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4. 如图,点 C 在线段 AB 上,$AC=12$,$BC=8$,$M$,$N$ 分别为 $AC$,$BC$ 的中点,求线段 $MN$ 的长度.
解:因为 $M$ 为 $AC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$.
因为 $N$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$.
所以 $MN=MC+CN=6+4=10$.
(1)根据上面的计算过程和结果,设 $AC+BC=a$,其他条件不变,你能猜想出 $MN$ 的长度吗?
(2)若把原题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,线段 $MN$ 的长度又如何?
解:因为 $M$ 为 $AC$ 的中点,
所以 $MC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$.
因为 $N$ 为 $BC$ 的中点,
所以 $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$.
所以 $MN=MC+CN=6+4=10$.
(1)根据上面的计算过程和结果,设 $AC+BC=a$,其他条件不变,你能猜想出 $MN$ 的长度吗?
(2)若把原题中的“点 C 在线段 AB 上”改为“点 C 在线段 AB 的延长线上”,线段 $MN$ 的长度又如何?
答案
4. 解:(1)$MN=\frac{1}{2}a$.
(2)如图,
因为 $M,N$ 分别为 $AC,BC$ 的中点,
所以 $CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$.
所以 $MN=CM-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC$
$=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}×(12-8)=2$.
解析
【分析】
(1) 沿用原题的推导逻辑：先根据线段中点的性质，分别表示出MC、CN是对应线段的一半，再观察MN等于MC与CN的和，提取公因式后即可得到MN和AC+BC的数量关系，代入AC+BC=a就能推出结果。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时，先明确线段位置关系：此时MN是CM与CN的差，同样先根据中点性质表示出CM和CN，再通过线段差的关系提取公因式，代入已知的AC、BC长度即可计算出MN的长度。
【解析】
(1) 因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为$AC+BC=a$，所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时：
因为M、N分别为AC、BC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
此时$MN=CM-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
代入$AC=12$，$BC=8$，得$MN=\frac{1}{2}×(12-8)=2$。
【答案】
(1)$MN=\frac{1}{2}a$；
(2)如图，，线段MN的长度为2。
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，通过改变点的位置考察对线段和、差关系的理解，结合中点性质即可推导结论，能帮助学生理解整体代入、分类讨论的数学思想，为后续复杂线段计算奠定基础。
【难度系数】
0.7
(1) 沿用原题的推导逻辑：先根据线段中点的性质，分别表示出MC、CN是对应线段的一半，再观察MN等于MC与CN的和，提取公因式后即可得到MN和AC+BC的数量关系，代入AC+BC=a就能推出结果。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时，先明确线段位置关系：此时MN是CM与CN的差，同样先根据中点性质表示出CM和CN，再通过线段差的关系提取公因式，代入已知的AC、BC长度即可计算出MN的长度。
【解析】
(1) 因为M是AC的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$；
因为N是BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC$；
因此$MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$，
又因为$AC+BC=a$，所以$MN=\frac{1}{2}a$。
(2) 当点C在线段AB的延长线上时：
因为M、N分别为AC、BC的中点，
所以$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$，
此时$MN=CM-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$，
代入$AC=12$，$BC=8$，得$MN=\frac{1}{2}×(12-8)=2$。
【答案】
(1)$MN=\frac{1}{2}a$；
(2)如图，
，线段MN的长度为2。【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的基础典型题，通过改变点的位置考察对线段和、差关系的理解，结合中点性质即可推导结论，能帮助学生理解整体代入、分类讨论的数学思想，为后续复杂线段计算奠定基础。
【难度系数】
0.7
5.已知线段$AB=4$，在直线$AB$上作线段$BC$，使得$BC=2$.若$D$是线段$AC$的中点，则线段$AD$的长为(
A.3
B.1
C.2或3
D.1或3
D
).A.3
B.1
C.2或3
D.1或3
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先注意题干中“在直线AB上作线段BC”的表述，直线没有端点，因此点C的位置不唯一，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。先分别计算两种情况下线段AC的长度，再根据线段中点的性质，AD的长度为AC的一半，最终综合两种情况得到AD的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
线段AC的长度为 $ AC = AB - BC = 4 - 2 = 2 $，
∵D是线段AC的中点，
∴ $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2 = 1 $；
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
线段AC的长度为 $ AC = AB + BC = 4 + 2 = 6 $，
∵D是线段AC的中点，
∴ $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3 $。
综上，线段AD的长为1或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段和差计算 2. 线段中点定义 3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略点C在直线上的两种位置，只计算单一情况导致错选，解题时要注意区分“直线”和“线段”的不同，遇到点的位置不确定的情况要主动分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先注意题干中“在直线AB上作线段BC”的表述，直线没有端点，因此点C的位置不唯一，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。先分别计算两种情况下线段AC的长度，再根据线段中点的性质，AD的长度为AC的一半，最终综合两种情况得到AD的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时：
线段AC的长度为 $ AC = AB - BC = 4 - 2 = 2 $，
∵D是线段AC的中点，
∴ $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2 = 1 $；
2. 当点C在线段AB的延长线上时：
线段AC的长度为 $ AC = AB + BC = 4 + 2 = 6 $，
∵D是线段AC的中点，
∴ $ AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3 $。
综上，线段AD的长为1或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段和差计算 2. 线段中点定义 3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略点C在直线上的两种位置，只计算单一情况导致错选，解题时要注意区分“直线”和“线段”的不同，遇到点的位置不确定的情况要主动分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.【理解新知】如图1，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB，AM和BM。若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”。
【初步应用】
(1)一条线段的中点
(2)如图2，若CD＝24 cm，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN的长为
【解决问题】
(3)如图3，已知AB＝24 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿线段AB向点B匀速移动，动点Q从点B出发，以3 cm/s的速度沿线段BA向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t s。当t为何值时，A，P，Q三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的“奇妙点”？
【初步应用】
(1)一条线段的中点
是
（填“是”或“不是”）这条线段的“奇妙点”。(2)如图2，若CD＝24 cm，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN的长为
8 cm 或 12 cm 或 16 cm
。【解决问题】
(3)如图3，已知AB＝24 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿线段AB向点B匀速移动，动点Q从点B出发，以3 cm/s的速度沿线段BA向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t s。当t为何值时，A，P，Q三点中的一点恰好是以另外两点为端点的线段的“奇妙点”？
答案
6. 解:(1)是
(2)因为点 N 是线段 CD 的“奇妙点”,所以根据定义,此题共分为三种情况:
当 $CN=\frac{CD}{2}$,即 N 为 CD 的中点时,
有 $CN=12\ \mathrm{cm}$;
当 $CN=\frac{DN}{2}$,即 N 为 CD 靠近点 C 的三等分点时,有 $CN=8\ \mathrm{cm}$;
当 $DN=\frac{CN}{2}$,即 N 为 CD 靠近点 D 的三等分点时,有 $CN=16\ \mathrm{cm}$.
综上所述,CN 的长为 8 cm 或 12 cm 或 16 cm.
故答案为:8 cm 或 12 cm 或 16 cm
(3)由题意可知,点 A 不可能是“奇妙点”,
故点 P 或点 Q 是“奇妙点”.
因为 $AB=24\ \mathrm{cm}$,
所以 t s 后,$AP=2t\ \mathrm{cm}(0≤ t≤ 8)$,$AQ=(24-3t)\mathrm{cm}(0≤ t≤ 8)$.
当点 P 是线段 AQ 的“奇妙点”时,
$PQ=AQ-AP=(24-5t)\mathrm{cm}$.
由“奇妙点”的定义可分三种情况:
当 $AP=\frac{AQ}{2}$ 时,有 $2t=\frac{24-3t}{2}$,解得 $t=\frac{24}{7}$;
当 $AP=\frac{PQ}{2}$ 时,有 $2t=\frac{24-5t}{2}$,解得 $t=\frac{8}{3}$;
当 $PQ=\frac{AP}{2}$ 时,有 $24-5t=\frac{2t}{2}$,解得 $t=4$.
当点 Q 是线段 AP 的“奇妙点”时,
$PQ=AP-AQ=(5t-24)\mathrm{cm}$.
由“奇妙点”的定义可分三种情况:
当 $AQ=\frac{AP}{2}$ 时,有 $24-3t=\frac{2t}{2}$,解得 $t=6$;
当 $AQ=\frac{PQ}{2}$ 时,有 $24-3t=\frac{5t-24}{2}$,解得 $t=\frac{72}{11}$;
当 $PQ=\frac{AQ}{2}$ 时,有 $5t-24=\frac{24-3t}{2}$,解得 $t=\frac{72}{13}$.
综上所述,当点 P 是线段 AQ 的“奇妙点”时,t 的值为 $\frac{24}{7}$ 或 $\frac{8}{3}$ 或 4;
当点 Q 是线段 AP 的“奇妙点”时,t 的值为 6 或 $\frac{72}{11}$ 或 $\frac{72}{13}$.
(2)因为点 N 是线段 CD 的“奇妙点”,所以根据定义,此题共分为三种情况:
当 $CN=\frac{CD}{2}$,即 N 为 CD 的中点时,
有 $CN=12\ \mathrm{cm}$;
当 $CN=\frac{DN}{2}$,即 N 为 CD 靠近点 C 的三等分点时,有 $CN=8\ \mathrm{cm}$;
当 $DN=\frac{CN}{2}$,即 N 为 CD 靠近点 D 的三等分点时,有 $CN=16\ \mathrm{cm}$.
综上所述,CN 的长为 8 cm 或 12 cm 或 16 cm.
故答案为:8 cm 或 12 cm 或 16 cm
(3)由题意可知,点 A 不可能是“奇妙点”,
故点 P 或点 Q 是“奇妙点”.
因为 $AB=24\ \mathrm{cm}$,
所以 t s 后,$AP=2t\ \mathrm{cm}(0≤ t≤ 8)$,$AQ=(24-3t)\mathrm{cm}(0≤ t≤ 8)$.
当点 P 是线段 AQ 的“奇妙点”时,
$PQ=AQ-AP=(24-5t)\mathrm{cm}$.
由“奇妙点”的定义可分三种情况:
当 $AP=\frac{AQ}{2}$ 时,有 $2t=\frac{24-3t}{2}$,解得 $t=\frac{24}{7}$;
当 $AP=\frac{PQ}{2}$ 时,有 $2t=\frac{24-5t}{2}$,解得 $t=\frac{8}{3}$;
当 $PQ=\frac{AP}{2}$ 时,有 $24-5t=\frac{2t}{2}$,解得 $t=4$.
当点 Q 是线段 AP 的“奇妙点”时,
$PQ=AP-AQ=(5t-24)\mathrm{cm}$.
由“奇妙点”的定义可分三种情况:
当 $AQ=\frac{AP}{2}$ 时,有 $24-3t=\frac{2t}{2}$,解得 $t=6$;
当 $AQ=\frac{PQ}{2}$ 时,有 $24-3t=\frac{5t-24}{2}$,解得 $t=\frac{72}{11}$;
当 $PQ=\frac{AQ}{2}$ 时,有 $5t-24=\frac{24-3t}{2}$,解得 $t=\frac{72}{13}$.
综上所述,当点 P 是线段 AQ 的“奇妙点”时,t 的值为 $\frac{24}{7}$ 或 $\frac{8}{3}$ 或 4;
当点 Q 是线段 AP 的“奇妙点”时,t 的值为 6 或 $\frac{72}{11}$ 或 $\frac{72}{13}$.
解析
【分析】
(1) 结合“奇妙点”的定义判断：线段中点将线段分为两条等长的小线段，原线段长度是每段小线段的2倍，符合“奇妙点”的判定条件。
(2) 点N是线段CD的“奇妙点”，需分三类讨论：①CN是CD的一半；②CN是DN的一半；③DN是CN的一半，结合CD的总长度分别计算CN即可。
(3) 首先确定运动时间t的取值范围：Q从B到A需24÷3=8s，P从A到B需24÷2=12s，因此t的取值范围为0≤t≤8；其次A是端点，不可能为“奇妙点”，因此分两类讨论：①点P是线段AQ的“奇妙点”，②点Q是线段AP的“奇妙点”，每类再按“奇妙点”的定义分三种情况列一元一次方程求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
(1) 若点是线段的中点，则线段总长=2×半长，满足“有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍”的条件，因此一条线段的中点是这条线段的“奇妙点”。
(2) 已知CD=24cm，点N是CD的“奇妙点”，分三种情况计算：
①当$CN=\frac{1}{2}CD$时，$CN=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$；
②当$CN=\frac{1}{2}DN$时，由$CN+DN=CD$得$CN+2CN=24$，解得$CN=8\ \mathrm{cm}$；
③当$DN=\frac{1}{2}CN$时，由$CN+DN=CD$得$CN+\frac{1}{2}CN=24$，解得$CN=16\ \mathrm{cm}$。
综上，CN的长为8 cm或12 cm或16 cm。
(3) 由题意得，运动t s后，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AB-BQ=(24-3t)\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤8$。
点A为端点，不可能为“奇妙点”，分两种大情况讨论：
情况一：点P是线段AQ的“奇妙点”，此时P在A、Q之间，$PQ=AQ-AP=24-5t\ \mathrm{cm}$，分三类：
①$AP=\frac{1}{2}AQ$：$2t=\frac{1}{2}(24-3t)$，解得$t=\frac{24}{7}$，符合取值范围；
②$AP=\frac{1}{2}PQ$：$2t=\frac{1}{2}(24-5t)$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合取值范围；
③$PQ=\frac{1}{2}AP$：$24-5t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=4$，符合取值范围。
情况二：点Q是线段AP的“奇妙点”，此时Q在A、P之间，$PQ=AP-AQ=5t-24\ \mathrm{cm}$，分三类：
①$AQ=\frac{1}{2}AP$：$24-3t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=6$，符合取值范围；
②$AQ=\frac{1}{2}PQ$：$24-3t=\frac{1}{2}(5t-24)$，解得$t=\frac{72}{11}$，符合取值范围；
③$PQ=\frac{1}{2}AQ$：$5t-24=\frac{1}{2}(24-3t)$，解得$t=\frac{72}{13}$，符合取值范围。
综上，t的取值为$\frac{8}{3}$、$\frac{24}{7}$、$4$、$\frac{72}{13}$、$6$、$\frac{72}{11}$。
【答案】
(1) 是
(2) 8 cm 或 12 cm 或 16 cm
(3) t的值为$\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$、$\frac{24}{7}\ \mathrm{s}$、$4\ \mathrm{s}$、$\frac{72}{13}\ \mathrm{s}$、$6\ \mathrm{s}$、$\frac{72}{11}\ \mathrm{s}$
【知识点】
线段和差计算，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“奇妙点”的定义，解题过程需要熟练运用分类讨论思想，做到不重不漏，同时要结合动点的运动范围验证解的合理性，能够较好地考查逻辑思维能力和运算能力。
【难度系数】
0.3
(1) 结合“奇妙点”的定义判断：线段中点将线段分为两条等长的小线段，原线段长度是每段小线段的2倍，符合“奇妙点”的判定条件。
(2) 点N是线段CD的“奇妙点”，需分三类讨论：①CN是CD的一半；②CN是DN的一半；③DN是CN的一半，结合CD的总长度分别计算CN即可。
(3) 首先确定运动时间t的取值范围：Q从B到A需24÷3=8s，P从A到B需24÷2=12s，因此t的取值范围为0≤t≤8；其次A是端点，不可能为“奇妙点”，因此分两类讨论：①点P是线段AQ的“奇妙点”，②点Q是线段AP的“奇妙点”，每类再按“奇妙点”的定义分三种情况列一元一次方程求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
(1) 若点是线段的中点，则线段总长=2×半长，满足“有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍”的条件，因此一条线段的中点是这条线段的“奇妙点”。
(2) 已知CD=24cm，点N是CD的“奇妙点”，分三种情况计算：
①当$CN=\frac{1}{2}CD$时，$CN=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$；
②当$CN=\frac{1}{2}DN$时，由$CN+DN=CD$得$CN+2CN=24$，解得$CN=8\ \mathrm{cm}$；
③当$DN=\frac{1}{2}CN$时，由$CN+DN=CD$得$CN+\frac{1}{2}CN=24$，解得$CN=16\ \mathrm{cm}$。
综上，CN的长为8 cm或12 cm或16 cm。
(3) 由题意得，运动t s后，$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=3t\ \mathrm{cm}$，因此$AQ=AB-BQ=(24-3t)\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤8$。
点A为端点，不可能为“奇妙点”，分两种大情况讨论：
情况一：点P是线段AQ的“奇妙点”，此时P在A、Q之间，$PQ=AQ-AP=24-5t\ \mathrm{cm}$，分三类：
①$AP=\frac{1}{2}AQ$：$2t=\frac{1}{2}(24-3t)$，解得$t=\frac{24}{7}$，符合取值范围；
②$AP=\frac{1}{2}PQ$：$2t=\frac{1}{2}(24-5t)$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合取值范围；
③$PQ=\frac{1}{2}AP$：$24-5t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=4$，符合取值范围。
情况二：点Q是线段AP的“奇妙点”，此时Q在A、P之间，$PQ=AP-AQ=5t-24\ \mathrm{cm}$，分三类：
①$AQ=\frac{1}{2}AP$：$24-3t=\frac{1}{2}×2t$，解得$t=6$，符合取值范围；
②$AQ=\frac{1}{2}PQ$：$24-3t=\frac{1}{2}(5t-24)$，解得$t=\frac{72}{11}$，符合取值范围；
③$PQ=\frac{1}{2}AQ$：$5t-24=\frac{1}{2}(24-3t)$，解得$t=\frac{72}{13}$，符合取值范围。
综上，t的取值为$\frac{8}{3}$、$\frac{24}{7}$、$4$、$\frac{72}{13}$、$6$、$\frac{72}{11}$。
【答案】
(1) 是
(2) 8 cm 或 12 cm 或 16 cm
(3) t的值为$\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$、$\frac{24}{7}\ \mathrm{s}$、$4\ \mathrm{s}$、$\frac{72}{13}\ \mathrm{s}$、$6\ \mathrm{s}$、$\frac{72}{11}\ \mathrm{s}$
【知识点】
线段和差计算，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“奇妙点”的定义，解题过程需要熟练运用分类讨论思想，做到不重不漏，同时要结合动点的运动范围验证解的合理性，能够较好地考查逻辑思维能力和运算能力。
【难度系数】
0.3
