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17. (12分)已知$6a+3$的立方根是3，$3a+b-1$的算术平方根是4.
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求$b^2 - a^2$的平方根.
(1)求$a$、$b$的值；
(2)求$b^2 - a^2$的平方根.
答案
解：(1) 因为$6a+3$的立方根是3，
所以$6a + 3 = 3^3 = 27$，
解得$a = 4$。
因为$3a+b-1$的算术平方根是4，
所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=4$代入得：$3×4 + b - 1 = 16$，
解得$b = 5$。
(2) 当$a=4$，$b=5$时，
$b^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$，
因为9的平方根是$\pm3$，
所以$b^2 - a^2$的平方根是$\pm3$。
所以$6a + 3 = 3^3 = 27$，
解得$a = 4$。
因为$3a+b-1$的算术平方根是4，
所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=4$代入得：$3×4 + b - 1 = 16$，
解得$b = 5$。
(2) 当$a=4$，$b=5$时，
$b^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$，
因为9的平方根是$\pm3$，
所以$b^2 - a^2$的平方根是$\pm3$。
解析
【分析】
本题可根据根式的定义逐步求解：
1. 求解$a$、$b$的值时，先根据立方根的定义：若$x$是$y$的立方根，则$y=x^3$，由$6a+3$的立方根是3，可列出关于$a$的一元一次方程，解方程求出$a$的值；再根据算术平方根的定义：非负数$x$的算术平方根为$y$，则$x=y^2$，结合$3a+b-1$的算术平方根是4，代入已求出的$a$的值，即可列出关于$b$的方程，解方程得到$b$的值。
2. 求解$b^2 - a^2$的平方根时，先将$a$、$b$的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义：若$x^2=y$，则$x$是$y$的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$6a+3$的立方根是3，
所以$6a + 3 = 3^3 = 27$，
解得$a = 4$。
因为$3a+b-1$的算术平方根是4，
所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=4$代入得：$3×4 + b - 1 = 16$，
解得$b = 5$。
(2) 当$a=4$，$b=5$时，
$b^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$，
因为9的平方根是$\pm3$，
所以$b^2 - a^2$的平方根是$\pm3$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=5$；
(2) $\pm3$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的计算
【点评】
本题是根式相关的基础题型，解题核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念与性质，尤其注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据根式的定义逐步求解：
1. 求解$a$、$b$的值时，先根据立方根的定义：若$x$是$y$的立方根，则$y=x^3$，由$6a+3$的立方根是3，可列出关于$a$的一元一次方程，解方程求出$a$的值；再根据算术平方根的定义：非负数$x$的算术平方根为$y$，则$x=y^2$，结合$3a+b-1$的算术平方根是4，代入已求出的$a$的值，即可列出关于$b$的方程，解方程得到$b$的值。
2. 求解$b^2 - a^2$的平方根时，先将$a$、$b$的值代入代数式计算出结果，再根据平方根的定义：若$x^2=y$，则$x$是$y$的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$6a+3$的立方根是3，
所以$6a + 3 = 3^3 = 27$，
解得$a = 4$。
因为$3a+b-1$的算术平方根是4，
所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$，
将$a=4$代入得：$3×4 + b - 1 = 16$，
解得$b = 5$。
(2) 当$a=4$，$b=5$时，
$b^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$，
因为9的平方根是$\pm3$，
所以$b^2 - a^2$的平方根是$\pm3$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=5$；
(2) $\pm3$
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的计算
【点评】
本题是根式相关的基础题型，解题核心是准确区分立方根、算术平方根、平方根的概念与性质，尤其注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏解，掌握相关基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
18. (12分)因为$\sqrt[3]{1}＜\sqrt[3]{3}＜\sqrt[3]{8}$，即$1＜\sqrt[3]{3}＜2$，所以$\sqrt[3]{3}$的整数部分为1，小数部分为$\sqrt[3]{3}-1$. 类比以上推理解答下列问题：
(1)求$\sqrt[3]{30}$的整数部分和小数部分；
(2)若$m$是$6-\sqrt{3}$的整数部分，且$(x+1)^2=m$，求$x$的值.
(1)求$\sqrt[3]{30}$的整数部分和小数部分；
(2)若$m$是$6-\sqrt{3}$的整数部分，且$(x+1)^2=m$，求$x$的值.
答案
解：
(1) 因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{30} ＜ \sqrt[3]{64}$，
即$3 ＜ \sqrt[3]{30} ＜ 4$，
所以$\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$。
(2) 由已知得$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
所以$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
因此$6-2 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 6-1$，即$4 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 5$，
则$6-\sqrt{3}$的整数部分$m=4$。
把$m=4$代入$(x+1)^2=m$，得$(x+1)^2=4$，
开平方得$x+1=\pm2$，
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
所以$x$的值为1或$-3$。
(1) 因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{30} ＜ \sqrt[3]{64}$，
即$3 ＜ \sqrt[3]{30} ＜ 4$，
所以$\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$。
(2) 由已知得$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
所以$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
因此$6-2 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 6-1$，即$4 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 5$，
则$6-\sqrt{3}$的整数部分$m=4$。
把$m=4$代入$(x+1)^2=m$，得$(x+1)^2=4$，
开平方得$x+1=\pm2$，
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
所以$x$的值为1或$-3$。
解析
【分析】
本题可根据题干给出的“夹逼法”估算无理数的思路求解：
(1) 求$\sqrt[3]{30}$的整数部分时，先找到和30相邻的两个能开得尽立方的正整数，确定$\sqrt[3]{30}$介于哪两个连续整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用$\sqrt[3]{30}$减去整数部分即可得到小数部分；
(2) 先利用夹逼法确定$\sqrt{3}$的取值范围，再通过不等式的变形求出$6-\sqrt{3}$的取值范围，得到整数部分$m$的值，再代入方程用直接开平方的方法求解$x$，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{30} ＜ \sqrt[3]{64}$，
即$3 ＜ \sqrt[3]{30} ＜ 4$，
所以$\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$。
(2) 由已知得$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
所以$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
因此$6-2 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 6-1$，即$4 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 5$，
则$6-\sqrt{3}$的整数部分$m=4$。
把$m=4$代入$(x+1)^2=m$，得$(x+1)^2=4$，
开平方得$x+1=\pm2$，
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
所以$x$的值为1或$-3$。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$；
(2) $x$的值为1或$-3$。
【知识点】
无理数的估算，平方根的运算，不等式的性质
【点评】
本题解题核心是掌握用夹逼法估算无理数大小的方法，求解方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题可根据题干给出的“夹逼法”估算无理数的思路求解：
(1) 求$\sqrt[3]{30}$的整数部分时，先找到和30相邻的两个能开得尽立方的正整数，确定$\sqrt[3]{30}$介于哪两个连续整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用$\sqrt[3]{30}$减去整数部分即可得到小数部分；
(2) 先利用夹逼法确定$\sqrt{3}$的取值范围，再通过不等式的变形求出$6-\sqrt{3}$的取值范围，得到整数部分$m$的值，再代入方程用直接开平方的方法求解$x$，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 因为$\sqrt[3]{27} ＜ \sqrt[3]{30} ＜ \sqrt[3]{64}$，
即$3 ＜ \sqrt[3]{30} ＜ 4$，
所以$\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$。
(2) 由已知得$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
所以$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
因此$6-2 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 6-1$，即$4 ＜ 6-\sqrt{3} ＜ 5$，
则$6-\sqrt{3}$的整数部分$m=4$。
把$m=4$代入$(x+1)^2=m$，得$(x+1)^2=4$，
开平方得$x+1=\pm2$，
当$x+1=2$时，$x=1$；
当$x+1=-2$时，$x=-3$。
所以$x$的值为1或$-3$。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{30}$的整数部分为3，小数部分为$\sqrt[3]{30}-3$；
(2) $x$的值为1或$-3$。
【知识点】
无理数的估算，平方根的运算，不等式的性质
【点评】
本题解题核心是掌握用夹逼法估算无理数大小的方法，求解方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
