5. 如图所示的是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，回答下列问题。
(1)关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-3$的解是________；
(2)关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜-3$的解集是________；
(3)当$-2≤ x≤2$时，$y$的取值范围是________；
(4)若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=t$有两个异号的实数根，则$t$的取值范围是________。

(1) $x_1 = -2,x_2 = 0$
(2) $-2 ＜ x ＜ 0$
(3) $-4≤y≤5$
(4) $t ＞ -3$

【分析】
首先观察二次函数图象可得：对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$，与y轴交点为$(0,-3)$，先据此求出函数解析式，再结合数形结合思想求解各问题：
1. 方程$ax^2+bx+c=-3$的解对应函数图象上$y=-3$时的x值；
2. 不等式$ax^2+bx+c＜-3$的解集对应图象中$y＜-3$部分的x取值范围；
3. 求$-2\le x\le2$时y的取值范围，需先找到区间内函数的最小值（顶点处），再比较区间两端点的函数值得最大值；
4. 方程$ax^2+bx+c=t$有两个异号实根，即$y=t$与抛物线的两个交点横坐标一正一负，结合图象与y轴交点即可判断t的范围。
【解析】
先求二次函数解析式：设顶点式为$y=a(x+1)^2-4$，将$(0,-3)$代入得：
$-3=a(0+1)^2-4$，解得$a=1$，因此函数解析式为$y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$。
(1) 令$y=-3$，即$x^2+2x-3=-3$，化简得$x^2+2x=0$，因式分解得$x(x+2)=0$，解得$x_1=-2,x_2=0$；
(2) 不等式$ax^2+bx+c＜-3$即$x^2+2x-3＜-3$，化简得$x^2+2x＜0$，即$x(x+2)＜0$，解得$-2＜x＜0$；
(3) 函数开口向上，顶点$(-1,-4)$在区间$-2\le x\le2$内，因此最小值为$y=-4$；
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=2$时，$y=2^2+2×2-3=5$；
因此最大值为5，y的取值范围是$-4\le y\le5$；
(4) 方程$ax^2+bx+c=t$有两个异号实根，即方程$x^2+2x-3-t=0$的两根一正一负，根据韦达定理，两根之积为$-(3+t)＜0$，解得$t＞-3$，此时判别式$\Delta=4+4(3+t)=4t+16＞0$，满足有两个实根的条件，因此$t＞-3$。
【答案】
(1) $x_1 = -2,x_2 = 0$
(2) $-2 ＜ x ＜ 0$
(3) $-4≤y≤5$
(4) $t ＞ -3$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式
【点评】
本题以二次函数图象为载体，综合考查了二次函数与方程、不等式的联系，解题过程中运用数形结合思想能快速简化运算，掌握二次函数的图象性质是解决这类题目的核心。
【难度系数】
0.7

6. 已知二次函数$y=-x^2 -2x +2$。
(1)填写表格，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

(2)结合函数图象，直接写出方程$-x^2 -2x +2=0$的近似根(精确到0.1)。

6. (1) 描点、连线，得
(2) $x_1≈0.7,x_2≈-2.7$

【分析】
(1) 绘制二次函数图像的核心思路是“列表-描点-连线”，首先将二次函数解析式配方得到顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再在对称轴两侧对称取点计算对应y值，即可描点连线得到图像；
(2) 一元二次方程$-x^2 -2x +2=0$的根等价于二次函数$y=-x^2 -2x +2$的图像与x轴交点的横坐标，因此观察绘制好的函数图像，读取x轴交点的横坐标近似值，按要求精确到0.1即可。
【解析】
(1) 先将函数解析式配方变形：
$y=-x^2 -2x +2=-(x^2+2x)+2=-(x^2+2x+1-1)+2=-(x+1)^2+3$
可得该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,3)$。
列表选取对称点计算函数值：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2-2×(-3)+2=-1$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+2=2$；
当$x=-1$时，$y=3$；
当$x=0$时，$y=-0^2-2×0+2=2$；
当$x=1$时，$y=-1^2-2×1+2=-1$。
将以上点$(-3,-1)、(-2,2)、(-1,3)、(0,2)、(1,-1)$在坐标系中描出，再用平滑曲线顺次连接，即可得到二次函数的图像。
(2) 观察画出的函数图像，其与x轴有两个交点，右侧交点在0和1之间，近似值约为0.7；左侧交点在-3和-2之间，近似值约为-2.7，即方程$-x^2 -2x +2=0$的近似根为$x_1≈0.7,x_2≈-2.7$。
【答案】
(1) 描点、连线，得
(2) $x_1≈0.7,x_2≈-2.7$
【知识点】
二次函数图像画法；二次函数与一元二次方程的关系；估算方程近似根
【点评】
本题考查二次函数的作图及数形结合求解一元二次方程近似根的能力，作图时需注意使用平滑曲线连接对称点，估算根时要符合题目要求的精确度，解题过程体现了数形结合的数学思想。
【难度系数】
0.7

7. 已知二次函数$y=2(x-1)(x-m-3)$（$m$为常数）。
(1)求证:不论$m$为何值,该函数的图象与$x$轴总有公共点；
(2)当$m$取什么值时,该函数的图象与$y$轴的交点在$x$轴的上方？

(1) 当$y = 0$时,$2(x - 1)(x - m - 3) = 0$。解得$x_1 = 1,x_2 = m + 3$。当$m + 3 = 1$,即 $m = -2$时,方程有两个相等的实数根;当$m + 3 ≠ 1$,即 $m ≠ -2$ 时,方程有两个不相等的实数根。所以,不论 $m$ 为何值,该函数的图象与 $x$ 轴总有公共点
(2) 当 $x = 0$ 时,$y = 2m + 6$,即该函数的图象与 $y$ 轴交点的纵坐标是 $2m + 6$。当 $2m + 6 ＞ 0$,即 $m ＞ -3$时,该函数的图象与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方

【分析】
(1) 要证明二次函数图象与x轴总有公共点，可转化为证明当y=0时，对应的一元二次方程总有实数根。本题函数为交点式，直接令y=0求解方程的根，根据根的情况判断即可；
(2) 函数图象与y轴交点的横坐标为0，只需将x=0代入解析式求出y值，根据“交点在x轴上方”即y＞0，列不等式求解m的取值范围即可。
【解析】
(1) 证明：当$y = 0$时，$2(x - 1)(x - m - 3) = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = m + 3$。
当$m + 3 = 1$，即 $m = -2$时，方程有两个相等的实数根，此时函数图象与x轴有1个公共点；
当$m + 3 ≠ 1$，即 $m ≠ -2$ 时，方程有两个不相等的实数根，此时函数图象与x轴有2个公共点。
因此不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴总有公共点。
(2) 解：当$x = 0$时，代入函数解析式得：
$y=2×(0-1)×(0-m-3)=2m+6$，
即该函数的图象与$y$轴交点的纵坐标是$2m + 6$。
若交点在$x$轴上方，则纵坐标大于0，即：
$2m + 6 ＞ 0$，
解得$m ＞ -3$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $m ＞ -3$
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判定；解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数与方程、不等式的结合应用，解题关键是能将函数图象的位置特征转化为方程或不等式问题求解，属于二次函数基础题型。
【难度系数】
0.8