12. (2025·青海中考)在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2 + bx - 3(a≠0)$与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(1,0),点C(2,5)在抛物线上。
(1)求抛物线的表达式。
(2)①求点A的坐标；
②当$y＜0$时,根据图象直接写出x的取值范围:。
(3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。

12. (1)$y = x^2 + 2x - 3$
(2)①$A(-3,0)$ ②$-3 ＜ x ＜ 1$
(3)存在。点P的坐标为(0,7)或(0,-3) 【解析】设点P的坐标为(0,a)。
∵ $A(-3,0),C(2,5)$,
∴ $AC^2 = (2 + 3)^2 + (5 - 0)^2 = 50$,$AP^2 = (0 + 3)^2 + (a - 0)^2 = 9 + a^2$,$CP^2 = (0 - 2)^2 + (a - 5)^2 = a^2 - 10a + 29$。
∵ △ACP是以AC为直角边的直角三角形,
∴ 分以下两种情况讨论:当AP为斜边时,$AP^2 = AC^2 + CP^2$,
∴ $9 + a^2 = 50 + a^2 - 10a + 29$,解得$a = 7$。
∴ $P_1$的坐标为(0,7)。当CP为斜边时,$CP^2 = AC^2 + AP^2$,
∴ $a^2 - 10a + 29 = 50 + 9 + a^2$。解得$a = -3$。
∴ $P_2$的坐标为(0,-3)。综上所述,存在符合条件的点P,点P的坐标为(0,7)或(0,-3)

【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线上B(1,0)、C(2,5)两个点的坐标，将两点代入抛物线一般式$y=ax^2+bx-3$，可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线解析式。
(2) ①求点A坐标：点A是抛物线与x轴的交点，令解析式中$y=0$，解所得的一元二次方程，两个根分别对应A、B两点的横坐标，已知B的坐标为(1,0)，另一个根即为点A的横坐标。②求$y＜0$时x的取值范围：抛物线开口向上，$y＜0$对应抛物线在x轴下方的部分，x的取值在A、B两点横坐标之间。
(3) 要找y轴上使△ACP以AC为直角边的点P，先设点P坐标为$(0,a)$，用两点间距离公式分别求出$AC^2$、$AP^2$、$CP^2$。因为AC是直角边，分两种情况讨论：一是A为直角顶点，此时AP为斜边，满足$AP^2=AC^2+CP^2$；二是C为直角顶点，此时CP为斜边，满足$CP^2=AC^2+AP^2$，分别列方程求解a的值，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(1,0)、C(2,5)代入$y=ax^2+bx-3$，得：
$\begin{cases}a + b - 3 = 0 \\4a + 2b - 3 = 5 \end{cases}$
由第一个方程得$b=3-a$，代入第二个方程：
$4a + 2(3-a) = 8$
解得$a=1$，则$b=3-1=2$
∴抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) ①令$y=0$，则$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∵点B坐标为(1,0)，
∴点A的坐标为$(-3,0)$。
②
∵抛物线开口向上，与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)，
∴当$y＜0$时，x的取值范围是$-3＜x＜1$。
(3) 设点P的坐标为$(0,a)$，
∵A(-3,0)，C(2,5)，
根据两点间距离公式：
$AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$，
$AP^2=(0+3)^2+(a-0)^2=9+a^2$，
$CP^2=(0-2)^2+(a-5)^2=a^2-10a+29$，
∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：
情况1：A为直角顶点，AP为斜边，由勾股定理得：
$AP^2=AC^2+CP^2$
代入得：$9+a^2=50 + a^2 -10a +29$，解得$a=7$，即$P_1(0,7)$；
情况2：C为直角顶点，CP为斜边，由勾股定理得：
$CP^2=AC^2+AP^2$
代入得：$a^2-10a+29=50 +9 +a^2$，解得$a=-3$，即$P_2(0,-3)$。
综上，符合条件的点P存在。
【答案】
(1)$y=x^2+2x-3$
(2)①$A(-3,0)$；②$-3＜x＜1$
(3)存在，点P的坐标为(0,7)或(0,-3)
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数与方程；直角三角形分类讨论
【点评】
本题是二次函数综合基础题，考查了二次函数的图象性质、勾股定理的应用，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.65

13. (2025·河南中考)在二次函数$y=ax^2 + bx - 2$中，x与y的几组对应值如表所示。

(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数的图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当$0≤ x≤ 3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，求n的值。

13. (1)由题意,结合题中表格数据,可得二次函数的图象的对称轴是直线$x = \frac{-2 + 0}{2} = -1$。
∴ 可设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^2 + k$。又
∵ 图象过(0,-2),(1,1),
∴ $-2 = a(0 + 1)^2 + k$,且$1 = a(1 + 1)^2 + k$。
∴ $a = 1,k = -3$。
∴ 二次函数的表达式为$y = (x + 1)^2 - 3$,即$y = x^2 + 2x - 2$
(2)由题意,结合(1)$y = (x + 1)^2 - 3$,
∴ 顶点坐标为(-1,-3)。作图如下:
(3)二次函数的图象向右平移n个单位长度后,新函数的表达式为$y = (x + 1 - n)^2 - 3$。
∴ 此时对称轴是直线$x = n - 1$,函数图象开口向上。①当$3 ≤ n - 1$,即$n ≥ 4$时,当$x = 0$时,y取最大值为$(1 - n)^2 - 3$;当$x = 3$时,y取最小值为$(4 - n)^2 - 3$。又
∵ 最大值与最小值的差为5,
∴ $(1 - n)^2 - 3 - (4 - n)^2 + 3 = 5$。
∴ $n = \frac{10}{3} ＜ 4$,不合题意。②当$0 ＜ n - 1 ＜ 3$,即$1 ＜ n ＜ 4$时,当$x = 0$或$x = 3$时,y取最大值为$(1 - n)^2 - 3$或$(4 - n)^2 - 3$;当$x = n - 1$时,y取最小值为-3。又
∵ 最大值与最小值的差为5,
∴ $(1 - n)^2 - 3 + 3 = 5$或$(4 - n)^2 - 3 + 3 = 5$。
∴ $n = 1 + \sqrt{5}$或$n = 1 - \sqrt{5}$(不符合题意,舍去)或$n = 4 + \sqrt{5}$(不符合题意,舍去)或$n = 4 - \sqrt{5}$。③当$n - 1 ≤ 0$,即$n ≤ 1$时,当$x = 0$时,y取最小值为$(1 - n)^2 - 3$;当$x = 3$时,y取最大值为$(4 - n)^2 - 3$。又
∵ 最大值与最小值的差为5,
∴ $(4 - n)^2 - 3 - (1 - n)^2 + 3 = 5$。
∴ $n = \frac{5}{3} ＞ 1$,不合题意。综上,$n = 1 + \sqrt{5}$或$n = 4 - \sqrt{5}$

【分析】
本题是二次函数综合题，解题思路如下：
1. 求解析式：先根据函数值相等的点确定二次函数的对称轴，设顶点式，代入已知点的坐标即可求出未知系数，得到函数表达式。
2. 求顶点坐标并画图：顶点式可直接得到顶点坐标，再选取几个对称的关键点，描点连线即可画出函数图象。
3. 平移后的最值问题：先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数表达式，确定其对称轴；再分对称轴在给定区间[0,3]的左侧、内部、右侧三种情况，分别找到区间内的最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合范围的解即可。
【解析】
(1) 由题意，二次函数图象上y值相等的点横坐标为-2和0，因此对称轴是直线$x = \frac{-2 + 0}{2} = -1$。
设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^2 + k$，
∵ 图象过$(0,-2)$、$(1,1)$，代入得：
$\begin{cases}-2 = a(0 + 1)^2 + k \\1 = a(1 + 1)^2 + k \end{cases}$
解得$a = 1$，$k = -3$，
∴ 二次函数的表达式为$y = (x + 1)^2 - 3$，即$y = x^2 + 2x - 2$。
(2) 由(1)中顶点式$y = (x + 1)^2 - 3$，可得顶点坐标为$(-1,-3)$。
作图如下：
(3) 二次函数图象向右平移$n$个单位长度后，根据“左加右减”的平移规律，新函数表达式为$y = (x + 1 - n)^2 - 3$，
其对称轴为直线$x = n - 1$，函数图象开口向上，分三种情况讨论：
① 当$3 ≤ n - 1$，即$n ≥ 4$时，区间$0≤x≤3$在对称轴左侧，y随x的增大而减小：
当$x = 0$时，y取最大值为$(1 - n)^2 - 3$；当$x = 3$时，y取最小值为$(4 - n)^2 - 3$。
由最值差为5列方程：$(1 - n)^2 - 3 - [(4 - n)^2 - 3] = 5$，
解得$n = \frac{10}{3} ＜ 4$，不符合$n≥4$的前提，舍去。
② 当$0 ＜ n - 1 ＜ 3$，即$1 ＜ n ＜ 4$时，对称轴在区间内部：
函数最小值在顶点处，即当$x = n - 1$时，$y_{min} = -3$；最大值在区间端点$x=0$或$x=3$处取得。
由最值差为5，得端点处的函数值为$-3+5=2$：
若$x=0$时取最大值：$(1 - n)^2 - 3 = 2$，解得$n = 1+\sqrt{5}$（符合$1＜n＜4$）或$n=1-\sqrt{5}$（负数，舍去）；
若$x=3$时取最大值：$(4 - n)^2 - 3 = 2$，解得$n = 4-\sqrt{5}$（符合$1＜n＜4$）或$n=4+\sqrt{5}$（大于4，舍去）。
③ 当$n - 1 ≤ 0$，即$n ≤ 1$时，区间$0≤x≤3$在对称轴右侧，y随x的增大而增大：
当$x = 0$时，y取最小值为$(1 - n)^2 - 3$；当$x = 3$时，y取最大值为$(4 - n)^2 - 3$。
由最值差为5列方程：$(4 - n)^2 - 3 - [(1 - n)^2 - 3] = 5$，
解得$n = \frac{5}{3} ＞ 1$，不符合$n≤1$的前提，舍去。
综上，$n$的值为$1+\sqrt{5}$或$4-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $y = x^2 + 2x - 2$；
(2) 顶点坐标为$(-1,-3)$，作图见；
(3) $n = 1+\sqrt{5}$或$n = 4-\sqrt{5}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数图象与性质，二次函数平移与最值
【点评】
本题是二次函数的综合题型，前两问属于基础考查，第三问需要结合分类讨论思想，根据对称轴与给定区间的位置关系确定最值的取值位置，解题时要注意验证解是否符合分类的前提范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.4