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1.如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E,连接AE,若$AE=4$,$EC=2$,则BC的长是 （
A.2
B.4
C.6
D.8
C
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先从题干给出的“AB的垂直平分线”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可推出BE与AE长度相等；再观察BC的构成，BC是BE和EC两段线段的和，代入已知的AE、EC长度即可计算出BC的长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$BE=AE=4$，
已知$EC=2$，
∴$BC=BE+EC=4+2=6$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查线段垂直平分线性质的应用，没有设置拐弯的条件，只要熟记相关性质，理清线段之间的和差关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题干给出的“AB的垂直平分线”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可推出BE与AE长度相等；再观察BC的构成，BC是BE和EC两段线段的和，代入已知的AE、EC长度即可计算出BC的长。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$BE=AE=4$，
已知$EC=2$，
∴$BC=BE+EC=4+2=6$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，直接考查线段垂直平分线性质的应用，没有设置拐弯的条件，只要熟记相关性质，理清线段之间的和差关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在△ABC中,∠BAC＞90°,AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,连结AE,AF,若△AEF的周长为2,则BC的长是 (
A.2
B.3
C.4
D.无法确定
A
)A.2
B.3
C.4
D.无法确定
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形，E在AB的垂直平分线上，因此可得到AE和BE相等；F在AC的垂直平分线上，可得到AF和CF相等。接下来看△AEF的周长是AE+EF+AF，我们把AE替换成BE，AF替换成CF，就会发现这个周长刚好等于BE+EF+CF，也就是BC的长度，因此可以直接根据已知的周长求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵AC的垂直平分线交BC于点F，
∴AF = CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵△AEF的周长为2，
∴AE + EF + AF = 2，
将AE=BE、AF=CF代入上式得：
BE + EF + CF = 2，
又
∵BE + EF + CF = BC，
∴BC = 2。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换；周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过性质将未知线段与已知周长的线段建立等量关系，只要熟练掌握线段垂直平分线的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形，E在AB的垂直平分线上，因此可得到AE和BE相等；F在AC的垂直平分线上，可得到AF和CF相等。接下来看△AEF的周长是AE+EF+AF，我们把AE替换成BE，AF替换成CF，就会发现这个周长刚好等于BE+EF+CF，也就是BC的长度，因此可以直接根据已知的周长求出BC的长。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵AC的垂直平分线交BC于点F，
∴AF = CF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵△AEF的周长为2，
∴AE + EF + AF = 2，
将AE=BE、AF=CF代入上式得：
BE + EF + CF = 2，
又
∵BE + EF + CF = BC，
∴BC = 2。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换；周长计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过性质将未知线段与已知周长的线段建立等量关系，只要熟练掌握线段垂直平分线的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,BC边上两点D,E分别在AB,AC的垂直平分线上,若BC$=24$,则$△ ADE$的周长为（
A.22
B.23
C.24
D.25
C
）A.22
B.23
C.24
D.25
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先从题干给出的“D、E分别在AB、AC的垂直平分线上”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得到两组相等的线段AD=BD、AE=CE。接下来观察△ADE的周长组成，其周长为AD+DE+AE，将其中的AD、AE用相等的BD、CE替换，就可以把△ADE的周长转化为BC的长度，结合已知BC=24即可求出结果。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
同理可得：AE = CE
∵△ADE的周长 = AD + DE + AE
将AD替换为BD，AE替换为CE，得：
△ADE的周长 = BD + DE + CE = BC
又
∵BC = 24
∴△ADE的周长为24，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的线段长度，解题时要注意观察线段之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干给出的“D、E分别在AB、AC的垂直平分线上”这一条件入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得到两组相等的线段AD=BD、AE=CE。接下来观察△ADE的周长组成，其周长为AD+DE+AE，将其中的AD、AE用相等的BD、CE替换，就可以把△ADE的周长转化为BC的长度，结合已知BC=24即可求出结果。
【解析】
解：
∵点D在AB的垂直平分线上
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
同理可得：AE = CE
∵△ADE的周长 = AD + DE + AE
将AD替换为BD，AE替换为CE，得：
△ADE的周长 = BD + DE + CE = BC
又
∵BC = 24
∴△ADE的周长为24，故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的线段长度，解题时要注意观察线段之间的和差关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,在△ABC中,AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,△BCN的周长是7cm,则BC的长为
3cm
.答案
4.3cm
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知MN是AB的垂直平分线，因此点N到A、B两点的距离相等，即AN=BN。接下来分析△BCN的周长组成：BN+CN+BC，将BN替换为AN后，AN+CN恰好是AC的长度，由此可将周长公式转化为AC+BC=△BCN的周长，代入已知的AC长度和周长值即可求出BC的长。
【解析】
∵ MN是线段AB的垂直平分线，点N在MN上
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得AN=BN
∵ △BCN的周长为7cm
∴ $BN + CN + BC = 7\mathrm{cm}$
将$BN=AN$代入上式，得：$AN + CN + BC =7\mathrm{cm}$
又
∵ $AN + CN = AC =4\mathrm{cm}$
∴ $4 + BC =7$
解得 $BC=7-4=3(\mathrm{cm})$
【答案】
3cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量转换将三角形周长中的未知线段转化为已知线段，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知MN是AB的垂直平分线，因此点N到A、B两点的距离相等，即AN=BN。接下来分析△BCN的周长组成：BN+CN+BC，将BN替换为AN后，AN+CN恰好是AC的长度，由此可将周长公式转化为AC+BC=△BCN的周长，代入已知的AC长度和周长值即可求出BC的长。
【解析】
∵ MN是线段AB的垂直平分线，点N在MN上
∴ 根据线段垂直平分线的性质，可得AN=BN
∵ △BCN的周长为7cm
∴ $BN + CN + BC = 7\mathrm{cm}$
将$BN=AN$代入上式，得：$AN + CN + BC =7\mathrm{cm}$
又
∵ $AN + CN = AC =4\mathrm{cm}$
∴ $4 + BC =7$
解得 $BC=7-4=3(\mathrm{cm})$
【答案】
3cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是通过等量转换将三角形周长中的未知线段转化为已知线段，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5.如图，在$△ ABC$中，$DE$是线段$BC$的垂直平分线，点$F$是线段$AC$的中点，其中$CF=5$，$AB=8$，则$△ ABE$的周长为________。
答案
5.18
解析
【分析】
要计算△ABE的周长，首先明确其周长的构成：△ABE的周长=AB+AE+BE。我们可以结合已知条件进行线段等量代换简化计算：① DE是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得BE=CE，此时周长可转化为AB+AE+CE，而AE+CE恰好是AC的长度，因此只需算出AC的长度即可求解；② 已知F是AC中点，CF=5，根据线段中点的定义可直接求出AC的长度，代入后即可得到周长结果。
【解析】
解：
1. 求AC的长度：
∵ 点F是AC的中点，CF=5，
∴ AC = 2CF = 2×5 = 10。
2. 利用垂直平分线性质得到线段等量关系：
∵ DE是BC的垂直平分线，点E在DE上，
∴ BE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
3. 计算△ABE的周长：
$C_{△ ABE} = AB + AE + BE$
将BE替换为CE，可得：
$C_{△ ABE} = AB + AE + CE = AB + AC$
代入AB=8，AC=10，得：
$C_{△ ABE} = 8 + 10 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 线段中点的定义
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段的和，只要熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.7
要计算△ABE的周长，首先明确其周长的构成：△ABE的周长=AB+AE+BE。我们可以结合已知条件进行线段等量代换简化计算：① DE是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得BE=CE，此时周长可转化为AB+AE+CE，而AE+CE恰好是AC的长度，因此只需算出AC的长度即可求解；② 已知F是AC中点，CF=5，根据线段中点的定义可直接求出AC的长度，代入后即可得到周长结果。
【解析】
解：
1. 求AC的长度：
∵ 点F是AC的中点，CF=5，
∴ AC = 2CF = 2×5 = 10。
2. 利用垂直平分线性质得到线段等量关系：
∵ DE是BC的垂直平分线，点E在DE上，
∴ BE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
3. 计算△ABE的周长：
$C_{△ ABE} = AB + AE + BE$
将BE替换为CE，可得：
$C_{△ ABE} = AB + AE + CE = AB + AC$
代入AB=8，AC=10，得：
$C_{△ ABE} = 8 + 10 = 18$。
【答案】
18
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 线段中点的定义
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将未知三角形的周长转化为已知线段的和，只要熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.7
6.如图，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，若PA的长为7，求PC的长。
答案
解：
连接$PB$，
因为$PD$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得：
$PA = PB$
又因为$PE$垂直平分$BC$，同理可得：
$PB = PC$
因此$PC = PA$，已知$PA=7$，所以$PC=7$。
答：$PC$的长为$\boldsymbol{7}$。
连接$PB$，
因为$PD$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得：
$PA = PB$
又因为$PE$垂直平分$BC$，同理可得：
$PB = PC$
因此$PC = PA$，已知$PA=7$，所以$PC=7$。
答：$PC$的长为$\boldsymbol{7}$。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出PD垂直平分AB、PE垂直平分BC，已知PA长度求PC长度，核心是建立PA和PC的等量关系。回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。我们可以添加辅助线连接PB，把PB作为PA和PC的中间过渡量，分别借助两条垂直平分线的性质推导PA和PB、PB和PC的等量关系，再通过等量代换就能求出PC的长度。
【解析】
解：连接$PB$，
∵ $PD$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ $PA = PB$，
∵ $PE$垂直平分$BC$，同理可得：
$PB = PC$，
∴ $PC = PA$，
又
∵ $PA=7$，
∴ $PC=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类题目，考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过添加辅助线PB搭建PA和PC的等量桥梁，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：题目给出PD垂直平分AB、PE垂直平分BC，已知PA长度求PC长度，核心是建立PA和PC的等量关系。回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。我们可以添加辅助线连接PB，把PB作为PA和PC的中间过渡量，分别借助两条垂直平分线的性质推导PA和PB、PB和PC的等量关系，再通过等量代换就能求出PC的长度。
【解析】
解：连接$PB$，
∵ $PD$垂直平分$AB$，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ $PA = PB$，
∵ $PE$垂直平分$BC$，同理可得：
$PB = PC$，
∴ $PC = PA$，
又
∵ $PA=7$，
∴ $PC=7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类题目，考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过添加辅助线PB搭建PA和PC的等量桥梁，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
