10.(方程思想)如图,已知B,C两点把线段AD分成三部分,且AB:BC:CD=2:5:3,M为AD的中点,BM=6 cm,求CM和AD的长.

解: 设 $AB=2x\ \mathrm{cm},BC=5x\ \mathrm{cm},CD=3x\ \mathrm{cm}$，所以 $AD=AB+BC+CD=10x(\mathrm{cm})$。因为 M 是 AD 的中点，所以 $AM=MD=5x\ \mathrm{cm}$。所以 $BM=AM-AB=5x-2x=3x(\mathrm{cm})$。因为 $BM=6\ \mathrm{cm}$，所以 $3x=6$,解得 $x=2$。故 $CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4(\mathrm{cm})$,$AD=10x=10×2=20(\mathrm{cm})$。

【分析】
遇到给出线段长度比例的计算问题，我们可以先设每份长度为参数x，把各段线段都用含x的代数式表示；再结合M是AD中点的条件，利用线段中点的性质得到AM、MD的表达式；接着根据已知BM的长度，找到BM和x的等量关系列方程，求出x的取值后，就能进一步计算CM和AD的长度。
【解析】
设 $AB=2x\ \mathrm{cm},BC=5x\ \mathrm{cm},CD=3x\ \mathrm{cm}$，
则 $AD=AB+BC+CD=2x+5x+3x=10x(\mathrm{cm})$。
因为 M 是 AD 的中点，所以 $AM=MD=\frac{1}{2}AD=5x\ \mathrm{cm}$。
因此 $BM=AM-AB=5x-2x=3x(\mathrm{cm})$。
已知 $BM=6\ \mathrm{cm}$，所以 $3x=6$，解得 $x=2$。
那么 $CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4(\mathrm{cm})$，
$AD=10x=10×2=20(\mathrm{cm})$。
【答案】
$CM=4\ \mathrm{cm}$，$AD=20\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差运算，线段中点性质，比例线段计算
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，将比例设参数的方法和线段中点的性质结合，通过列方程求解未知量，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，掌握此类方法可以高效解决同类型线段长度计算问题。
【难度系数】
0.7

11.如图,将一根绳子对折以后用线段AB表示,现从点P处将绳子剪断,剪断后的各段绳子中最长的一段为12 cm.若AP:PB=1:3,则这根绳子原来的长度为cm.

11. 16或32

【分析】
解题时首先明确：将绳子对折后用AB表示，说明原绳长是AB长度的2倍，对折的折点可能是A端也可能是B端，因此需要分两种情况讨论。我们先根据AP:PB=1:3设每份长度为x，表示出AP、PB、AB的长度，再分别分析两种对折情况剪断后的最长段，结合最长段为12cm列方程求解即可。
【解析】
设AP的长度为x cm，由AP:PB=1:3可得PB=3x cm，因此对折后线段AB的长度为AP+PB=x+3x=4x cm，原绳总长度为2AB=8x cm，分两种情况讨论：
1. 若对折点为A端（绳子的两个自由端都在B处）：从P处剪断后，得到的三段绳子长度分别为PB=3x cm、2AP=2x cm、PB=3x cm，此时最长段长度为3x cm。
由题意得3x=12，解得x=4，原绳长8x=8×4=32 cm。
2. 若对折点为B端（绳子的两个自由端都在A处）：从P处剪断后，得到的三段绳子长度分别为AP=x cm、2PB=6x cm、AP=x cm，此时最长段长度为6x cm。
由题意得6x=12，解得x=2，原绳长8x=8×2=16 cm。
综上，绳子原来的长度为16 cm或32 cm。
【答案】
16或32
【知识点】
线段比例计算；分类讨论思想；线段和差运算
【点评】
本题是易错题，容易因忽略对折点的两种可能性导致漏解，解题时可结合实际操作感知对折剪断后的线段构成，培养全面考虑问题的习惯。
【难度系数】
0.6

12.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2 cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD=10 cm，设点B运动的时间为t s.

(1)当t=2时，
①AB= cm；
②求线段CD的长度.
(2)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由.

12. 解:(1)①4 ②因为 $AD=10\ \mathrm{cm}$,$AB=4\ \mathrm{cm}$，所以 $BD=6\ \mathrm{cm}$。因为 C 是线段 BD 的中点，所以 $CD=3\ \mathrm{cm}$。(2)EC 的长不变。因为 AB 的中点为 E,C 是线段 BD 的中点，所以 $EB=\frac{1}{2}AB,BC=\frac{1}{2}BD$。所以 $EC=EB+BC=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AB+BD)=\frac{1}{2}AD=5(\mathrm{cm})$，即 EC 的长为 5 cm。

【分析】
对于(1)①，已知点B的运动速度和运动时间，根据“路程=速度×时间”即可直接求出AB的长度；对于(1)②，先利用线段的差求出BD的长度，再结合C是BD中点的性质，根据线段中点的定义，CD等于BD的一半，代入数值计算即可。对于(2)，判断线段长度是否变化，先将EC拆分为EB和BC的和，再结合E是AB中点、C是BD中点的性质，把EB和BC分别用AB、BD表示，提取公因式后即可发现EC等于AD的一半，AD是固定值，因此EC长度不变。
【解析】
(1)①已知点B的运动速度为2 cm/s，运动时间t=2 s，因此$\boldsymbol{AB=2×2=4\ \mathrm{cm}}$。
②已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$BD=AD-AB=10-4=6\ \mathrm{cm}$
因为C是线段BD的中点，根据线段中点的定义：
$CD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
(2)EC的长不变，推导如下：
因为E是AB的中点，C是BD的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB$，$BC=\frac{1}{2}BD$。
根据线段和差关系$EC=EB+BC$，代入得：
$EC=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AB+BD)$
又因为$AB+BD=AD=10\ \mathrm{cm}$，因此$EC=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，即EC的长恒为5 cm，不随点B的运动发生变化。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{4}$；②$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$；(2)EC的长不变，为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；线段定值问题
【点评】
本题是线段运算的典型题型，既考查了基础的线段和差、中点性质的应用，也涉及了动点下的定值判断，解题的关键是学会将所求线段拆分为若干条线段的和或差，结合中点性质进行转化，即可快速求解。
【难度系数】
0.75