9. (2025·河南中考)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心。某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下。
| 活动主题 | 测量纪念碑的高度 |
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| 实物图和测量示意图 | (第9题) |
| 测量说明 | 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上 |
| 测量数据 | $DE=2.1\ \mathrm{m}$，$DF=2.1\ \mathrm{m}$，$DM=1\ \mathrm{m}$，$MN=1.2\ \mathrm{m}$ |
| 备注 | 点F，M，D，C在同一水平线上 |
根据以上信息，解决下列问题。
(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得$CD = CA$，请说明理由。
(2)求纪念碑AB的高度。
(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m。查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m。请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大。并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)。

9. (1)
∵ 太阳光下,其顶端A的影子落在点D处,同一时刻,竖直放置的标杆DE的顶端E的影子落在点F处,
∴ $\frac{AC}{CD}=\frac{DE}{DF}$。
∵ 标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等,即DE = DF,
∴ CD = CA
(2) 如图,设BN与DE的交点为H,则四边形BCDH、四边形MNHD都是矩形。
∵ DE = 2.1 m, DF = 2.1 m, DM = 1 m, MN = 1.2 m,
∴ BC = DH = MN = 1.2 m, NH = DM = 1 m。
∴ EH = DE - DH = 2.1 - 1.2 = 0.9(m)。设AB = x m,则AC = BC + AB = (1.2 + x) m。
∴ BH = CD = (1.2 + x) m。
∴ NB = BH + NH = (1.2 + x + 1) m = (2.2 + x) m。
∵ EH // AB,
∴ △NEH ∽ △NAB,
∴ $\frac{EH}{AB}=\frac{NH}{NB}$,
∴ $\frac{0.9}{x}=\frac{1}{2.2 + x}$。解得x = 19.8。经检验,x = 19.8是原方程的解,因此,纪念碑AB的高度为19.8 m
(3) 纪念碑的实际高度为19.64 m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m,则小红的结果误差较大。可能原因:纪念碑AB位于有台阶的平台BC上,点C的位置无法正确定位,使得CD的长存在误差,影响计算结果

【分析】
(1) 要证明CD=CA，需利用平行投影的核心性质：同一时刻，不同竖直物体的高度和对应影长的比值相等，由此得到比例式，结合DE=DF的条件即可推导得出结论。
(2) 求AB的高度时，先作辅助线构造矩形和相似三角形：设BN交DE于H，利用矩形性质得到各已知边的等量关系，再结合第一问CD=AC的结论，用含AB的代数式表示出相似三角形的对应边，最后根据相似三角形对应边成比例列分式方程求解即可。
(3) 分别计算两个结果与实际高度的差值，差值越大误差越大；误差原因可从实际测量的难点入手，比如平台台阶导致C点定位不准，造成CD测量值偏差。
【解析】
(1) 太阳光为平行光线，同一时刻竖直物体的高度与影长的比值相等，因此可得$\frac{AC}{CD}=\frac{DE}{DF}$。已知$DE=DF$，将其代入比例式可得$AC=CD$，即$CD=CA$。
(2) 如图，设BN与DE的交点为H。
由题意可知，NB、FC为水平线，AB、DE为竖直线，因此四边形BCDH、四边形MNHD均为矩形。
根据矩形性质得：$BC=DH=MN=1.2\ \mathrm{m}$，$NH=DM=1\ \mathrm{m}$，$BH=CD$。
因此$EH=DE-DH=2.1-1.2=0.9\ \mathrm{m}$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，由(1)知$CD=AC$，且$AC=AB+BC=(x+1.2)\ \mathrm{m}$，因此$BH=CD=(x+1.2)\ \mathrm{m}$，进而$NB=NH+BH=1+(x+1.2)=(x+2.2)\ \mathrm{m}$。
因为$EH// AB$，所以$△ NEH ∽ △ NAB$，根据相似三角形性质得$\frac{EH}{AB}=\frac{NH}{NB}$，代入数值可得：
$\frac{0.9}{x}=\frac{1}{x+2.2}$
交叉相乘解得$x=19.8$，经检验$x=19.8$是原分式方程的解，且符合实际意义。
(3) 计算误差：小红的结果与实际值的误差为$\vert18.5-19.64\vert=1.14\ \mathrm{m}$，(2)中结果与实际值的误差为$\vert19.8-19.64\vert=0.16\ \mathrm{m}$，$1.14＞0.16$，因此小红的结果误差更大。
误差可能原因：平台BC带有台阶，C点位置难以精准定位，导致测量的CD长度存在偏差，最终计算结果误差较大。
【答案】
(1)
∵ 太阳光下,其顶端A的影子落在点D处,同一时刻,竖直放置的标杆DE的顶端E的影子落在点F处,
∴ $\frac{AC}{CD}=\frac{DE}{DF}$。
∵ 标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等,即DE = DF,
∴ CD = CA
(2) 如图,设BN与DE的交点为H,则四边形BCDH、四边形MNHD都是矩形。
∵ DE = 2.1 m, DF = 2.1 m, DM = 1 m, MN = 1.2 m,
∴ BC = DH = MN = 1.2 m, NH = DM = 1 m。
∴ EH = DE - DH = 2.1 - 1.2 = 0.9(m)。设AB = x m,则AC = BC + AB = (1.2 + x) m。
∴ BH = CD = (1.2 + x) m。
∴ NB = BH + NH = (1.2 + x + 1) m = (2.2 + x) m。
∵ EH // AB,
∴ △NEH ∽ △NAB,
∴ $\frac{EH}{AB}=\frac{NH}{NB}$,
∴ $\frac{0.9}{x}=\frac{1}{2.2 + x}$。解得x = 19.8。经检验,x = 19.8是原方程的解,因此,纪念碑AB的高度为19.8 m
(3) 纪念碑的实际高度为19.64 m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m,则小红的结果误差较大。可能原因:纪念碑AB位于有台阶的平台BC上,点C的位置无法正确定位,使得CD的长存在误差,影响计算结果
【知识点】
平行投影，相似三角形，矩形性质
【点评】
本题结合实际测量场景，将几何知识与生活应用紧密结合，既考查了平行投影、相似三角形等核心知识的运用，也考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力，同时通过误差分析引导学生关注实践操作的严谨性，兼具实用性和综合性。
【难度系数】
0.65