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6. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y=x^2 - x -6$向上(下)或向左(右)平移了$m$个单位长度,使平移后的抛物线恰好经过原点,则$m$的最小值为(
A.1
B.2
C.3
D.6
B
)。A.1
B.2
C.3
D.6
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线平移的规则：左右平移对x左加右减，上下平移对解析式整体上加下减；平移后抛物线过原点，说明点(0,0)满足平移后的抛物线解析式。我们可以先求出原抛物线与坐标轴的交点，平移后过原点等价于将原抛物线上的某个交点平移到原点，平移距离就是该交点到原点的距离，也可以通过设平移后的解析式代入原点坐标求解所有可能的m值，再取最小正值即可。
【解析】
首先对原抛物线解析式因式分解：
$y=x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$
可得原抛物线与x轴交点为$(3,0)$、$(-2,0)$，与y轴交点为$(0,-6)$。
分平移类型讨论：
1. 若为上下平移：设平移$m(m＞0)$个单位，平移后解析式为$y=x^2 -x -6 +m$，将$(0,0)$代入得：
$0=0-0-6+m$，解得$m=6$。
2. 若为左右平移：设平移$m(m＞0)$个单位（向右平移m为正，向左平移m为负），平移后解析式为$y=(x-m)^2 - (x-m) -6$，将$(0,0)$代入得：
$0=m^2 +m -6$
解一元二次方程：$m^2 +m -6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$（$m=-3$即向左平移3个单位，平移距离为3）。
对比所有平移距离：$2＜3＜6$，因此$m$的最小值为2。
【答案】
B
【知识点】
抛物线平移规律，抛物线与坐标轴的交点，一元二次方程的解法
【点评】
本题围绕抛物线平移的核心知识点命题，解题的关键是熟练掌握平移规则，结合平移后过原点的条件，通过分类讨论求出所有可能的平移量，再比较得到最小值，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确抛物线平移的规则：左右平移对x左加右减，上下平移对解析式整体上加下减；平移后抛物线过原点，说明点(0,0)满足平移后的抛物线解析式。我们可以先求出原抛物线与坐标轴的交点，平移后过原点等价于将原抛物线上的某个交点平移到原点，平移距离就是该交点到原点的距离，也可以通过设平移后的解析式代入原点坐标求解所有可能的m值，再取最小正值即可。
【解析】
首先对原抛物线解析式因式分解：
$y=x^2 -x -6=(x-3)(x+2)$
可得原抛物线与x轴交点为$(3,0)$、$(-2,0)$，与y轴交点为$(0,-6)$。
分平移类型讨论：
1. 若为上下平移：设平移$m(m＞0)$个单位，平移后解析式为$y=x^2 -x -6 +m$，将$(0,0)$代入得：
$0=0-0-6+m$，解得$m=6$。
2. 若为左右平移：设平移$m(m＞0)$个单位（向右平移m为正，向左平移m为负），平移后解析式为$y=(x-m)^2 - (x-m) -6$，将$(0,0)$代入得：
$0=m^2 +m -6$
解一元二次方程：$m^2 +m -6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$（$m=-3$即向左平移3个单位，平移距离为3）。
对比所有平移距离：$2＜3＜6$，因此$m$的最小值为2。
【答案】
B
【知识点】
抛物线平移规律，抛物线与坐标轴的交点，一元二次方程的解法
【点评】
本题围绕抛物线平移的核心知识点命题，解题的关键是熟练掌握平移规则，结合平移后过原点的条件，通过分类讨论求出所有可能的平移量，再比较得到最小值，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.6
7. (2025·雅安中考)我们规定$\min\{a,b\} = \begin{cases} a(a ≤ b), \\ b(a ＞ b), \end{cases}$例如，$\min\{1,3\} = 1$，$\min\{3,-4\} = -4$。
如果$y = \min\{-x^2 + 2x + 3, x + 1\}$，那么$y$的最大值是(
A.0
B.1
C.3
D.4
如果$y = \min\{-x^2 + 2x + 3, x + 1\}$，那么$y$的最大值是(
C
)。A.0
B.1
C.3
D.4
答案
7. C
解析
【分析】
首先要理解新定义$\min\{a,b\}$的含义：取a、b中较小的数，因此$y=\min\{-x^2 + 2x + 3, x + 1\}$的本质是取二次函数$y_1=-x^2+2x+3$和一次函数$y_2=x+1$中函数值更小的那个。要求y的最大值，首先需要找到两个函数的交点，交点是两个函数大小关系的分界点，求出交点横坐标后分区间讨论每个区间内y对应的函数表达式，再结合函数性质求各区间的y的最大值，最终比较得到全局最大值。
【解析】
设$y_1=-x^2+2x+3$，$y_2=x+1$，先求两个函数的交点：
令$-x^2+2x+3 = x+1$，整理得$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=2$。
分两种情况讨论：
1. 当$y_1 ≤ y_2$时，即$x ≤ -1$或$x ≥ 2$，此时$y=y_1=-x^2+2x+3$。
$y_1$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$：
在$x ≤ -1$区间，函数$y_1$随x增大而增大，最大值在$x=-1$处取得，代入得$y_1=-(-1)^2+2×(-1)+3=0$；
在$x ≥ 2$区间，函数$y_1$随x增大而减小，最大值在$x=2$处取得，代入得$y_1=-2^2+2×2+3=3$。
2. 当$y_1 ＞ y_2$时，即$-1 ＜ x ＜ 2$，此时$y=y_2=x+1$。
$y_2$是斜率为正的一次函数，随x增大而增大，因此在该区间内$y ＜ 2+1=3$。
综合两种情况，y的最大值为3。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，二次函数的性质，一次函数的性质
【点评】
本题结合新定义运算考查函数性质的应用，解题的关键是通过求交点确定分类讨论的区间，再结合不同函数的增减性求区间最值，有效考查了分类讨论思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先要理解新定义$\min\{a,b\}$的含义：取a、b中较小的数，因此$y=\min\{-x^2 + 2x + 3, x + 1\}$的本质是取二次函数$y_1=-x^2+2x+3$和一次函数$y_2=x+1$中函数值更小的那个。要求y的最大值，首先需要找到两个函数的交点，交点是两个函数大小关系的分界点，求出交点横坐标后分区间讨论每个区间内y对应的函数表达式，再结合函数性质求各区间的y的最大值，最终比较得到全局最大值。
【解析】
设$y_1=-x^2+2x+3$，$y_2=x+1$，先求两个函数的交点：
令$-x^2+2x+3 = x+1$，整理得$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=2$。
分两种情况讨论：
1. 当$y_1 ≤ y_2$时，即$x ≤ -1$或$x ≥ 2$，此时$y=y_1=-x^2+2x+3$。
$y_1$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$：
在$x ≤ -1$区间，函数$y_1$随x增大而增大，最大值在$x=-1$处取得，代入得$y_1=-(-1)^2+2×(-1)+3=0$；
在$x ≥ 2$区间，函数$y_1$随x增大而减小，最大值在$x=2$处取得，代入得$y_1=-2^2+2×2+3=3$。
2. 当$y_1 ＞ y_2$时，即$-1 ＜ x ＜ 2$，此时$y=y_2=x+1$。
$y_2$是斜率为正的一次函数，随x增大而增大，因此在该区间内$y ＜ 2+1=3$。
综合两种情况，y的最大值为3。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，二次函数的性质，一次函数的性质
【点评】
本题结合新定义运算考查函数性质的应用，解题的关键是通过求交点确定分类讨论的区间，再结合不同函数的增减性求区间最值，有效考查了分类讨论思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
8.已知点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在二次函数$y=(x-1)^2+1$的图象上，若$x_1 ＞ x_2 ＞ 1$，则$y_1$
＞
$y_2$。（填“＞”“＜”或“=”）答案
8. ＞
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴；第二步判断给出的$x_1、x_2$的取值范围位于对称轴的哪一侧；第三步结合该侧抛物线的增减性，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1 ＞ x_2 ＞ 1$，两点均在对称轴右侧，且$x_1＞x_2$，因此可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性判断函数值大小，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：第一步先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向和对称轴；第二步判断给出的$x_1、x_2$的取值范围位于对称轴的哪一侧；第三步结合该侧抛物线的增减性，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
对于二次函数$y=(x-1)^2+1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=1$；
3. 开口向上的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞1$时），$y$随$x$的增大而增大；
已知$x_1 ＞ x_2 ＞ 1$，两点均在对称轴右侧，且$x_1＞x_2$，因此可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是先确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性判断函数值大小，是对二次函数基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.85
9. 已知二次函数$y=x^2 -4x +k$的图象的顶点在$x$轴下方，则实数$k$的取值范围是
$k ＜ 4$
。答案
9. k ＜ 4
解析
【分析】
首先判断二次函数的开口方向，本题二次项系数a=1＞0，图象开口向上，顶点是图象的最低点。顶点在x轴下方说明顶点的纵坐标小于0，有两种常见解题思路：一是将函数化为顶点式，直接得到顶点纵坐标后列不等式求解；二是结合二次函数与x轴交点的规律，开口向上且顶点在x轴下方时，函数与x轴有两个不同交点，因此对应一元二次方程的判别式Δ＞0，代入系数计算即可得到k的取值范围。
【解析】
方法1（顶点式法）：
对二次函数配方化为顶点式：
$y=x^2-4x+k=x^2-4x+4+k-4=(x-2)^2+k-4$
可得顶点坐标为$(2,k-4)$
∵顶点在x轴下方，即顶点纵坐标小于0
∴$k-4＜0$
解得$k＜4$
方法2（判别式法）：
∵二次函数开口向上，顶点在x轴下方，说明函数图象与x轴有2个不同交点
∴对应方程$x^2-4x+k=0$的判别式$\Delta＞0$
代入$a=1,b=-4,c=k$得：
$\Delta=(-4)^2-4×1× k=16-4k＞0$
移项化简得$4k＜16$
解得$k＜4$
【答案】
$k＜4$
【知识点】
二次函数图象性质、判别式的应用、配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，核心是将“顶点在x轴下方”的几何特征转化为代数不等式求解，用到的配方法、判别式应用都是二次函数板块的常规技巧，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先判断二次函数的开口方向，本题二次项系数a=1＞0，图象开口向上，顶点是图象的最低点。顶点在x轴下方说明顶点的纵坐标小于0，有两种常见解题思路：一是将函数化为顶点式，直接得到顶点纵坐标后列不等式求解；二是结合二次函数与x轴交点的规律，开口向上且顶点在x轴下方时，函数与x轴有两个不同交点，因此对应一元二次方程的判别式Δ＞0，代入系数计算即可得到k的取值范围。
【解析】
方法1（顶点式法）：
对二次函数配方化为顶点式：
$y=x^2-4x+k=x^2-4x+4+k-4=(x-2)^2+k-4$
可得顶点坐标为$(2,k-4)$
∵顶点在x轴下方，即顶点纵坐标小于0
∴$k-4＜0$
解得$k＜4$
方法2（判别式法）：
∵二次函数开口向上，顶点在x轴下方，说明函数图象与x轴有2个不同交点
∴对应方程$x^2-4x+k=0$的判别式$\Delta＞0$
代入$a=1,b=-4,c=k$得：
$\Delta=(-4)^2-4×1× k=16-4k＞0$
移项化简得$4k＜16$
解得$k＜4$
【答案】
$k＜4$
【知识点】
二次函数图象性质、判别式的应用、配方法
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，核心是将“顶点在x轴下方”的几何特征转化为代数不等式求解，用到的配方法、判别式应用都是二次函数板块的常规技巧，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图,抛物线$y=ax^2+bx-3$与x轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与y轴交于点C。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)Q是该抛物线对称轴上的一点,当$△ ACQ$的周长最小时,求点Q的坐标。
(1)求该抛物线的表达式；
(2)Q是该抛物线对称轴上的一点,当$△ ACQ$的周长最小时,求点Q的坐标。
答案
(1)该抛物线的表达式为$y = x^2 - 2x - 3$
(2)点Q的坐标为(1, -2) 提示:易知点A,B关于抛物线的对称轴对称。
∴ AQ = BQ。
∴ △ACQ的周长为AC + AQ + CQ = AC + BQ + CQ。当△ACQ的周长最小时，BQ + CQ的长最小。利用“两点之间，线段最短”，当B,Q,C三点共线时，BQ + CQ的长最小，即BC的长。连接BC，交对称轴于点Q。由B(3,0),C(0,-3)，可得直线BC对应的函数表达式为y = x - 3。从而可求出点Q的坐标
(2)点Q的坐标为(1, -2) 提示:易知点A,B关于抛物线的对称轴对称。
∴ AQ = BQ。
∴ △ACQ的周长为AC + AQ + CQ = AC + BQ + CQ。当△ACQ的周长最小时，BQ + CQ的长最小。利用“两点之间，线段最短”，当B,Q,C三点共线时，BQ + CQ的长最小，即BC的长。连接BC，交对称轴于点Q。由B(3,0),C(0,-3)，可得直线BC对应的函数表达式为y = x - 3。从而可求出点Q的坐标
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，可将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得到抛物线表达式。
(2) 求△ACQ周长最小时Q的坐标时，首先△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，其中A、C为定点，AC长度固定，因此要使周长最小，只需让AQ+CQ最小。结合抛物线的对称性，点A与点B关于对称轴对称，故对称轴上任意点Q满足AQ=BQ，可将AQ+CQ转化为BQ+CQ，根据“两点之间线段最短”，当B、Q、C三点共线时，BQ+CQ最小，此时求直线BC与抛物线对称轴的交点，即为所求Q点。
【解析】
(1) 将点A(-1,0)、B(3,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1 \end{cases}$
将两个方程相加得$4a=4$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a - b = 3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$，
因此抛物线的表达式为$y=x^2 - 2x -3$。
(2) ① 求点C坐标：当$x=0$时，$y=0 -0 -3=-3$，故$C(0,-3)$。
② 求抛物线对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-2$，得对称轴为直线$x=\frac{2}{2×1}=1$。
③ 由抛物线对称性可知，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此对对称轴上任意点Q，均有$AQ=BQ$。
④ △ACQ的周长$=AC + AQ + CQ = AC + BQ + CQ$，其中AC为定值，因此当$BQ+CQ$最小时，△ACQ的周长最小。根据两点之间线段最短，当B、Q、C三点共线时，$BQ+CQ$取得最小值。
⑤ 求直线BC的解析式：设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases}3k + m =0 \\m=-3 \end{cases}$
解得$k=1、m=-3$，故直线BC的解析式为$y=x-3$。
⑥ 求直线BC与对称轴$x=1$的交点：将$x=1$代入$y=x-3$，得$y=1-3=-2$，因此点Q的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) $y = x^2 - 2x - 3$
(2) $(1, -2)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 轴对称最短路径
3. 一次函数交点计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法求函数解析式的基础应用，第二问通过轴对称转化线段和，将周长最小问题转化为共线求交点问题，体现了转化思想和数形结合思想的应用，是二次函数最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)两点，可将两点坐标代入抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得到抛物线表达式。
(2) 求△ACQ周长最小时Q的坐标时，首先△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，其中A、C为定点，AC长度固定，因此要使周长最小，只需让AQ+CQ最小。结合抛物线的对称性，点A与点B关于对称轴对称，故对称轴上任意点Q满足AQ=BQ，可将AQ+CQ转化为BQ+CQ，根据“两点之间线段最短”，当B、Q、C三点共线时，BQ+CQ最小，此时求直线BC与抛物线对称轴的交点，即为所求Q点。
【解析】
(1) 将点A(-1,0)、B(3,0)代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，可得：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1 \end{cases}$
将两个方程相加得$4a=4$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a - b = 3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$，
因此抛物线的表达式为$y=x^2 - 2x -3$。
(2) ① 求点C坐标：当$x=0$时，$y=0 -0 -3=-3$，故$C(0,-3)$。
② 求抛物线对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1、b=-2$，得对称轴为直线$x=\frac{2}{2×1}=1$。
③ 由抛物线对称性可知，点A与点B关于直线$x=1$对称，因此对对称轴上任意点Q，均有$AQ=BQ$。
④ △ACQ的周长$=AC + AQ + CQ = AC + BQ + CQ$，其中AC为定值，因此当$BQ+CQ$最小时，△ACQ的周长最小。根据两点之间线段最短，当B、Q、C三点共线时，$BQ+CQ$取得最小值。
⑤ 求直线BC的解析式：设直线BC的解析式为$y=kx+m$，将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入，得：
$\begin{cases}3k + m =0 \\m=-3 \end{cases}$
解得$k=1、m=-3$，故直线BC的解析式为$y=x-3$。
⑥ 求直线BC与对称轴$x=1$的交点：将$x=1$代入$y=x-3$，得$y=1-3=-2$，因此点Q的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
(1) $y = x^2 - 2x - 3$
(2) $(1, -2)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 轴对称最短路径
3. 一次函数交点计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问考查待定系数法求函数解析式的基础应用，第二问通过轴对称转化线段和，将周长最小问题转化为共线求交点问题，体现了转化思想和数形结合思想的应用，是二次函数最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
11. 某商店购进一批成本为每件30元的商品。经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示。
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的关系式。
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的关系式。
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
答案
(1)设销售量y与销售单价x之间的关系式为$y = kx + b$,将点(30,100),(45,70)的坐标代入一次函数的表达式,得$\begin{cases} 100 = 30k + b, \\ 70 = 45k + b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 160。 \end{cases}$故函数的表达式为$y = -2x + 160$
(2)由题意得$w = (x - 30)(-2x + 160) = -2(x - 55)^2 + 1 250$。
∵ $-2 ＜ 0$,
∴ 当$x ＜ 55$时,w的值随着x值的增大而增大,而$30 ≤ x ≤ 50$,
∴ 当$x = 50$时,w有最大值,$w_{最大} = 1 200$,故销售单价定为50元时,该商店每天获得的利润最大,最大利润为1 200元
(3)由题意得$(x - 30)(-2x + 160) ≥ 800$,解得$40 ≤ x ≤70$。
∴ 每天的销售量$y = -2x + 160 ≥20$,
∴ 每天的销售量最少应为20件
(2)由题意得$w = (x - 30)(-2x + 160) = -2(x - 55)^2 + 1 250$。
∵ $-2 ＜ 0$,
∴ 当$x ＜ 55$时,w的值随着x值的增大而增大,而$30 ≤ x ≤ 50$,
∴ 当$x = 50$时,w有最大值,$w_{最大} = 1 200$,故销售单价定为50元时,该商店每天获得的利润最大,最大利润为1 200元
(3)由题意得$(x - 30)(-2x + 160) ≥ 800$,解得$40 ≤ x ≤70$。
∴ 每天的销售量$y = -2x + 160 ≥20$,
∴ 每天的销售量最少应为20件
解析
【分析】
(1) 已知销售量y与销售单价x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：从图象中提取两个已知点(30,100)、(45,70)，代入一次函数通式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解出参数即可得到函数关系式。
(2) 销售利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-30)$元，销售量为第一问求得的y，据此列出利润w关于x的二次函数表达式，配方为顶点式后，结合二次函数的增减性和题目限定的x的取值范围$30≤x≤50$，即可求出最大利润及对应的销售单价。
(3) 根据“利润不低于800元”列不等式，解出x的取值范围，再结合y关于x的一次函数的增减性（y随x增大而减小），取x的最大值代入即可求出最小销售量。
【解析】
(1) 设销售量y与销售单价x的函数关系式为$y = kx + b\ (k≠0)$，将点$(30,100)$、$(45,70)$代入得：
$\begin{cases} 100 = 30k + b \\ 70 = 45k + b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = -2 \\ b = 160 \end{cases}$
故函数关系式为$y = -2x + 160$。
(2) 由题意得利润：
$w = (x - 30)(-2x + 160) = -2x^2 + 220x - 4800 = -2(x - 55)^2 + 1250$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜55$时，w随x的增大而增大，
又$\because 30 ≤ x ≤ 50$，
$\therefore$当$x=50$时，w取得最大值，$w_{最大}=-2×(50-55)^2 + 1250=1200$元。
(3) 由题意得$(x - 30)(-2x + 160) ≥ 800$，
整理得$x^2 -110x +2800 ≤0$，解得$40 ≤ x ≤70$，
$\because y=-2x+160$中$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=70$时，y取最小值，$y_{最小}=-2×70+160=20$件。
【答案】
(1) $y = -2x + 160$
(2) 销售单价定为50元时利润最大，最大利润为1200元
(3) 每天的销售量最少应为20件
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数最值应用；不等式实际应用
【点评】
本题属于销售类实际应用的常考题型，融合了一次函数、二次函数、不等式的核心考点，解题时需特别注意自变量的实际取值范围对函数最值的影响，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知销售量y与销售单价x满足一次函数关系，采用待定系数法求解：从图象中提取两个已知点(30,100)、(45,70)，代入一次函数通式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解出参数即可得到函数关系式。
(2) 销售利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-30)$元，销售量为第一问求得的y，据此列出利润w关于x的二次函数表达式，配方为顶点式后，结合二次函数的增减性和题目限定的x的取值范围$30≤x≤50$，即可求出最大利润及对应的销售单价。
(3) 根据“利润不低于800元”列不等式，解出x的取值范围，再结合y关于x的一次函数的增减性（y随x增大而减小），取x的最大值代入即可求出最小销售量。
【解析】
(1) 设销售量y与销售单价x的函数关系式为$y = kx + b\ (k≠0)$，将点$(30,100)$、$(45,70)$代入得：
$\begin{cases} 100 = 30k + b \\ 70 = 45k + b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k = -2 \\ b = 160 \end{cases}$
故函数关系式为$y = -2x + 160$。
(2) 由题意得利润：
$w = (x - 30)(-2x + 160) = -2x^2 + 220x - 4800 = -2(x - 55)^2 + 1250$
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，当$x＜55$时，w随x的增大而增大，
又$\because 30 ≤ x ≤ 50$，
$\therefore$当$x=50$时，w取得最大值，$w_{最大}=-2×(50-55)^2 + 1250=1200$元。
(3) 由题意得$(x - 30)(-2x + 160) ≥ 800$，
整理得$x^2 -110x +2800 ≤0$，解得$40 ≤ x ≤70$，
$\because y=-2x+160$中$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=70$时，y取最小值，$y_{最小}=-2×70+160=20$件。
【答案】
(1) $y = -2x + 160$
(2) 销售单价定为50元时利润最大，最大利润为1200元
(3) 每天的销售量最少应为20件
【知识点】
一次函数解析式求解；二次函数最值应用；不等式实际应用
【点评】
本题属于销售类实际应用的常考题型，融合了一次函数、二次函数、不等式的核心考点，解题时需特别注意自变量的实际取值范围对函数最值的影响，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
