7.元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的 （）

A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点
D.三边垂直平分线的交点

7.D

【分析】
解题的核心是明确题目需求：找到与△ABC三个顶点A、B、C距离相等的点。我们可以先逐一回忆每个选项对应的三角形特殊点的性质，再和题目要求匹配即可：首先明确线段垂直平分线的性质是“线上任意一点到线段两端点的距离相等”，再依次排查其余特殊点的性质是否符合题意。
【解析】
题目要求凳子的位置到A、B、C三名同学的位置（即△ABC的三个顶点）距离相等，我们逐个分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是分每条中线为2:1的两段，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三条边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此三角形三边垂直平分线的交点，到A、B、C三个顶点的距离都相等，完全符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形各类特殊点性质的区分和记忆，只要准确掌握各特殊点的相关性质就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8

8.如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$EF$垂直平分$AC$,交$AC$于点$F$,交$BC$于点$E$,且$BD=DE$,连结$AE$.
(1)求证:$AB=EC$.
(2)若$△ ABC$的周长为$32\mathrm{cm}$,$AC=12\mathrm{cm}$,求$DC$的长.

8.(1)
∵EF垂直平分AC,根据线段的垂直平分线的性质可得AE=EC,
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AB=AE,
∴AB=EC
(2)由题意可得AB+BC+AC=32cm,
∵AC=12cm,
∴AB+BC=20cm,
∵AB=EC,BD=DE,
∴DC=DE+EC=$\frac{1}{2}$BE+AB=$\frac{1}{2}$(BC-CE)+AB=$\frac{1}{2}$(AB+BC)=10cm

【分析】
(1) 要证明$AB=EC$，可通过中间线段$AE$进行等量代换：首先根据线段垂直平分线的性质，由$EF$垂直平分$AC$可得$AE=EC$；再结合$AD⊥ BC$且$BD=DE$，可知$AD$是线段$BE$的垂直平分线，可得$AB=AE$，通过等量代换即可证得结论。
(2) 已知$△ ABC$的周长和$AC$的长度，可先求出$AB+BC$的和；再结合第一问的结论$AB=EC$以及$BD=DE$，将$DC$拆分为$DE+EC$，通过线段和差关系代换，最终将$DC$转化为$\frac{1}{2}(AB+BC)$，代入数值即可求出$DC$的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF$垂直平分$AC$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AE=EC$，
$\because AD⊥ BC$，且$BD=DE$，即$AD$垂直平分线段$BE$，
$\therefore AB=AE$，
$\therefore AB=EC$。
(2) 解：
$\because △ ABC$的周长为$32\mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC+AC=32\mathrm{cm}$，
又$\because AC=12\mathrm{cm}$，
$\therefore AB+BC=32-12=20\mathrm{cm}$，
$\because BD=DE$，$AB=EC$，
$\therefore DC=DE+EC=\frac{1}{2}BE+AB$，
又$\because BE=BC-EC=BC-AB$，
$\therefore DC=\frac{1}{2}(BC-AB)+AB=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×20=10\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AB=EC$得证；
(2) $DC$的长为$10\mathrm{cm}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题侧重考察线段垂直平分线性质的应用，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再通过线段和差关系及等量代换完成求解，属于几何基础常规题型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.7

9. 如图1,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.
【性质探究】
(1)如图1,连结筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,试探究筝形ABCD的性质,并填空.
对角线AC,BD的位置关系是:;AO与CO的数量关系是:.
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.

(2)①如图2,从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线EG和HF时应满足的条件是;
②借助图2以及①中所写条件,说明四边形EHGF是个“筝形”.
【应用拓展】
(3)在“筝形”风筝EHGF中,已知$EG=60\mathrm{cm}$,$HF=40\mathrm{cm}$,求“筝形”风筝EHGF的面积.

9.(1)
∵AD=CD,AB=BC,
∴BD垂直平分AC,
∴AC⊥BD,AO=CO,
故答案为 AC⊥BD,AO=CO
(2)①EG垂直平分HF
②
∵EG垂直平分HF,
∴EH=EF,GH=GF,
∴四边形EHGF是个“筝形”
(3)
∵四边形EHGF是筝形,
∴EG⊥HF,
∴“筝形”风筝EHGF的面积=$\frac{1}{2}HF·EI+$$\frac{1}{2}HF·IG=\frac{1}{2}HF·(EI+IG)=\frac{1}{2}HF·EG=\frac{1}{2}×40×60=1200\mathrm{cm}^2$.

【分析】
(1) 已知AD=CD，根据线段垂直平分线的判定，点D在AC的垂直平分线上；同理AB=CB，点B也在AC的垂直平分线上，因此BD是AC的垂直平分线，由此可推出AC与BD垂直，且AO等于CO。
(2) ①要构造筝形，需满足两组邻边分别相等，结合线段垂直平分线的性质，只要EG垂直平分HF，就能得到EH=EF、GH=GF，符合筝形的定义。
②根据①中EG垂直平分HF的条件，利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可推出两组邻边相等，结合筝形定义即可证明。
(3) 筝形对角线互相垂直，可将其面积拆分为△EHF和△GHF的面积之和，合并后可得面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵AD=CD，AB=CB，
∴点B、D均在AC的垂直平分线上，即BD垂直平分AC，
∴AC⊥BD，AO=CO。
(2) ①要使四边形EHGF为筝形，需满足EH=EF，GH=GF，因此EG应垂直平分HF。
②证明：
∵EG垂直平分HF，
∴点E、G都在HF的垂直平分线上，
∴EH=EF，GH=GF，
根据筝形“两组邻边分别相等”的定义，可得四边形EHGF是“筝形”。
(3)
∵四边形EHGF是筝形，
∴EG⊥HF，
∴筝形EHGF的面积 = $S_{△ EHF} + S_{△ GHF}$
= $\frac{1}{2}·HF·EI + \frac{1}{2}·HF·IG$
= $\frac{1}{2}·HF·(EI+IG)$
= $\frac{1}{2}·HF·EG$
代入EG=60cm，HF=40cm，得：
面积= $\frac{1}{2}×40×60=1200\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $AC⊥ BD$；$AO=CO$
(2) ①$EG$垂直平分$HF$；②证明见上述解析
(3) $1200\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 筝形的定义
3. 对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题以“筝形”新定义为载体，考查线段垂直平分线的判定与性质应用，以及对角线垂直的四边形面积计算方法，解题核心是准确理解新定义，结合已学性质推导结论，既考查基础知识点掌握情况，也锻炼知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7