19. (12分)数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题:无限循环小数是无理数吗?
以0.$\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答(注:0.$\dot{3}$即0.333 33…):
设0.$\dot{3}$为x,即0.$\dot{3}$=x,
等式两边同时乘10,得3.$\dot{3}$=10x,
即3+0.$\dot{3}$=10x.
因为0.$\dot{3}$=x,所以3+x=10x.解得x=$\frac{1}{3}$,即0.$\dot{3}$=$\frac{1}{3}$.
因为分数是有理数,所以0.$\dot{3}$是有理数.
同学们,你们学会了吗?请根据上述阅读,解决下列问题:
(1)无限循环小数0.$\dot{2}$写成分数的形式是.
(2)请用解方程的办法将0.$\dot{2}\dot{1}$写成分数.

解：
(1) 设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘10，得$2.\dot{2}=10x$，
即$2+0.\dot{2}=10x$，
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2+x=10x$，
解得$x=\frac{2}{9}$，即$0.\dot{2}=\frac{2}{9}$。
故答案为$\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，
即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$，
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$，所以$21+x=100x$，
整理得$99x=21$，
解得$x=\frac{7}{33}$，
即$0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。

【分析】
本题为材料阅读类题型，解题时需类比题目给出的$0.\dot{3}$化分数的方法，通过设未知数列一元一次方程求解，具体思考逻辑如下：首先明确待转化的无限循环小数的循环节位数，若循环节有n位，就将等式两边同时乘$10^n$，使得乘后所得数的小数部分与原循环小数完全相同；再将乘后的数拆为整数部分加原循环小数，把原循环小数替换为所设的未知数x，即可得到一元一次方程；最后解方程得到的x值就是对应分数。第(1)问中$0.\dot{2}$的循环节为1位，两边乘10即可；第(2)问中$0.\dot{2}\dot{1}$的循环节为2位，两边乘100即可。
【解析】
(1) 设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘10，得$2.\dot{2}=10x$，
即$2+0.\dot{2}=10x$，
因为$0.\dot{2}=x$，所以$2+x=10x$，
解得$x=\frac{2}{9}$，即$0.\dot{2}=\frac{2}{9}$。
(2) 设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘100，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，
即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$，
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$，所以$21+x=100x$，
整理得$99x=21$，
解得$x=\frac{7}{33}$，
即$0.\dot{2}\dot{1}=\frac{7}{33}$。
【答案】
(1) $\frac{2}{9}$；(2) $\frac{7}{33}$
【知识点】
一元一次方程的应用，无限循环小数化分数
【点评】
本题侧重考查知识迁移能力和一元一次方程的应用，只要读懂材料给出的转化方法，找准循环节位数，就能快速准确解题，是巩固有理数相关概念和方程应用的典型习题。
【难度系数】
0.8