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7. 圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m 的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影。已知桌面直径为1.2 m,桌面离地面1 m,若灯泡离地面3 m,则地面圆环形阴影的面积是
0.72π m²
。(结果保留π) 答案
7. 0.72π m²
解析
【分析】
本题属于中心投影结合相似三角形的应用题型，解题思路如下：1. 首先明确相似关系：光线形成的圆锥为相似几何体，对应边的比等于对应高的比，即灯泡到桌面的距离与灯泡到地面的距离的比值，等于桌面半径与地面对应阴影半径的比值；2. 先算出桌面外圆、内圆（圆洞）的半径，再根据相似比求出地面阴影的外圆、内圆半径；3. 最后利用环形面积公式（外圆面积减内圆面积）计算结果即可。
【解析】
解：
1. 计算桌面的内外圆半径：
桌面外圆半径$r_1=\frac{1.2}{2}=0.6\ \mathrm{m}$，桌面内圆（洞）半径$r_2=\frac{0.4}{2}=0.2\ \mathrm{m}$。
2. 计算对应高的长度：
灯泡到桌面的距离$h_1=3-1=2\ \mathrm{m}$，灯泡到地面的距离$h_2=3\ \mathrm{m}$，则相似比为$\frac{h_1}{h_2}=\frac{2}{3}$。
3. 求地面阴影的内外圆半径：
设地面阴影外圆半径为$R$，根据相似关系$\frac{r_1}{R}=\frac{2}{3}$，代入$r_1=0.6$得：$R=0.6×\frac{3}{2}=0.9\ \mathrm{m}$。
设地面阴影内圆半径为$r$，根据相似关系$\frac{r_2}{r}=\frac{2}{3}$，代入$r_2=0.2$得：$r=0.2×\frac{3}{2}=0.3\ \mathrm{m}$。
4. 计算环形阴影面积：
$S=π R^2-π r^2=π×(0.9^2-0.3^2)=π×(0.81-0.09)=0.72π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$0.72π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
相似三角形的应用，中心投影，圆的面积计算
【点评】
本题是数学知识和生活实际结合的典型题型，解题核心是准确找到相似图形的对应高的比值，进而求出阴影部分的相关边长，再计算面积，需要注意不要混淆相似比的对应关系。
【难度系数】
0.65
本题属于中心投影结合相似三角形的应用题型，解题思路如下：1. 首先明确相似关系：光线形成的圆锥为相似几何体，对应边的比等于对应高的比，即灯泡到桌面的距离与灯泡到地面的距离的比值，等于桌面半径与地面对应阴影半径的比值；2. 先算出桌面外圆、内圆（圆洞）的半径，再根据相似比求出地面阴影的外圆、内圆半径；3. 最后利用环形面积公式（外圆面积减内圆面积）计算结果即可。
【解析】
解：
1. 计算桌面的内外圆半径：
桌面外圆半径$r_1=\frac{1.2}{2}=0.6\ \mathrm{m}$，桌面内圆（洞）半径$r_2=\frac{0.4}{2}=0.2\ \mathrm{m}$。
2. 计算对应高的长度：
灯泡到桌面的距离$h_1=3-1=2\ \mathrm{m}$，灯泡到地面的距离$h_2=3\ \mathrm{m}$，则相似比为$\frac{h_1}{h_2}=\frac{2}{3}$。
3. 求地面阴影的内外圆半径：
设地面阴影外圆半径为$R$，根据相似关系$\frac{r_1}{R}=\frac{2}{3}$，代入$r_1=0.6$得：$R=0.6×\frac{3}{2}=0.9\ \mathrm{m}$。
设地面阴影内圆半径为$r$，根据相似关系$\frac{r_2}{r}=\frac{2}{3}$，代入$r_2=0.2$得：$r=0.2×\frac{3}{2}=0.3\ \mathrm{m}$。
4. 计算环形阴影面积：
$S=π R^2-π r^2=π×(0.9^2-0.3^2)=π×(0.81-0.09)=0.72π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$0.72π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
相似三角形的应用，中心投影，圆的面积计算
【点评】
本题是数学知识和生活实际结合的典型题型，解题核心是准确找到相似图形的对应高的比值，进而求出阴影部分的相关边长，再计算面积，需要注意不要混淆相似比的对应关系。
【难度系数】
0.65
8. 在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里 (第7题)的四棵树的高度。在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,甲树的影长为4.08 m(如图①)。
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图②),墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m。
小丽:测得丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图③),测得第一级台阶上的影长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为4.4 m。
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4 m,落在坡面上的影长为3.2 m(如图④)。身高1.6 m的小明竖直站在坡面上,影子也都落在坡面上,小芳测得他的影长为2 m。
(1)甲树的高度为
(2)求乙树的高度。(画出示意图)
(3)丙树的高度为(
A.6.5 m B.5.75 m C.6.05 m D.7.25 m
(4)你能计算出丁树的高度吗?试试看。
小芳:测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.8 m,甲树的影长为4.08 m(如图①)。
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图②),墙壁上的影长为1.2 m,落在地面上的影长为2.4 m。
小丽:测得丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图③),测得第一级台阶上的影长为0.2 m,一级台阶高为0.3 m,落在地面上的影长为4.4 m。
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4 m,落在坡面上的影长为3.2 m(如图④)。身高1.6 m的小明竖直站在坡面上,影子也都落在坡面上,小芳测得他的影长为2 m。
(1)甲树的高度为
5.1 m
。(2)求乙树的高度。(画出示意图)
(3)丙树的高度为(
C
)。A.6.5 m B.5.75 m C.6.05 m D.7.25 m
(4)你能计算出丁树的高度吗?试试看。
答案
8. (1) 5.1 m
(2) 如图①
,设AB为乙树的高度，BC = 2.4 m。∵ 四边形AECD 是平行四边形，
∴ AE = CD = 1.2 m。由题意，得$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{2.4}=\frac{1}{0.8}$，解得BE = 3 m。故乙树的高度AB = AE + BE = 4.2(m)
(3) C 提示:如图②
,设AB为丙树的高度,EF = 0.2 m,由题意得$\frac{DE}{0.2}=\frac{1}{0.8}$,∴ DE = 0.25 m,则CD = 0.25 + 0.3 = 0.55(m)。
∵ 四边形AGCD是平行四边形,
∴ AG = CD = 0.55 m。由题意得$\frac{BG}{BC}=\frac{BG}{4.4}=\frac{1}{0.8}$,解得BG = 5.5 m,
∴ AB = AG + BG = 0.55 + 5.5 = 6.05(m)
(4) 如图③
,设AB为丁树的高度,BC = 2.4 m,CD = 3.2 m。∵ 四边形AECF是平行四边形,
∴ AE = CF。由题意,得$\frac{BE}{BC}=\frac{BE}{2.4}=\frac{1}{0.8}$,解得BE = 3 m。又
∵ $\frac{CF}{3.2}=\frac{1.6}{2}$,解得CF = 2.56 m。故丁树的高度AB = AE + BE = BE + CF = 5.56(m)
解析
【分析】
本题基于同一时刻平行投影下物高与影长成正比的核心规律求解，解题思路如下：
(1) 甲树影子全在地面，直接利用“物高/影长=定值”列比例式计算即可；
(2) 乙树影子分墙面、地面两部分：墙上的影长等于树对应部分的高度，剩余树的高度与地面影长成正比例关系，两者相加得总树高；
(3) 丙树影子分地面、台阶两部分：先将台阶上的影长换算为对应的物高，加上台阶高度得到总“悬空”部分对应树高，再计算地面影长对应的树高，相加得总高度；
(4) 丁树影子分地面、坡面两部分：地面部分按平地铁杆的物高影长比计算对应树高，坡面部分按小明在坡面的物高影长比计算对应树高，两者相加得总树高。
【解析】
(1) 设甲树高度为$ x \, \mathrm{m} $，同一时刻物高与影长成正比，可得：
$ \frac{x}{4.08} = \frac{1}{0.8} $
解得$ x = \frac{4.08}{0.8} = 5.1 \, \mathrm{m} $。
(2) 示意图如图①，设$ AB $为乙树高度，地面影长$ BC = 2.4 \, \mathrm{m} $，墙壁上影长$ CD = 1.2 \, \mathrm{m} $。
过$ D $作$ DE ⊥ AB $于点$ E $，则四边形$ AECD $是平行四边形，故$ AE = CD = 1.2 \, \mathrm{m} $。
由平行投影性质得$ \frac{BE}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BE}{2.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BE = 3 \, \mathrm{m} $。
因此乙树高度$ AB = AE + BE = 1.2 + 3 = 4.2 \, \mathrm{m} $。
(3) 示意图如图②，设$ AB $为丙树高度，地面影长$ BC = 4.4 \, \mathrm{m} $，台阶上影长$ EF = 0.2 \, \mathrm{m} $，台阶高$ 0.3 \, \mathrm{m} $。
先算台阶上影长对应的物高：由$ \frac{DE}{EF} = \frac{1}{0.8} $，得$ DE = \frac{0.2}{0.8} = 0.25 \, \mathrm{m} $，则总对应高度$ CD = DE + 0.3 = 0.25 + 0.3 = 0.55 \, \mathrm{m} $。
过$ C $作$ CG // AD $交$ AB $于点$ G $，则四边形$ AGCD $是平行四边形，故$ AG = CD = 0.55 \, \mathrm{m} $。
由$ \frac{BG}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BG}{4.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BG = 5.5 \, \mathrm{m} $。
因此丙树高度$ AB = AG + BG = 0.55 + 5.5 = 6.05 \, \mathrm{m} $，故选C。
(4) 示意图如图③，设$ AB $为丁树高度，地面影长$ BC = 2.4 \, \mathrm{m} $，坡面影长$ CD = 3.2 \, \mathrm{m} $。
过$ D $作$ DF ⊥ AB $于点$ F $，过$ C $作$ CE ⊥ DF $于点$ E $，则四边形$ BCEF $是矩形，$ BC = EF = 2.4 \, \mathrm{m} $，四边形$ AECF $是平行四边形，$ AE = CF $。
地面部分对应树高：$ \frac{BE}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BE}{2.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BE = 3 \, \mathrm{m} $。
坡面部分对应高度：由小明在坡面的物高影长比得$ \frac{CF}{CD} = \frac{1.6}{2} $，即$ \frac{CF}{3.2} = \frac{1.6}{2} $，解得$ CF = 2.56 \, \mathrm{m} $，即$ AE = 2.56 \, \mathrm{m} $。
因此丁树高度$ AB = AE + BE = 2.56 + 3 = 5.56 \, \mathrm{m} $。
【答案】
(1) $ 5.1 \, \mathrm{m} $
(2) 示意图如图①，乙树高度为$ 4.2 \, \mathrm{m} $
(3) C
(4) 能，丁树高度为$ 5.56 \, \mathrm{m} $
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用，比例计算
【点评】
本题结合实际测量高度的生活场景，考查了平行投影规律的灵活应用，针对影子落在不同载体（地面、墙面、台阶、坡面）的情况设置了分层问题，需要学生准确梳理物高与影长的对应关系，能有效提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题基于同一时刻平行投影下物高与影长成正比的核心规律求解，解题思路如下：
(1) 甲树影子全在地面，直接利用“物高/影长=定值”列比例式计算即可；
(2) 乙树影子分墙面、地面两部分：墙上的影长等于树对应部分的高度，剩余树的高度与地面影长成正比例关系，两者相加得总树高；
(3) 丙树影子分地面、台阶两部分：先将台阶上的影长换算为对应的物高，加上台阶高度得到总“悬空”部分对应树高，再计算地面影长对应的树高，相加得总高度；
(4) 丁树影子分地面、坡面两部分：地面部分按平地铁杆的物高影长比计算对应树高，坡面部分按小明在坡面的物高影长比计算对应树高，两者相加得总树高。
【解析】
(1) 设甲树高度为$ x \, \mathrm{m} $，同一时刻物高与影长成正比，可得：
$ \frac{x}{4.08} = \frac{1}{0.8} $
解得$ x = \frac{4.08}{0.8} = 5.1 \, \mathrm{m} $。
(2) 示意图如图①
，设$ AB $为乙树高度，地面影长$ BC = 2.4 \, \mathrm{m} $，墙壁上影长$ CD = 1.2 \, \mathrm{m} $。过$ D $作$ DE ⊥ AB $于点$ E $，则四边形$ AECD $是平行四边形，故$ AE = CD = 1.2 \, \mathrm{m} $。
由平行投影性质得$ \frac{BE}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BE}{2.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BE = 3 \, \mathrm{m} $。
因此乙树高度$ AB = AE + BE = 1.2 + 3 = 4.2 \, \mathrm{m} $。
(3) 示意图如图②
，设$ AB $为丙树高度，地面影长$ BC = 4.4 \, \mathrm{m} $，台阶上影长$ EF = 0.2 \, \mathrm{m} $，台阶高$ 0.3 \, \mathrm{m} $。先算台阶上影长对应的物高：由$ \frac{DE}{EF} = \frac{1}{0.8} $，得$ DE = \frac{0.2}{0.8} = 0.25 \, \mathrm{m} $，则总对应高度$ CD = DE + 0.3 = 0.25 + 0.3 = 0.55 \, \mathrm{m} $。
过$ C $作$ CG // AD $交$ AB $于点$ G $，则四边形$ AGCD $是平行四边形，故$ AG = CD = 0.55 \, \mathrm{m} $。
由$ \frac{BG}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BG}{4.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BG = 5.5 \, \mathrm{m} $。
因此丙树高度$ AB = AG + BG = 0.55 + 5.5 = 6.05 \, \mathrm{m} $，故选C。
(4) 示意图如图③
，设$ AB $为丁树高度，地面影长$ BC = 2.4 \, \mathrm{m} $，坡面影长$ CD = 3.2 \, \mathrm{m} $。过$ D $作$ DF ⊥ AB $于点$ F $，过$ C $作$ CE ⊥ DF $于点$ E $，则四边形$ BCEF $是矩形，$ BC = EF = 2.4 \, \mathrm{m} $，四边形$ AECF $是平行四边形，$ AE = CF $。
地面部分对应树高：$ \frac{BE}{BC} = \frac{1}{0.8} $，即$ \frac{BE}{2.4} = \frac{1}{0.8} $，解得$ BE = 3 \, \mathrm{m} $。
坡面部分对应高度：由小明在坡面的物高影长比得$ \frac{CF}{CD} = \frac{1.6}{2} $，即$ \frac{CF}{3.2} = \frac{1.6}{2} $，解得$ CF = 2.56 \, \mathrm{m} $，即$ AE = 2.56 \, \mathrm{m} $。
因此丁树高度$ AB = AE + BE = 2.56 + 3 = 5.56 \, \mathrm{m} $。
【答案】
(1) $ 5.1 \, \mathrm{m} $
(2) 示意图如图①
，乙树高度为$ 4.2 \, \mathrm{m} $(3) C
(4) 能，丁树高度为$ 5.56 \, \mathrm{m} $
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用，比例计算
【点评】
本题结合实际测量高度的生活场景，考查了平行投影规律的灵活应用，针对影子落在不同载体（地面、墙面、台阶、坡面）的情况设置了分层问题，需要学生准确梳理物高与影长的对应关系，能有效提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
