＜0$，即$a＜0$，二次函数开口向下。
4. 结合图象得解集：
开口向下的抛物线在两个交点之间的部分位于直线上方，两个交点的横坐标为-1和2，因此不等式的解集为$-1＜x＜2$。
【答案】
$-1 ＜ x ＜ 2$
【知识点】
二次函数与不等式，函数图象的对称性，一次函数的增减性
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是将不等式求解转化为函数图象位置关系的判断，解题的关键是找到不等式对应的函数交点，结合抛物线开口方向确定解集。
【难度系数】
0.6

4. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，给出下列结论：①$b＞0$；②$a-b+c=0$；③一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$有两个不相等的实数根；④当$x＜-1$或$x＞3$时，$y＞0$。
上述结论正确的有。（填序号）

4. ②③④

【分析】
解题时先从二次函数图象提取关键信息：①开口向上得$a＞0$；②对称轴为直线$x=1$，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可推导$b$的符号；③抛物线与$x$轴一个交点为$(3,0)$，利用对称性得另一个交点为$(-1,0)$；④抛物线与$y$轴交于$(0,-2)$，顶点纵坐标小于$-2$。再逐个验证4个结论：
1. 由对称轴公式推导$b$的符号判断①；
2. 将$x=-1$代入函数解析式，结合$x=-1$时$y=0$判断②；
3. 将方程$ax^2+bx+c+1=0$转化为$ax^2+bx+c=-1$，看直线$y=-1$与抛物线交点个数判断③；
4. 观察图象$x$轴上方对应的$x$范围判断④。
【解析】
首先提取图象信息逐一验证结论：
1. 抛物线开口向上，故$a＞0$；对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$，因此结论①$b＞0$错误。
2. 抛物线与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，根据对称性，另一个交点横坐标为$1-(3-1)=-1$，即交点为$(-1,0)$。将$x=-1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$y=a×(-1)^2 +b×(-1)+c=a-b+c=0$，因此结论②正确。
3. 方程$ax^2+bx+c+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=-1$，即求函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为$-1$时$x$的解。由图象可知，抛物线与$y$轴交于$(0,-2)$，顶点纵坐标小于$-2$，故直线$y=-1$与抛物线有2个交点，因此一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$有两个不相等的实数根，结论③正确。
4. 观察图象，当$x＜-1$或$x＞3$时，抛物线位于$x$轴上方，对应函数值$y＞0$，因此结论④正确。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图象与系数、方程的关系，解题关键是准确从图象提取对称轴、交点等信息，结合函数性质逐一判断，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7