6.如图,已知四边形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,CD=12cm,∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1s后,△BPE与△CQP是否全等?请说明理由.
(2)当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与△CQP全等.

6.(1)△BPE与△CQP全等,理由如下:
当运动1s后,则BP=CQ=3(cm)
∴PC=BC-BP=8-3=5(cm),
∵E为AB中点,且AB=10(cm),
∴BE=5(cm),
∴BE=PC,
∴△BPE≌△CQP(SAS)
(2)
∵△BPE与△CQP全等,
∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ,
当△BEP≌△CQP时,则BP=CP,CQ=BE=5(cm),
设P点运动的时间为t秒,则3t=8-3t,解得t=$\frac{4}{3}$s,
∴Q点的运动的速度为5÷$\frac{4}{3}$=$\frac{15}{4}$(cm/s),
当△BEP≌△CPQ时,由(1)可知t=1(s),
∴BP=CQ=3(cm),
∴Q点的运动的速度=3÷1=3(cm/s),
即当Q点每秒运动$\frac{15}{4}$cm或3cm时,△BEP与△CQP全等

【分析】
(1) 要判断运动1s后△BPE与△CQP是否全等，先根据运动速度和时间算出BP、CQ的长度，再结合BC的长度求出PC的长度，结合E是AB中点得到BE的长度，最后利用已知的∠B=∠C，验证是否满足SAS全等判定条件即可。
(2) 题干未明确两个全等三角形的对应边，因此需要分两种情况讨论：①BE对应CQ、BP对应CP；②BE对应CP、BP对应CQ。分别根据对应边相等求出运动时间，再结合Q的运动路程即可计算出Q的运动速度。
【解析】
(1) △BPE与△CQP全等，理由如下：
当运动时间为1s时，点P、Q的速度均为3cm/s，
∴$BP=3×1=3\mathrm{cm}$，$CQ=3×1=3\mathrm{cm}$，
∴$PC=BC-BP=8-3=5\mathrm{cm}$，
∵E为AB中点，$AB=10\mathrm{cm}$，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，
∴$BE=PC$，
在$△ BPE$和$△ CQP$中：
$\begin{cases}BE=CP \\∠ B=∠ C \\BP=CQ\end{cases}$
∴$△ BPE≌△ CQP(\mathrm{SAS})$。
(2) 已知$∠ B=∠ C$，若$△ BPE$与$△ CQP$全等，分两种情况讨论：
情况一：当$△ BEP≌△ CQP$时，对应边满足$BE=CQ$，$BP=CP$，
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$BP=3t$，$CP=8-3t$，
∴$3t=8-3t$，解得$t=\frac{4}{3}\mathrm{s}$，
此时$CQ=BE=5\mathrm{cm}$，
∴Q的运动速度$v=\frac{CQ}{t}=5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}\mathrm{cm/s}$；
情况二：当$△ BEP≌△ CPQ$时，对应边满足$BE=CP$，$BP=CQ$，
由(1)可知此时运动时间$t=1\mathrm{s}$，$CQ=BP=3\mathrm{cm}$，
∴Q的运动速度$v=\frac{CQ}{t}=3÷1=3\mathrm{cm/s}$。
【答案】
(1) 全等，理由见解析；
(2) $3\mathrm{cm/s}$或$\frac{15}{4}\mathrm{cm/s}$
【知识点】
三角形全等的SAS判定，动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的常考题型，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定条件，当全等的对应关系不明确时，要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$BE⊥ AC$于点$D$，且$AD=CD$，$BD=ED$，若$∠ ABC=54°$，则$∠ E$等于 （）

A.$25°$
B.$27°$
C.$30°$
D.$45°$

（第7题） （第8题）

7.B

【分析】
解题时先从已知垂直和线段相等的条件入手：首先由BE⊥AC且AD=CD，可知BD是等腰△ABC底边上的高，结合等腰三角形三线合一的性质可先求出∠ABD的度数；再根据已知的AD=CD、BD=ED以及一组直角相等，用SAS判定三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
1. 求∠ABD的度数：
∵$BE⊥AC$，$AD=CD$
∴BD垂直且平分AC，可得$AB=BC$，即$△ ABC$是等腰三角形
根据等腰三角形三线合一的性质，BD平分$∠ABC$
∴$∠ABD=∠CBD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×54°=27°$
2. 证明三角形全等推导∠E的度数：
在$△ ADB$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}AD=CD（已知）\\∠ADB=∠CDE=90°（垂直的定义）\\BD=ED（已知）\end{cases}$
∴$△ ADB≌△ CDE（SAS）$
∴$∠E=∠ABD=27°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等和等腰三角形的综合基础题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质求出对应角的度数，再通过全等三角形完成角的等量转化，是全等三角形应用的典型常考题型。
【难度系数】
0.7

▲8.如图，若$AB=AC$，$BD=CD$，$∠ B=20°$，$∠ BDC=120°$，则$∠ A=$。

8.80°

【分析】
题目给出两组边相等AB=AC、BD=CD，可通过连接辅助线AD构造全等三角形。首先利用SSS判定定理证明△ABD与△ACD全等，得到对应角相等的结论，再结合周角的性质求出△ABD中∠ADB的度数，最后利用三角形内角和定理计算出∠BAD，进而求出∠BAC的大小。
【解析】
解：连接AD，
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BD=CD(\mathrm{已知})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD (\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ADB=∠ ADC$
$\because ∠ BDC=120°$，$∠ ADB+∠ ADC+∠ BDC=360°$（周角定义）
$\therefore ∠ ADB=\frac{360° - 120°}{2}=120°$
在$△ ABD$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BAD=180° - ∠ B - ∠ ADB=180° - 20° - 120°=40°$
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD + ∠ CAD=2∠ BAD=2×40°=80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将已知角的条件和待求角建立关联，结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

★9.如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.

9.1＜AD＜4

【分析】
要求中线AD的取值范围，我们可以利用“倍长中线法”构造全等三角形，将分散的边AB、AC和与AD相关的线段转化到同一个三角形中，再借助三角形三边关系求解。具体思路：①延长AD到E，使DE=AD，构造全等三角形；②证明△ADC≌△EDB，将AC转化为BE；③在△ABE中利用三边关系求出AE的取值范围，再由AD是AE的一半得到AD的范围。
【解析】
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l}AD=ED\\ ∠ ADC=∠ EDB（对顶角相等）\\ CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=3。
在△ABE中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可得$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，
代入AB=5，BE=3，得$5-3 ＜ AE ＜ 5+3$，即$2 ＜ AE ＜ 8$。
又
∵AE=AD+DE=2AD，
∴$2 ＜ 2AD ＜ 8$，
不等式两边同时除以2，得$1 ＜ AD ＜ 4$。
【答案】
$1＜AD＜4$
【知识点】
倍长中线构造全等，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
倍长中线是解决与三角形中线相关的线段长度、取值范围类问题的常用辅助线技巧，本题通过构造全等实现了边的转化，再结合三角形三边关系即可求出未知线段的取值范围，熟练掌握该辅助线构造方法能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.6

10.(1)画$△ ABC$，使$∠ A=30°$，$AC=3\mathrm{cm}$，$BC=2\mathrm{cm}$。
(2)符合(1)中条件的三角形可以画几个？如果两个三角形有两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？

10.(1)画图略 (2)2个;不一定全等

【分析】
(1) 画图可按三步思路开展：第一步先确定30°的∠A，第二步在角的一条边上截取长度为3cm的AC边，第三步以C为圆心、2cm为半径画弧，弧和角的另一条边的交点就是点B，连接三点即可得到符合要求的三角形。
(2) 判断符合条件的三角形个数，只需看以C为圆心画的弧与∠A的另一边的交点数量即可；判断两边一角对应相等的三角形是否全等时，需明确这个角是否为两边的夹角，本题属于两边及其中一边的对角相等的情况，不符合全等三角形的判定规则。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 先画出∠MAN=30°；
② 在射线AM上截取线段AC=3cm；
③ 以点C为圆心，2cm长为半径画弧，弧与射线AN交于两个不同的点，将两个交点分别与A、C连接，得到的两个三角形均符合条件。
(2) 由画图过程可知，半径为2cm的弧和射线AN共有2个交点，因此符合(1)中条件的三角形可以画2个。
这两个三角形都满足两条边（AC=3cm、BC=2cm）和一个角（∠A=30°）对应相等，但两个三角形不全等，因此有两条边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等。
【答案】
(1) 画图略；(2) 2个；不一定全等
【知识点】
1. 尺规作三角形
2. 全等三角形判定
3. SSA不判定全等
【点评】
本题是辨析三角形全等判定条件的典型习题，通过动手作图的方式，能直观理解只有两边及其夹角对应相等（SAS）才能判定三角形全等，而两边及其中一边的对角相等（SSA）无法判定全等，帮助大家区分全等判定的有效条件。
【难度系数】
0.7