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任务1 如图2，若要求垃圾处理站的位置点$P_1$满足在两个垃圾分类点的连线上，且到两条公路$l_1$，$l_2$的距离相等，请你用尺规作图确定点$P_1$的位置。
答案
连结AB,并用尺规作图作∠AOB的平分线,点$P_1$即为AB与∠AOB的平分线的交点.
解析
【分析】
首先拆解题目对点$P_1$的两个要求：①点$P_1$在两个垃圾分类点A、B的连线上；②点$P_1$到两条公路$l_1$、$l_2$的距离相等。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知满足第二个条件的点都在$∠ AOB$的平分线上。因此同时满足两个条件的点就是AB连线与$∠ AOB$平分线的交点，按这个思路作图即可。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，作出直线AB；
2. 尺规作$∠ AOB$的平分线：
① 以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交射线$OA$、射线$OB$于两个交点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在$∠ AOB$的内部交于一点；
③ 过点O和上述交点作射线，即为$∠ AOB$的平分线；
3. 该射线与直线AB的交点即为所求的点$P_1$。
【答案】
连结AB，并用尺规作图作∠AOB的平分线，点$P_1$即为AB与∠AOB的平分线的交点。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线；两点确定一条直线
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，核心是学会将多个作图要求拆解为对应的几何轨迹，找到同时满足所有条件的公共点，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关性质与作图方法。
【难度系数】
0.8
首先拆解题目对点$P_1$的两个要求：①点$P_1$在两个垃圾分类点A、B的连线上；②点$P_1$到两条公路$l_1$、$l_2$的距离相等。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知满足第二个条件的点都在$∠ AOB$的平分线上。因此同时满足两个条件的点就是AB连线与$∠ AOB$平分线的交点，按这个思路作图即可。
【解析】
1. 用直尺连接A、B两点，作出直线AB；
2. 尺规作$∠ AOB$的平分线：
① 以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，分别交射线$OA$、射线$OB$于两个交点；
② 分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离的$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧在$∠ AOB$的内部交于一点；
③ 过点O和上述交点作射线，即为$∠ AOB$的平分线；
3. 该射线与直线AB的交点即为所求的点$P_1$。
【答案】
连结AB，并用尺规作图作∠AOB的平分线，点$P_1$即为AB与∠AOB的平分线的交点。
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线；两点确定一条直线
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，核心是学会将多个作图要求拆解为对应的几何轨迹，找到同时满足所有条件的公共点，解题的关键是熟练掌握角平分线的相关性质与作图方法。
【难度系数】
0.8
任务2 如图3，若要求垃圾处理站的位置点$P_2$满足到两个垃圾分类点的距离相等，且到两条公路$l_1$，$l_2$的距离相等，请你用尺规作图确定点$P_2$的位置。
答案
用尺规作图作线段AB的垂直平分线及∠AOB的平分线,点$P_2$即为线段AB的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点.
解析
【分析】
解题时先拆分题目的两个要求：①到A、B两个点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；②到两条公路l₁、l₂的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点都在∠AOB的角平分线上。同时满足两个条件的点就是两条线的交点，因此分别作出这两条线，取交点即可得到P₂的位置。
【解析】
1. 连接线段AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作出∠AOB的角平分线；
3. 上述垂直平分线和角平分线的交点即为所求的点P₂，作图时需保留作图痕迹。
【答案】
用尺规作图作线段AB的垂直平分线及∠AOB的平分线,点$P_2$即为线段AB的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图题，解题关键是把“距离相等”的条件转化为对应的几何轨迹，通过两个轨迹的交点确定目标点，是尺规作图的典型应用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先拆分题目的两个要求：①到A、B两个点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点都在线段AB的垂直平分线上；②到两条公路l₁、l₂的距离相等，根据角平分线的性质，满足该条件的点都在∠AOB的角平分线上。同时满足两个条件的点就是两条线的交点，因此分别作出这两条线，取交点即可得到P₂的位置。
【解析】
1. 连接线段AB，用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 用尺规作出∠AOB的角平分线；
3. 上述垂直平分线和角平分线的交点即为所求的点P₂，作图时需保留作图痕迹。
【答案】
用尺规作图作线段AB的垂直平分线及∠AOB的平分线,点$P_2$即为线段AB的垂直平分线与∠AOB的平分线的交点.
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题属于基础作图题，解题关键是把“距离相等”的条件转化为对应的几何轨迹，通过两个轨迹的交点确定目标点，是尺规作图的典型应用场景。
【难度系数】
0.8
任务3 如图4，若要求垃圾处理站的位置点$P_3$满足到点O及两个垃圾分类点的距离都相等，请你用尺规作图确定点$P_3$的位置。
答案
用尺规作图分别作线段OA、线段OB、线段AB的垂直平分线,点$P_3$即为这三条垂直平分线的交点.
解析
【分析】
解题时先明确题目要求：点$P_3$需满足到O、A、B三个点的距离都相等，即$P_3O=P_3A=P_3B$。结合所学结论：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知：要满足$P_3O=P_3A$，$P_3$需在OA的垂直平分线上；要满足$P_3O=P_3B$，$P_3$需在OB的垂直平分线上；要满足$P_3A=P_3B$，$P_3$需在AB的垂直平分线上。又因为三角形三边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，因此作出三条垂直平分线的交点即为所求点。
【解析】
1. 用尺规作图法作出线段OA的垂直平分线；
2. 用尺规作图法作出线段OB的垂直平分线；
3. 用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线；
上述三条垂直平分线的交点就是所求的点$P_3$。
原理：该交点在OA的垂直平分线上，故$P_3O=P_3A$；在OB的垂直平分线上，故$P_3O=P_3B$，因此$P_3O=P_3A=P_3B$，符合题目要求。
【答案】
用尺规作图分别作线段OA、线段OB、线段AB的垂直平分线,点$P_3$即为这三条垂直平分线的交点.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线；三角形外心性质
【点评】
本题结合生活场景考查尺规作图的应用，核心是利用线段垂直平分线的性质定位符合条件的点，熟练掌握垂直平分线的作图方法和相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目要求：点$P_3$需满足到O、A、B三个点的距离都相等，即$P_3O=P_3A=P_3B$。结合所学结论：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知：要满足$P_3O=P_3A$，$P_3$需在OA的垂直平分线上；要满足$P_3O=P_3B$，$P_3$需在OB的垂直平分线上；要满足$P_3A=P_3B$，$P_3$需在AB的垂直平分线上。又因为三角形三边的垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，因此作出三条垂直平分线的交点即为所求点。
【解析】
1. 用尺规作图法作出线段OA的垂直平分线；
2. 用尺规作图法作出线段OB的垂直平分线；
3. 用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线；
上述三条垂直平分线的交点就是所求的点$P_3$。
原理：该交点在OA的垂直平分线上，故$P_3O=P_3A$；在OB的垂直平分线上，故$P_3O=P_3B$，因此$P_3O=P_3A=P_3B$，符合题目要求。
【答案】
用尺规作图分别作线段OA、线段OB、线段AB的垂直平分线,点$P_3$即为这三条垂直平分线的交点.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；尺规作垂直平分线；三角形外心性质
【点评】
本题结合生活场景考查尺规作图的应用，核心是利用线段垂直平分线的性质定位符合条件的点，熟练掌握垂直平分线的作图方法和相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
任务4 如图5,若要求垃圾处理站的位置点$P_4$满足到两条公路$l_1,l_2$及两个垃圾分类点的连线$AB$的距离都相等,请你用尺规作图确定点$P_4$的位置.
答案
用尺规作图分别作∠AOB、∠OAB、∠OBA的平分线,点$P_4$即为这三条角平分线的交点.
解析
【分析】
我们先拆解题目要求：点$P_4$需要同时满足到$l_1$、$l_2$的距离相等，且到线段$AB$所在直线的距离与前两者也相等。结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之到角两边距离相等的点在对应角的平分线上，我们可以分步推导：
1. 要满足到$l_1$、$l_2$距离相等，$P_4$一定在$l_1$、$l_2$形成的$∠ AOB$的角平分线上；
2. 要同时满足到$l_1$和$AB$的距离相等，$P_4$也一定在$l_1$与$AB$形成的$∠ OAB$的角平分线上；
3. 上述两条角平分线的交点已经满足到三条线的距离相等，且该点也一定在$l_2$与$AB$形成的$∠ OBA$的角平分线上，因此三条角平分线的交点即为所求。
【解析】
1. 尺规作$∠ AOB$的角平分线：以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$l_1$、$l_2$于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过$O$和该交点作射线，即为$∠ AOB$的角平分线；
2. 用同样的尺规作图方法，分别作出$∠ OAB$、$∠ OBA$的角平分线；
3. 三条角平分线的交点即为$P_4$，根据角平分线的性质，该点到$l_1$、$l_2$、$AB$的距离都相等，符合题目要求。
【答案】
用尺规作图分别作$∠ AOB$、$∠ OAB$、$∠ OBA$的平分线,点$P_4$即为这三条角平分线的交点.
【知识点】
角平分线的性质，尺规作角平分线，三角形内心的性质
【点评】
本题是尺规作图的典型应用类题目，核心是将“到多条直线距离相等”的几何条件，通过角平分线的性质转化为找角平分线的交点，既考察了对角平分线性质的理解，也考察了尺规作角平分线的实操能力，解题时要注意将复杂条件拆解为多个简单的角平分线判定条件逐步分析。
【难度系数】
0.6
我们先拆解题目要求：点$P_4$需要同时满足到$l_1$、$l_2$的距离相等，且到线段$AB$所在直线的距离与前两者也相等。结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之到角两边距离相等的点在对应角的平分线上，我们可以分步推导：
1. 要满足到$l_1$、$l_2$距离相等，$P_4$一定在$l_1$、$l_2$形成的$∠ AOB$的角平分线上；
2. 要同时满足到$l_1$和$AB$的距离相等，$P_4$也一定在$l_1$与$AB$形成的$∠ OAB$的角平分线上；
3. 上述两条角平分线的交点已经满足到三条线的距离相等，且该点也一定在$l_2$与$AB$形成的$∠ OBA$的角平分线上，因此三条角平分线的交点即为所求。
【解析】
1. 尺规作$∠ AOB$的角平分线：以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$l_1$、$l_2$于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过$O$和该交点作射线，即为$∠ AOB$的角平分线；
2. 用同样的尺规作图方法，分别作出$∠ OAB$、$∠ OBA$的角平分线；
3. 三条角平分线的交点即为$P_4$，根据角平分线的性质，该点到$l_1$、$l_2$、$AB$的距离都相等，符合题目要求。
【答案】
用尺规作图分别作$∠ AOB$、$∠ OAB$、$∠ OBA$的平分线,点$P_4$即为这三条角平分线的交点.
【知识点】
角平分线的性质，尺规作角平分线，三角形内心的性质
【点评】
本题是尺规作图的典型应用类题目，核心是将“到多条直线距离相等”的几何条件，通过角平分线的性质转化为找角平分线的交点，既考察了对角平分线性质的理解，也考察了尺规作角平分线的实操能力，解题时要注意将复杂条件拆解为多个简单的角平分线判定条件逐步分析。
【难度系数】
0.6
