登录
1. 下列实数中，平方最大的数是 （）
A.$-3$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$-2$
A.$-3$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-1$
D.$-2$
答案
A
解析
【分析】
要找出平方最大的数，首先明确所有实数的平方都是非负数，解题思路为：先分别计算四个选项中每个数的平方，再对得到的平方结果进行大小比较，结果最大的对应的原数就是正确答案。
【解析】
分别计算各选项中数的平方：
A. $(-3)^2=9$
B. $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
C. $(-1)^2=1$
D. $(-2)^2=4$
对平方结果进行大小比较：$9＞4＞1＞\frac{1}{4}$，因此平方最大的数是$-3$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数乘方的运算规则，解题时注意负数的平方为正数，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
要找出平方最大的数，首先明确所有实数的平方都是非负数，解题思路为：先分别计算四个选项中每个数的平方，再对得到的平方结果进行大小比较，结果最大的对应的原数就是正确答案。
【解析】
分别计算各选项中数的平方：
A. $(-3)^2=9$
B. $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
C. $(-1)^2=1$
D. $(-2)^2=4$
对平方结果进行大小比较：$9＞4＞1＞\frac{1}{4}$，因此平方最大的数是$-3$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数乘方的运算规则，解题时注意负数的平方为正数，计算细心即可得分。
【难度系数】
0.9
2. (2026·上海)下列选项中是无理数的是 ()
A.$\dfrac{5}{7}$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{9}$
A.$\dfrac{5}{7}$
B.$4$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{9}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题思路为：先明确两类数的判定标准，再逐一分析每个选项，排除属于有理数的选项，最终得到正确答案。注意带根号的数需要先化简再判断，不能直接认为带根号的就是无理数。
【解析】
首先回忆相关定义：有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A. $\dfrac{5}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. $4$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
D. 先化简$\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念；算术平方根化简
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意带根号的数要先化简再判断是否为无理数，避免出现“只要带根号就是无理数”的认知误区。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数。解题思路为：先明确两类数的判定标准，再逐一分析每个选项，排除属于有理数的选项，最终得到正确答案。注意带根号的数需要先化简再判断，不能直接认为带根号的就是无理数。
【解析】
首先回忆相关定义：有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A. $\dfrac{5}{7}$是分数，属于有理数，不符合要求；
B. $4$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{2}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
D. 先化简$\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；有理数的概念；算术平方根化简
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意带根号的数要先化简再判断是否为无理数，避免出现“只要带根号就是无理数”的认知误区。
【难度系数】
0.9
3. 下列说法正确的是 ()
A.$\sqrt{4}$的算术平方根是2
B.$\sqrt{(-15)^2}$的平方根是$\pm\sqrt{15}$
C.$(-\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$-\dfrac{2}{3}$
D.$-15$的平方根是$\pm\sqrt{-15}$
A.$\sqrt{4}$的算术平方根是2
B.$\sqrt{(-15)^2}$的平方根是$\pm\sqrt{15}$
C.$(-\dfrac{2}{3})^2$的平方根是$-\dfrac{2}{3}$
D.$-15$的平方根是$\pm\sqrt{-15}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题思路如下：首先牢记核心概念：①只有非负数才有平方根，负数没有平方根；②正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫作这个数的算术平方根。解题时先将每个选项中需要计算的带根号或带平方的数先化简，再根据概念判断对应说法是否正确，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确核心规则：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，其中正的平方根是$a$的算术平方根，负数没有平方根。
逐一分析选项：
A. 先化简$\sqrt{4}=2$，2的算术平方根是$\sqrt{2}$，不是2，故A错误；
B. 先化简$\sqrt{(-15)^2}=\sqrt{225}=15$，15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，故B正确；
C. 先化简$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{4}{9}$的平方根是$\pm\dfrac{2}{3}$，并非只有$-\dfrac{2}{3}$，故C错误；
D. -15是负数，负数没有平方根，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关概念的基础考查题，易错点在于容易忘记先化简原式、忽略正数有两个互为相反数的平方根、误认负数有平方根，解题时紧扣概念，先化简再判断即可避免错误。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题思路如下：首先牢记核心概念：①只有非负数才有平方根，负数没有平方根；②正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫作这个数的算术平方根。解题时先将每个选项中需要计算的带根号或带平方的数先化简，再根据概念判断对应说法是否正确，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
先明确核心规则：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，其中正的平方根是$a$的算术平方根，负数没有平方根。
逐一分析选项：
A. 先化简$\sqrt{4}=2$，2的算术平方根是$\sqrt{2}$，不是2，故A错误；
B. 先化简$\sqrt{(-15)^2}=\sqrt{225}=15$，15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，故B正确；
C. 先化简$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{4}{9}$的平方根是$\pm\dfrac{2}{3}$，并非只有$-\dfrac{2}{3}$，故C错误；
D. -15是负数，负数没有平方根，故D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关概念的基础考查题，易错点在于容易忘记先化简原式、忽略正数有两个互为相反数的平方根、误认负数有平方根，解题时紧扣概念，先化简再判断即可避免错误。
【难度系数】
0.7
4. 一个底面为正方形的水池深2 m，容积为$11.52\ \mathrm{m}^3$，则此水池的底面边长为（）
A.9.25 m
B.13.52 m
C.2.4 m
D.4.2 m
A.9.25 m
B.13.52 m
C.2.4 m
D.4.2 m
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以将水池看作底面为正方形的长方体，已知长方体的容积和深度，解题分为两步：第一步根据长方体容积公式计算出水池的底面积；第二步利用正方形面积和边长的关系，结合算术平方根的计算求出底面边长，因为边长为正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
设水池底面边长为$a\ \mathrm{m}$。
1. 根据长方体容积公式$V = S_{\mathrm{底}} × h$（其中$V$为容积，$S_{\mathrm{底}}$为底面积，$h$为水池深度），已知$V=11.52\ \mathrm{m}^3$，$h=2\ \mathrm{m}$，可得底面积：
$S_{\mathrm{底}}=\frac{V}{h}=\frac{11.52}{2}=5.76\ \mathrm{m}^2$
2. 因为水池底面为正方形，正方形面积公式为$S_{\mathrm{底}}=a^2$，且边长$a＞0$，所以：
$a=\sqrt{S_{\mathrm{底}}}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
长方体容积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题是几何公式与实数运算结合的基础应用题，解题关键是熟练掌握长方体容积公式和算术平方根的计算方法，结合实际意义取舍平方根的结果。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以将水池看作底面为正方形的长方体，已知长方体的容积和深度，解题分为两步：第一步根据长方体容积公式计算出水池的底面积；第二步利用正方形面积和边长的关系，结合算术平方根的计算求出底面边长，因为边长为正数，只需取正的平方根即可。
【解析】
设水池底面边长为$a\ \mathrm{m}$。
1. 根据长方体容积公式$V = S_{\mathrm{底}} × h$（其中$V$为容积，$S_{\mathrm{底}}$为底面积，$h$为水池深度），已知$V=11.52\ \mathrm{m}^3$，$h=2\ \mathrm{m}$，可得底面积：
$S_{\mathrm{底}}=\frac{V}{h}=\frac{11.52}{2}=5.76\ \mathrm{m}^2$
2. 因为水池底面为正方形，正方形面积公式为$S_{\mathrm{底}}=a^2$，且边长$a＞0$，所以：
$a=\sqrt{S_{\mathrm{底}}}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
长方体容积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题是几何公式与实数运算结合的基础应用题，解题关键是熟练掌握长方体容积公式和算术平方根的计算方法，结合实际意义取舍平方根的结果。
【难度系数】
0.8
5.若$ a $、$ b $、$ c $为$ △ ABC $的三边长，且满足$ |a - 5| + \sqrt{b - 2} = 0 $，则$ c $的值可以为（）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0，由此可先求出a、b的长度；再结合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边c的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：
∵ $|a - 5| ≥ 0$，$\sqrt{b - 2} ≥ 0$，且$|a - 5| + \sqrt{b - 2} = 0$
∴ $\begin{cases} a - 5 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 5 \\ b = 2 \end{cases}$
根据三角形三边关系可得：
$a - b ＜ c ＜ a + b$
代入数值计算：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
对照选项，只有6满足该取值范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，算术平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对非负性的理解和三角形三边关系的应用，解题的核心是先通过非负性确定已知两边的长度，再根据三边关系锁定第三边的取值范围，做题时注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都等于0，由此可先求出a、b的长度；再结合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边c的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：
∵ $|a - 5| ≥ 0$，$\sqrt{b - 2} ≥ 0$，且$|a - 5| + \sqrt{b - 2} = 0$
∴ $\begin{cases} a - 5 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 5 \\ b = 2 \end{cases}$
根据三角形三边关系可得：
$a - b ＜ c ＜ a + b$
代入数值计算：$5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2$，即$3 ＜ c ＜ 7$
对照选项，只有6满足该取值范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，三角形三边关系，算术平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对非负性的理解和三角形三边关系的应用，解题的核心是先通过非负性确定已知两边的长度，再根据三边关系锁定第三边的取值范围，做题时注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
6.一个正方体的体积扩大为原来的64倍,则它的棱长变为原来的 ()
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.9倍
A.2倍
B.4倍
C.6倍
D.9倍
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从正方体体积与棱长的关系入手。首先回忆正方体的体积公式：正方体体积=棱长³，说明体积是棱长的三次方，因此棱长是体积的立方根。我们可以先设原正方体的棱长，分别表示出原体积和扩大后的体积，再通过开立方求出扩大后的棱长，最后和原棱长作比即可得到结果。
【解析】
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式，原体积$V = a^3$。
体积扩大为原来的64倍后，新体积$V' = 64V = 64a^3$。
设新棱长为$a'$，则$a'^3 = V' = 64a^3$，对等式两边同时开立方可得：
$a' = \sqrt[3]{64a^3} = \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{a^3} = 4a$
因此新棱长是原棱长的4倍。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体体积公式
2. 立方根的运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何体体积公式和开立方运算结合考察，难度较低，掌握核心公式和立方根计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们可以从正方体体积与棱长的关系入手。首先回忆正方体的体积公式：正方体体积=棱长³，说明体积是棱长的三次方，因此棱长是体积的立方根。我们可以先设原正方体的棱长，分别表示出原体积和扩大后的体积，再通过开立方求出扩大后的棱长，最后和原棱长作比即可得到结果。
【解析】
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式，原体积$V = a^3$。
体积扩大为原来的64倍后，新体积$V' = 64V = 64a^3$。
设新棱长为$a'$，则$a'^3 = V' = 64a^3$，对等式两边同时开立方可得：
$a' = \sqrt[3]{64a^3} = \sqrt[3]{64} × \sqrt[3]{a^3} = 4a$
因此新棱长是原棱长的4倍。
【答案】
B
【知识点】
1. 正方体体积公式
2. 立方根的运算
【点评】
本题是基础运算类题目，将几何体体积公式和开立方运算结合考察，难度较低，掌握核心公式和立方根计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图1,数轴上表示$\sqrt{10}-5$的点在 （）
A.线段AB上
B.线段BC上
C.线段CD上
D.线段DE上
A.线段AB上
B.线段BC上
C.线段CD上
D.线段DE上
答案
A
解析
【分析】
要确定表示$\sqrt{10}-5$的点在数轴的哪条线段上，需先估算出$\sqrt{10}$的取值范围，再利用不等式的性质求出$\sqrt{10}-5$的取值范围，最后对照数轴上各线段对应的数值区间即可得到答案。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第二步：求$\sqrt{10}-5$的范围
根据不等式的性质，给不等式$3＜\sqrt{10}＜4$的三边同时减去5，不等号方向不变，可得：
$3-5 ＜ \sqrt{10}-5 ＜ 4-5$，即$-2 ＜ \sqrt{10}-5 ＜ -1$。
第三步：对照数轴判断位置
观察数轴可知，线段AB对应的区间是大于-2且小于-1，因此表示$\sqrt{10}-5$的点在线段AB上。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、不等式的性质、数轴的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题时先确定无理数的整数范围，再通过简单的不等式变形得到所求式子的范围，结合数轴即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要确定表示$\sqrt{10}-5$的点在数轴的哪条线段上，需先估算出$\sqrt{10}$的取值范围，再利用不等式的性质求出$\sqrt{10}-5$的取值范围，最后对照数轴上各线段对应的数值区间即可得到答案。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{10}$的范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$。
第二步：求$\sqrt{10}-5$的范围
根据不等式的性质，给不等式$3＜\sqrt{10}＜4$的三边同时减去5，不等号方向不变，可得：
$3-5 ＜ \sqrt{10}-5 ＜ 4-5$，即$-2 ＜ \sqrt{10}-5 ＜ -1$。
第三步：对照数轴判断位置
观察数轴可知，线段AB对应的区间是大于-2且小于-1，因此表示$\sqrt{10}-5$的点在线段AB上。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、不等式的性质、数轴的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题时先确定无理数的整数范围，再通过简单的不等式变形得到所求式子的范围，结合数轴即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
8. 下列各选项，化简正确的是（）
A.$\pm\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt[3]{8}=-2$
C.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
D.$|π - 2|=2 - π$
A.$\pm\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt[3]{8}=-2$
C.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
D.$|π - 2|=2 - π$
答案
A
解析
【分析】
本题考查实数的基本化简，解题思路是逐个分析每个选项，结合平方根、立方根、算术平方根、绝对值的相关性质判断对错，最终选出正确选项。解题时需注意：①区分平方根和算术平方根的定义；②立方根的符号与被开方数一致；③化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负性。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，因为$(\pm3)^2=9$，所以$\pm\sqrt{9}=\pm3$，该选项化简正确。
选项B：$\sqrt[3]{8}$表示8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2≠-2$，该选项化简错误。
选项C：$\sqrt{(-5)^2}$表示$(-5)^2=25$的算术平方根，算术平方根是非负数，所以$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5≠-5$，该选项化简错误。
选项D：因为$π\approx3.14＞2$，所以$π-2＞0$，正数的绝对值等于它本身，即$|π-2|=π-2≠2-π$，该选项化简错误。
综上，只有A选项化简正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根与立方根，算术平方根的性质，绝对值化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对实数相关运算性质的辨析，需要同学们准确区分平方根和算术平方根的差异，牢记立方根的符号规律，掌握绝对值的化简方法，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.8
本题考查实数的基本化简，解题思路是逐个分析每个选项，结合平方根、立方根、算术平方根、绝对值的相关性质判断对错，最终选出正确选项。解题时需注意：①区分平方根和算术平方根的定义；②立方根的符号与被开方数一致；③化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负性。
【解析】
我们逐一判断各选项：
选项A：$\pm\sqrt{9}$表示9的平方根，因为$(\pm3)^2=9$，所以$\pm\sqrt{9}=\pm3$，该选项化简正确。
选项B：$\sqrt[3]{8}$表示8的立方根，因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2≠-2$，该选项化简错误。
选项C：$\sqrt{(-5)^2}$表示$(-5)^2=25$的算术平方根，算术平方根是非负数，所以$\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5≠-5$，该选项化简错误。
选项D：因为$π\approx3.14＞2$，所以$π-2＞0$，正数的绝对值等于它本身，即$|π-2|=π-2≠2-π$，该选项化简错误。
综上，只有A选项化简正确。
【答案】
A
【知识点】
平方根与立方根，算术平方根的性质，绝对值化简
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对实数相关运算性质的辨析，需要同学们准确区分平方根和算术平方根的差异，牢记立方根的符号规律，掌握绝对值的化简方法，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.8
9. 若$a^2=16,\sqrt[3]{b}=2$,则$a+b$的值为 （）
A.12
B.4
C.12或-4
D.12或4
A.12
B.4
C.12或-4
D.12或4
答案
D
解析
【分析】
解题时先分别求出a、b的取值，再计算a+b的所有可能结果即可。首先根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，可由$a^2=16$求出a的两个可能值；再根据立方根的性质，任意实数的立方根唯一，可由$\sqrt[3]{b}=2$求出b的唯一值；最后分两种情况计算a+b的结果，匹配对应选项。
【解析】
1. 求a的取值：
已知$a^2=16$，根据平方根的定义，平方等于16的数有两个，因此$a=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
2. 求b的取值：
已知$\sqrt[3]{b}=2$，对等式两边同时立方，可得$b=2^3=8$。
3. 计算a+b的所有可能值：
当$a=4$时，$a+b=4+8=12$；
当$a=-4$时，$a+b=-4+8=4$。
因此$a+b$的值为12或4。
【答案】
D
【知识点】
平方根的计算，立方根的计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查平方根和立方根的性质差异，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，漏算$a=-4$的情况，掌握平方根与立方根的区别即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先分别求出a、b的取值，再计算a+b的所有可能结果即可。首先根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，可由$a^2=16$求出a的两个可能值；再根据立方根的性质，任意实数的立方根唯一，可由$\sqrt[3]{b}=2$求出b的唯一值；最后分两种情况计算a+b的结果，匹配对应选项。
【解析】
1. 求a的取值：
已知$a^2=16$，根据平方根的定义，平方等于16的数有两个，因此$a=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
2. 求b的取值：
已知$\sqrt[3]{b}=2$，对等式两边同时立方，可得$b=2^3=8$。
3. 计算a+b的所有可能值：
当$a=4$时，$a+b=4+8=12$；
当$a=-4$时，$a+b=-4+8=4$。
因此$a+b$的值为12或4。
【答案】
D
【知识点】
平方根的计算，立方根的计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查平方根和立方根的性质差异，易错点是容易忽略正数的平方根有两个，漏算$a=-4$的情况，掌握平方根与立方根的区别即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
