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18. 如图,把两个面积均为$18\ \mathrm{cm}^2$的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片.
（1）大正方形纸片的边长为
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片,能否使裁剪出的长方形纸片的长与宽之比为$4:3$,且面积为$24\ \mathrm{cm}^2$? 若能,求剪出的长方形纸片的长和宽;若不能,试说明理由.
（1）大正方形纸片的边长为
6
$\mathrm{cm}$.（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片,能否使裁剪出的长方形纸片的长与宽之比为$4:3$,且面积为$24\ \mathrm{cm}^2$? 若能,求剪出的长方形纸片的长和宽;若不能,试说明理由.
答案
18. (1) 6
(2) 能裁剪出.$\because$ 长方形纸片的长与宽之比为$4:3$，$\therefore$ 设长方形纸片的长和宽分别是$4x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$. $\therefore 3x·4x=24$. $\therefore x^2=2$. $\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{2}$. $\therefore$ 长方形纸片的长是$4x=4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$，长方形纸片的宽是$3x=3\sqrt{2}(\mathrm{cm})$. $\because 4\sqrt{2}＜6$，$\therefore$ 能裁剪出，剪出的长方形纸片的长是$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽是$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
(2) 能裁剪出.$\because$ 长方形纸片的长与宽之比为$4:3$，$\therefore$ 设长方形纸片的长和宽分别是$4x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$. $\therefore 3x·4x=24$. $\therefore x^2=2$. $\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{2}$. $\therefore$ 长方形纸片的长是$4x=4\sqrt{2}(\mathrm{cm})$，长方形纸片的宽是$3x=3\sqrt{2}(\mathrm{cm})$. $\because 4\sqrt{2}＜6$，$\therefore$ 能裁剪出，剪出的长方形纸片的长是$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽是$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
（1）求大正方形的边长需先求其面积：拼接前后总面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，再根据正方形边长是其面积的算术平方根即可求出结果。
（2）判断能否剪出符合要求的长方形，可先假设能剪出，结合长宽比设未知数，根据长方形面积公式列方程求出长和宽，再将长方形的长与大正方形的边长比较，若长小于等于大正方形边长则可剪出，反之则不能。
【解析】
（1）两个小正方形的总面积为 $18×2=36\ \mathrm{cm}^2$，即大正方形的面积为 $36\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$），由正方形面积公式$S=a^2$可得：$a=\sqrt{36}=6$，即大正方形边长为$6\ \mathrm{cm}$。
（2）能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
已知长方形长宽比为$4:3$，设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
根据长方形面积公式列方程：$4x·3x=24$，
整理得$12x^2=24$，即$x^2=2$，
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{2}$。
因此长方形的长为$4x=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽为$3x=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
比较长与大正方形边长：$(4\sqrt{2})^2=32$，$6^2=36$，因为$32＜36$，所以$4\sqrt{2}＜6$，即长方形的长小于大正方形的边长，故可以裁剪出。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6}$
（2）能，剪出的长方形纸片的长为$\boldsymbol{4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}}$，宽为$\boldsymbol{3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
算术平方根的应用，面积公式的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合图形拼接场景考查相关代数知识的实际应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变求出大正方形边长，再通过设参计算、大小比较判断裁剪可行性，注重对学生逻辑推理和解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求大正方形的边长需先求其面积：拼接前后总面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，再根据正方形边长是其面积的算术平方根即可求出结果。
（2）判断能否剪出符合要求的长方形，可先假设能剪出，结合长宽比设未知数，根据长方形面积公式列方程求出长和宽，再将长方形的长与大正方形的边长比较，若长小于等于大正方形边长则可剪出，反之则不能。
【解析】
（1）两个小正方形的总面积为 $18×2=36\ \mathrm{cm}^2$，即大正方形的面积为 $36\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$），由正方形面积公式$S=a^2$可得：$a=\sqrt{36}=6$，即大正方形边长为$6\ \mathrm{cm}$。
（2）能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
已知长方形长宽比为$4:3$，设长方形的长为$4x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$）。
根据长方形面积公式列方程：$4x·3x=24$，
整理得$12x^2=24$，即$x^2=2$，
因为$x＞0$，所以$x=\sqrt{2}$。
因此长方形的长为$4x=4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，宽为$3x=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
比较长与大正方形边长：$(4\sqrt{2})^2=32$，$6^2=36$，因为$32＜36$，所以$4\sqrt{2}＜6$，即长方形的长小于大正方形的边长，故可以裁剪出。
【答案】
（1）$\boldsymbol{6}$
（2）能，剪出的长方形纸片的长为$\boldsymbol{4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}}$，宽为$\boldsymbol{3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
算术平方根的应用，面积公式的应用，实数大小比较
【点评】
本题结合图形拼接场景考查相关代数知识的实际应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变求出大正方形边长，再通过设参计算、大小比较判断裁剪可行性，注重对学生逻辑推理和解决实际问题能力的考查。
【难度系数】
0.7
1.（浙江中考）－8的立方根是 【 】
A.－2
B.2
C.$\pm 2$
D.不存在
A.－2
B.2
C.$\pm 2$
D.不存在
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求是计算-8的立方根，第一步先回忆立方根的相关概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；同时回忆立方根的性质：任意实数都有且只有1个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。根据性质可先排除错误选项：负数有立方根，排除D；负数的立方根是负数，排除代表正数的B选项；立方根只有1个，排除带±的C选项。最后验证哪个负数的立方等于-8即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，因此-8的立方根是-2。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根与平方根的差异，注意负数没有平方根，但存在唯一的负立方根，不要混淆两者的运算结果特征。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目要求是计算-8的立方根，第一步先回忆立方根的相关概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；同时回忆立方根的性质：任意实数都有且只有1个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。根据性质可先排除错误选项：负数有立方根，排除D；负数的立方根是负数，排除代表正数的B选项；立方根只有1个，排除带±的C选项。最后验证哪个负数的立方等于-8即可得到答案。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。
计算可得：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，因此-8的立方根是-2。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根与平方根的差异，注意负数没有平方根，但存在唯一的负立方根，不要混淆两者的运算结果特征。
【难度系数】
0.9
2. 体积为9的立方体的棱长为 【 】
A.$\sqrt[3]{9}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.3
A.$\sqrt[3]{9}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.3
答案
A
解析
【分析】
解题首先要明确立方体的体积计算公式：立方体的体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，本质就是求体积数的正立方根（因为棱长为正数）。首先根据公式列出等式，再结合立方根的定义求出棱长，最后匹配对应选项即可。
【解析】
设立方体的棱长为$a$，根据立方体体积公式可得：
$V = a^3$
已知体积$V=9$，代入得：
$a^3 = 9$
因为棱长$a$为正数，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，因此：
$a = \sqrt[3]{9}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方体体积计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察立方根的实际应用，只要熟练掌握立方体体积公式和立方根的定义，就能快速得出正确结果，是对基础知识点掌握情况的常规考察。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确立方体的体积计算公式：立方体的体积等于棱长的三次方。已知体积求棱长，本质就是求体积数的正立方根（因为棱长为正数）。首先根据公式列出等式，再结合立方根的定义求出棱长，最后匹配对应选项即可。
【解析】
设立方体的棱长为$a$，根据立方体体积公式可得：
$V = a^3$
已知体积$V=9$，代入得：
$a^3 = 9$
因为棱长$a$为正数，根据立方根的定义，正数的立方根是正数，因此：
$a = \sqrt[3]{9}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的定义；立方体体积计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察立方根的实际应用，只要熟练掌握立方体体积公式和立方根的定义，就能快速得出正确结果，是对基础知识点掌握情况的常规考察。
【难度系数】
0.9
3. 下列语句中，正确的是
【 】
A.$(-1)^2$的立方根是$-1$
B.$-3$是27的负的立方根
C.$\dfrac{125}{216}$的立方根是$\pm\dfrac{5}{6}$
D.$\sqrt{64}$的立方根是2
【 】
A.$(-1)^2$的立方根是$-1$
B.$-3$是27的负的立方根
C.$\dfrac{125}{216}$的立方根是$\pm\dfrac{5}{6}$
D.$\sqrt{64}$的立方根是2
答案
D
解析
【分析】
这道题考查立方根的相关性质，解题时先回忆立方根的定义和性质：任意实数都只有1个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。我们只需逐一验证每个选项的表述是否符合立方根的性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算$(-1)^2=1$，1的立方根为$\sqrt[3]{1}=1$，不是-1，故A错误；
B选项：根据立方根定义，$3^3=27$，因此27的立方根是3，正数只有正的立方根，-3是-27的立方根，故B错误；
C选项：任意数的立方根只有1个，正数的立方根是正数，$\frac{125}{216}$的立方根是$\sqrt[3]{\frac{125}{216}}=\frac{5}{6}$，不存在负的立方根，故C错误；
D选项：先计算$\sqrt{64}=8$，再计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是区分立方根和平方根的性质差异，不要混淆正数的立方根和平方根的个数，计算时要先化简题目中的乘方、开方运算，再判断表述是否正确。
【难度系数】
0.8
这道题考查立方根的相关性质，解题时先回忆立方根的定义和性质：任意实数都只有1个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。我们只需逐一验证每个选项的表述是否符合立方根的性质，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算$(-1)^2=1$，1的立方根为$\sqrt[3]{1}=1$，不是-1，故A错误；
B选项：根据立方根定义，$3^3=27$，因此27的立方根是3，正数只有正的立方根，-3是-27的立方根，故B错误；
C选项：任意数的立方根只有1个，正数的立方根是正数，$\frac{125}{216}$的立方根是$\sqrt[3]{\frac{125}{216}}=\frac{5}{6}$，不存在负的立方根，故C错误；
D选项：先计算$\sqrt{64}=8$，再计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是区分立方根和平方根的性质差异，不要混淆正数的立方根和平方根的个数，计算时要先化简题目中的乘方、开方运算，再判断表述是否正确。
【难度系数】
0.8
4. 如图,数轴上表示$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}$的点一定在 【 】
A.①段
B.②段
C.③段
D.④段
A.①段
B.②段
C.③段
D.④段
答案
C
解析
【分析】
解题时首先需要先化简算式$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}$，根据立方根的定义分别计算两个立方根的值，再求和得到具体数值，最后将所得数值与数轴上各段的范围进行比对，即可确定对应区间。
【解析】
第一步：计算立方根：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
第二步：计算算式的结果：
$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}=3+(-2)=1$；
第三步：对比数轴区间：
观察数轴可知，①段范围是$-2.1∼-1.1$，②段范围是$-1.1∼0.8$，③段范围是$0.8∼1.8$，④段范围是$1.8∼2.6$，$1$在$0.8$和$1.8$之间，因此该点在③段。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算；有理数加法运算；数轴的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查立方根的基本运算和数轴上数的区间判断，只要熟练掌握立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数）即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要先化简算式$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}$，根据立方根的定义分别计算两个立方根的值，再求和得到具体数值，最后将所得数值与数轴上各段的范围进行比对，即可确定对应区间。
【解析】
第一步：计算立方根：
因为$3^3=27$，所以$\sqrt[3]{27}=3$；
因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
第二步：计算算式的结果：
$\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-8}=3+(-2)=1$；
第三步：对比数轴区间：
观察数轴可知，①段范围是$-2.1∼-1.1$，②段范围是$-1.1∼0.8$，③段范围是$0.8∼1.8$，④段范围是$1.8∼2.6$，$1$在$0.8$和$1.8$之间，因此该点在③段。
【答案】
C
【知识点】
立方根的计算；有理数加法运算；数轴的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查立方根的基本运算和数轴上数的区间判断，只要熟练掌握立方根的性质（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数）即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 利用计算器计算：$\sqrt{18} + \sqrt[3]{6} \approx$
6.06
.(精确到0.01)答案
5. 6.06
解析
【分析】
本题需要计算算术平方根与立方根的和并精确到0.01，解题思路如下：首先明确要分别计算两个无理数的近似值，为了保证最终结果的精度，计算过程中需要保留比要求精度多一位的小数（即精确到0.001），再将两个近似值相加，最后按照四舍五入规则将结果保留到百分位即可。
【解析】
步骤1：用计算器计算$\sqrt{18}$的近似值，保留三位小数：
$\sqrt{18} \approx 4.243$
步骤2：用计算器计算$\sqrt[3]{6}$的近似值，保留三位小数：
$\sqrt[3]{6} \approx 1.817$
步骤3：计算两者的和，再四舍五入精确到0.01：
$4.243 + 1.817 = 6.06$（或直接计算得$\sqrt{18}+\sqrt[3]{6}\approx6.0597$，四舍五入后为6.06）
【答案】
6.06
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；近似数处理
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查计算器开方功能的使用和近似数的精确规则，解题时注意中间计算过程保留的小数位数要比最终要求的精度多一位，可减少四舍五入带来的误差。
【难度系数】
0.9
本题需要计算算术平方根与立方根的和并精确到0.01，解题思路如下：首先明确要分别计算两个无理数的近似值，为了保证最终结果的精度，计算过程中需要保留比要求精度多一位的小数（即精确到0.001），再将两个近似值相加，最后按照四舍五入规则将结果保留到百分位即可。
【解析】
步骤1：用计算器计算$\sqrt{18}$的近似值，保留三位小数：
$\sqrt{18} \approx 4.243$
步骤2：用计算器计算$\sqrt[3]{6}$的近似值，保留三位小数：
$\sqrt[3]{6} \approx 1.817$
步骤3：计算两者的和，再四舍五入精确到0.01：
$4.243 + 1.817 = 6.06$（或直接计算得$\sqrt{18}+\sqrt[3]{6}\approx6.0597$，四舍五入后为6.06）
【答案】
6.06
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；近似数处理
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查计算器开方功能的使用和近似数的精确规则，解题时注意中间计算过程保留的小数位数要比最终要求的精度多一位，可减少四舍五入带来的误差。
【难度系数】
0.9
6. $-8$的立方根与$4$的算术平方根的积为________.
答案
6. -4
解析
【分析】
解决这道题需要分三步思考：第一步，回忆立方根的定义，求出-8的立方根；第二步，回忆算术平方根的定义，明确算术平方根是非负的，求出4的算术平方根；第三步，将两个结果相乘得到最终的积，解题时要注意区分算术平方根和平方根，避免把4的算术平方根错算成±2。
【解析】
1. 计算-8的立方根：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
2. 计算4的算术平方根：根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根叫做它的算术平方根。因为$2^2=4$，所以4的算术平方根$\sqrt{4}=2$。
3. 计算两者的乘积：$(-2) × 2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的计算，有理数乘法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确掌握立方根和算术平方根的定义，尤其要注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆，只要概念清晰、计算时注意符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要分三步思考：第一步，回忆立方根的定义，求出-8的立方根；第二步，回忆算术平方根的定义，明确算术平方根是非负的，求出4的算术平方根；第三步，将两个结果相乘得到最终的积，解题时要注意区分算术平方根和平方根，避免把4的算术平方根错算成±2。
【解析】
1. 计算-8的立方根：根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根。因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$。
2. 计算4的算术平方根：根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根叫做它的算术平方根。因为$2^2=4$，所以4的算术平方根$\sqrt{4}=2$。
3. 计算两者的乘积：$(-2) × 2 = -4$。
【答案】
-4
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的计算，有理数乘法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确掌握立方根和算术平方根的定义，尤其要注意算术平方根的结果为非负数，不要和平方根的概念混淆，只要概念清晰、计算时注意符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
