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1.如图,已知线段AB和CD的公共部分为BD,且$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$,线段AB,CD的中点E,F间的距离是10,求AB,CD的长.
答案
1. 解:设 $BD=x$,则 $AB=3x,CD=4x$.
所以 $AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$.
因为 E,F 分别为 AB,CD 的中点,
所以 $AE=\frac{1}{2}AB=1.5x,CF=\frac{1}{2}CD=2x$,
所以 $EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x$.
又因为 $EF=10$,
所以 $2.5x=10$. 解得 $x=4$.
所以 $AB=3x=12,CD=4x=16$.
所以 $AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$.
因为 E,F 分别为 AB,CD 的中点,
所以 $AE=\frac{1}{2}AB=1.5x,CF=\frac{1}{2}CD=2x$,
所以 $EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x$.
又因为 $EF=10$,
所以 $2.5x=10$. 解得 $x=4$.
所以 $AB=3x=12,CD=4x=16$.
解析
【分析】
本题给出了公共线段BD与AB、CD的比例关系，解题时可采用设参数的方法简化计算：首先将BD设为未知数x，根据比例关系用含x的式子表示AB、CD的长度，再结合线段和差关系求出总线段AC的长度；接着利用线段中点的性质，表示出AE、CF的长度，进而推导出EF与x的数量关系；最后结合EF=10的已知条件列方程求解x，即可得出AB、CD的长度。
【解析】
解：设 $BD=x$，由 $BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$ 可得：$AB=3x$，$CD=4x$。
因此总线段长度 $AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$。
因为E、F分别为AB、CD的中点，根据线段中点的性质：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4x=2x$。
观察线段关系可得 $EF=AC-AE-CF$，代入得：
$EF=6x-1.5x-2x=2.5x$。
已知$EF=10$，因此列方程：$2.5x=10$，解得$x=4$。
所以$AB=3x=3×4=12$，$CD=4x=4×4=16$。
【答案】
$AB=12$，$CD=16$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、方程思想的应用
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，核心是通过设参数将比例关系转化为可计算的代数式，结合线段中点性质和和差关系建立方程求解，能有效帮助学生掌握数形结合思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题给出了公共线段BD与AB、CD的比例关系，解题时可采用设参数的方法简化计算：首先将BD设为未知数x，根据比例关系用含x的式子表示AB、CD的长度，再结合线段和差关系求出总线段AC的长度；接着利用线段中点的性质，表示出AE、CF的长度，进而推导出EF与x的数量关系；最后结合EF=10的已知条件列方程求解x，即可得出AB、CD的长度。
【解析】
解：设 $BD=x$，由 $BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{4}CD$ 可得：$AB=3x$，$CD=4x$。
因此总线段长度 $AC=AB+CD-BD=3x+4x-x=6x$。
因为E、F分别为AB、CD的中点，根据线段中点的性质：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×4x=2x$。
观察线段关系可得 $EF=AC-AE-CF$，代入得：
$EF=6x-1.5x-2x=2.5x$。
已知$EF=10$，因此列方程：$2.5x=10$，解得$x=4$。
所以$AB=3x=3×4=12$，$CD=4x=4×4=16$。
【答案】
$AB=12$，$CD=16$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、方程思想的应用
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，核心是通过设参数将比例关系转化为可计算的代数式，结合线段中点性质和和差关系建立方程求解，能有效帮助学生掌握数形结合思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
2.如图，N为线段AC的中点，M，B分别为线段AN，NC上的点，且满足$AM:MB:BC=1:4:3$。
(1)若$AN=12$，求$AM$的长；
(2)若$NB=4$，求$AC$的长。
(1)若$AN=12$，求$AM$的长；
(2)若$NB=4$，求$AC$的长。
答案
2. 解:设 $AM=x$. 因为 $AM:MB:BC=1:4:3$,所以 $MB=4x,BC=3x$.
(1) 因为 $AN=12,N$ 为线段 $AC$ 的中点,
所以 $AC=2AN=24$,
即 $AM+MB+BC=24$.
所以 $x+4x+3x=24$. 解得 $x=3$.
所以 $AM$ 的长为 3.
(2) 因为 $NB=AB-AN=AM+MB-\frac{1}{2}AC=AM+MB-\frac{1}{2}(AM+MB+BC)$,
所以 $4=x+4x-\frac{1}{2}(x+4x+3x)$.
解得 $x=4$.
所以 $AC=8x=32$,即 $AC$ 的长为 32.
(1) 因为 $AN=12,N$ 为线段 $AC$ 的中点,
所以 $AC=2AN=24$,
即 $AM+MB+BC=24$.
所以 $x+4x+3x=24$. 解得 $x=3$.
所以 $AM$ 的长为 3.
(2) 因为 $NB=AB-AN=AM+MB-\frac{1}{2}AC=AM+MB-\frac{1}{2}(AM+MB+BC)$,
所以 $4=x+4x-\frac{1}{2}(x+4x+3x)$.
解得 $x=4$.
所以 $AC=8x=32$,即 $AC$ 的长为 32.
解析
【分析】
题目给出了线段的比例关系，可采用设参数的方法，将比例中每一份的长度设为x，分别表示出AM、MB、BC的长度。对于（1），已知AN的长度，结合N是AC中点的性质，先求出AC的总长度，再根据AC等于AM、MB、BC三段的和列方程求解x，即可得到AM的长度；对于（2），先将NB用含x的式子表示，结合NB的已知长度列方程求出x，再计算AC的总长即可。
【解析】
设$AM=x$，由$AM:MB:BC=1:4:3$，可得$MB=4x$，$BC=3x$。
(1) 因为N为线段AC的中点，$AN=12$，
所以$AC=2AN=2×12=24$。
又因为$AC=AM+MB+BC$，代入得：
$x+4x+3x=24$
合并同类项得$8x=24$，解得$x=3$。
(2) 因为N是AC中点，所以$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AM+MB+BC)$，
而$NB=AB-AN=(AM+MB)-AN$，代入$NB=4$和各段含x的表达式：
$4=x+4x-\frac{1}{2}(x+4x+3x)$
化简得$4=5x-4x$，解得$x=4$。
则$AC=x+4x+3x=8x=8×4=32$。
【答案】
(1) $AM$的长为3；(2) $AC$的长为32。
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设参数将比例关系转化为代数式，结合线段中点性质与和差关系列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握这类方法能快速解决同类型的线段长度求解问题。
【难度系数】
0.8
题目给出了线段的比例关系，可采用设参数的方法，将比例中每一份的长度设为x，分别表示出AM、MB、BC的长度。对于（1），已知AN的长度，结合N是AC中点的性质，先求出AC的总长度，再根据AC等于AM、MB、BC三段的和列方程求解x，即可得到AM的长度；对于（2），先将NB用含x的式子表示，结合NB的已知长度列方程求出x，再计算AC的总长即可。
【解析】
设$AM=x$，由$AM:MB:BC=1:4:3$，可得$MB=4x$，$BC=3x$。
(1) 因为N为线段AC的中点，$AN=12$，
所以$AC=2AN=2×12=24$。
又因为$AC=AM+MB+BC$，代入得：
$x+4x+3x=24$
合并同类项得$8x=24$，解得$x=3$。
(2) 因为N是AC中点，所以$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AM+MB+BC)$，
而$NB=AB-AN=(AM+MB)-AN$，代入$NB=4$和各段含x的表达式：
$4=x+4x-\frac{1}{2}(x+4x+3x)$
化简得$4=5x-4x$，解得$x=4$。
则$AC=x+4x+3x=8x=8×4=32$。
【答案】
(1) $AM$的长为3；(2) $AC$的长为32。
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；比例线段应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，通过设参数将比例关系转化为代数式，结合线段中点性质与和差关系列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，掌握这类方法能快速解决同类型的线段长度求解问题。
【难度系数】
0.8
3.已知点C在线段AB上，AC=2BC，AB=48.点D,E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=16，线段DE在线段AB上移动.
(1)如图1，当E为BC的中点时，求AD的长；
(2)如图2，当AD=5CE时，求BE的长.
(1)如图1，当E为BC的中点时，求AD的长；
(2)如图2，当AD=5CE时，求BE的长.
答案
3. 解:因为 $AC=2BC,AB=48$,
所以 $BC=16,AC=32$.
(1) 因为 $E$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=8$.
因为 $DE=16$,
所以 $AD=AB-BE-DE=48-8-16=24$.
(2) 因为 $AC=32,DE=16$,
所以 $DC=AC-AD=32-AD$,
$DC=DE-CE=16-CE$.
所以 $32-AD=16-CE$.
又 $AD=5CE$,
所以 $32-5CE=16-CE$. 所以 $CE=4$.
所以 $BE=BC-CE=16-4=12$.
所以 $BC=16,AC=32$.
(1) 因为 $E$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $BE=\frac{1}{2}BC=8$.
因为 $DE=16$,
所以 $AD=AB-BE-DE=48-8-16=24$.
(2) 因为 $AC=32,DE=16$,
所以 $DC=AC-AD=32-AD$,
$DC=DE-CE=16-CE$.
所以 $32-AD=16-CE$.
又 $AD=5CE$,
所以 $32-5CE=16-CE$. 所以 $CE=4$.
所以 $BE=BC-CE=16-4=12$.
解析
【分析】
解题首先需要根据线段AC与BC的倍数关系及AB的总长度，先求出AC、BC的长度，这是解决两个小问的基础。
(1) 第一问已知E是BC的中点，先利用中点的性质求出BE的长度，再根据线段AB的总长度等于AD、DE、BE三段的和，代入已知数值即可求出AD的长。
(2) 第二问观察线段DC，它既可以表示为AC减去AD，也可以表示为DE减去CE，据此建立关于AD和CE的等量关系，再结合AD=5CE的已知条件，代入后先求出CE的长度，最后用BC的长度减去CE的长度就能得到BE的长。
【解析】
首先根据已知条件计算基础线段长度：
∵ $AC=2BC$，$AB=AC+BC=48$，
∴ $2BC+BC=48$，解得$BC=16$，$AC=2×16=32$。
(1)
∵ E为BC的中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$，
又
∵ $AB=AD+DE+BE$，$DE=16$，$AB=48$，
∴ $AD=AB-DE-BE=48-16-8=24$。
(2) 观察线段DC可得：
$DC=AC-AD=32-AD$，
同时$DC=DE-CE=16-CE$，
∴ $32-AD=16-CE$，
又
∵ $AD=5CE$，将其代入上式得：
$32-5CE=16-CE$，
移项合并得：$4CE=16$，解得$CE=4$，
∵ E在C的右侧，
∴ $BE=BC-CE=16-4=12$。
【答案】
(1) $AD=24$；
(2) $BE=12$。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题的核心是先求出AC、BC这两条基础线段的长度，再结合图形分析各线段之间的和差关系。第二问通过找到同一条线段的两种不同表达形式建立等量关系，是求解的关键，解题时注意结合线段的位置关系避免列式错误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要根据线段AC与BC的倍数关系及AB的总长度，先求出AC、BC的长度，这是解决两个小问的基础。
(1) 第一问已知E是BC的中点，先利用中点的性质求出BE的长度，再根据线段AB的总长度等于AD、DE、BE三段的和，代入已知数值即可求出AD的长。
(2) 第二问观察线段DC，它既可以表示为AC减去AD，也可以表示为DE减去CE，据此建立关于AD和CE的等量关系，再结合AD=5CE的已知条件，代入后先求出CE的长度，最后用BC的长度减去CE的长度就能得到BE的长。
【解析】
首先根据已知条件计算基础线段长度：
∵ $AC=2BC$，$AB=AC+BC=48$，
∴ $2BC+BC=48$，解得$BC=16$，$AC=2×16=32$。
(1)
∵ E为BC的中点，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$，
又
∵ $AB=AD+DE+BE$，$DE=16$，$AB=48$，
∴ $AD=AB-DE-BE=48-16-8=24$。
(2) 观察线段DC可得：
$DC=AC-AD=32-AD$，
同时$DC=DE-CE=16-CE$，
∴ $32-AD=16-CE$，
又
∵ $AD=5CE$，将其代入上式得：
$32-5CE=16-CE$，
移项合并得：$4CE=16$，解得$CE=4$，
∵ E在C的右侧，
∴ $BE=BC-CE=16-4=12$。
【答案】
(1) $AD=24$；
(2) $BE=12$。
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的性质、方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的常规题型，解题的核心是先求出AC、BC这两条基础线段的长度，再结合图形分析各线段之间的和差关系。第二问通过找到同一条线段的两种不同表达形式建立等量关系，是求解的关键，解题时注意结合线段的位置关系避免列式错误。
【难度系数】
0.7
