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1. 如图,点B,F,C,E在一条直线上,$AB// ED$,$AC// FD$,那么添加下列一个条件后,仍无法判定$△ ABC≌△ DEF$的是 (
A.$∠ A=∠ D$
B.$AC=DF$
C.$AB=ED$
D.$BF=EC$
A
)A.$∠ A=∠ D$
B.$AC=DF$
C.$AB=ED$
D.$BF=EC$
答案
1.A
解析
【分析】
首先根据已知的两组平行关系，利用平行线的同位角相等性质，可得到$△ ABC$和$△ DEF$有两组对应角相等：$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$。要判定两个三角形全等，在已有两组角相等的基础上，必须补充一组对应边相等的条件（全等判定中AAA无法证明全等）。接下来逐一分析每个选项补充的条件，判断是否满足全等判定定理，即可选出无法判定全等的选项。
【解析】
已知$AB// ED$，$AC// FD$，根据平行线的同位角相等性质可得：
$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$。
对各选项逐一分析：
A. 添加$∠ A=∠ D$，此时两个三角形三组对应角均相等（AAA），仅能证明三角形相似，无法判定全等，符合题意；
B. 添加$AC=DF$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
C. 添加$AB=ED$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足AAS的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
D. 添加$BF=EC$，根据等式性质，$BF+FC=EC+FC$，即$BC=EF$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足ASA（两角及其夹边对应相等）的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础考题，解题关键是先从已知平行条件推导出已有的相等角，再结合全等判定定理逐一验证选项，注意AAA、SSA是不能判定三角形全等的易错点。
【难度系数】
0.8
首先根据已知的两组平行关系，利用平行线的同位角相等性质，可得到$△ ABC$和$△ DEF$有两组对应角相等：$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$。要判定两个三角形全等，在已有两组角相等的基础上，必须补充一组对应边相等的条件（全等判定中AAA无法证明全等）。接下来逐一分析每个选项补充的条件，判断是否满足全等判定定理，即可选出无法判定全等的选项。
【解析】
已知$AB// ED$，$AC// FD$，根据平行线的同位角相等性质可得：
$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$。
对各选项逐一分析：
A. 添加$∠ A=∠ D$，此时两个三角形三组对应角均相等（AAA），仅能证明三角形相似，无法判定全等，符合题意；
B. 添加$AC=DF$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足AAS（两角及其中一角的对边对应相等）的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
C. 添加$AB=ED$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足AAS的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意；
D. 添加$BF=EC$，根据等式性质，$BF+FC=EC+FC$，即$BC=EF$，结合$∠ B=∠ E$，$∠ ACB=∠ DFE$，满足ASA（两角及其夹边对应相等）的全等判定条件，可判定$△ ABC≌△ DEF$，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础考题，解题关键是先从已知平行条件推导出已有的相等角，再结合全等判定定理逐一验证选项，注意AAA、SSA是不能判定三角形全等的易错点。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ADB ≌ △ ECB$，$∠ CBD = 40°$，$BD ⊥ EC$，则$∠ D$的度数为
50°
。答案
2.$50°$
解析
【分析】
解题时首先利用垂直的定义得到直角，再结合已知的∠CBD的度数，在三角形中根据三角形内角和定理求出∠C的度数，最后根据全等三角形的对应角相等，即可得出∠D的度数。
【解析】
设BD与EC的交点为点F，
∵ BD⊥EC，
∴ ∠BFC=90°，
在△BFC中，∠CBD=40°，∠BFC=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ BFC - ∠ CBD = 180° - 90° - 40° = 50°$，
又
∵ $△ ADB ≌ △ ECB$，根据全等三角形对应角相等，可知∠D和∠C是对应角，
∴ $∠ D = ∠ C = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，结合直角的性质即可快速求解，需要注意不要混淆全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用垂直的定义得到直角，再结合已知的∠CBD的度数，在三角形中根据三角形内角和定理求出∠C的度数，最后根据全等三角形的对应角相等，即可得出∠D的度数。
【解析】
设BD与EC的交点为点F，
∵ BD⊥EC，
∴ ∠BFC=90°，
在△BFC中，∠CBD=40°，∠BFC=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ BFC - ∠ CBD = 180° - 90° - 40° = 50°$，
又
∵ $△ ADB ≌ △ ECB$，根据全等三角形对应角相等，可知∠D和∠C是对应角，
∴ $∠ D = ∠ C = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是准确找到全等三角形的对应角，结合直角的性质即可快速求解，需要注意不要混淆全等三角形的对应角。
【难度系数】
0.8
3.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$S_{△ ABC}=7$，$DE=2$，$AB=4$，则AC的长是（
A.3
B.4
C.6
D.5
A
）A.3
B.4
C.6
D.5
答案
3.A
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可得D到AC边的距离等于DE的长度。而△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，先算出△ABD的面积，就能得到△ACD的面积，再结合三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC于点F。
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$
已知$S_{△ ABC}=7$，且$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ ACD}=7 - 4 = 3$
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入DF=2得：
$\frac{1}{2} × AC × 2 = 3$
解得AC=3。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过分割三角形面积建立等式求解，是对基础性质和面积公式的综合应用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，可得D到AC边的距离等于DE的长度。而△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，先算出△ABD的面积，就能得到△ACD的面积，再结合三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC于点F。
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2。
计算△ABD的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$
已知$S_{△ ABC}=7$，且$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ ACD}=7 - 4 = 3$
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入DF=2得：
$\frac{1}{2} × AC × 2 = 3$
解得AC=3。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过分割三角形面积建立等式求解，是对基础性质和面积公式的综合应用，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，连结BE，点D恰好在BE上，则∠3=（
A.60°
B.55°
C.50°
D.无法计算
B
）A.60°
B.55°
C.50°
D.无法计算
答案
4.B
解析
【分析】
首先结合已知的等角关系∠BAC=∠DAE，通过减去公共角∠DAC推导得到△BAD和△CAE的一组对应角相等，再结合已知的两组等边条件，利用SAS判定两个三角形全等；之后根据全等三角形的性质得到对应角相等，最后利用三角形外角的性质即可计算出∠3的度数。
【解析】
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ 1=∠ CAE\\ AD=AE\end{array} $
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴ ∠ABD=∠2=30°
∵ ∠3是△ABD的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过角的和差关系得到全等三角形的判定条件，再结合外角性质求解角度，是全等三角形应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先结合已知的等角关系∠BAC=∠DAE，通过减去公共角∠DAC推导得到△BAD和△CAE的一组对应角相等，再结合已知的两组等边条件，利用SAS判定两个三角形全等；之后根据全等三角形的性质得到对应角相等，最后利用三角形外角的性质即可计算出∠3的度数。
【解析】
∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ 1=∠ CAE\\ AD=AE\end{array} $
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴ ∠ABD=∠2=30°
∵ ∠3是△ABD的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过角的和差关系得到全等三角形的判定条件，再结合外角性质求解角度，是全等三角形应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,点A,B,C,D在一条直线上,$AB=CD$,$∠ A=∠ FBD$,$CE// DF$.求证:$CE=DF$.
答案
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$。
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$。
解析
【分析】
要证明CE=DF，可通过证明两条线段所在的△ACE与△BDF全等来推导。首先，已知AB=CD，给等式两边同时加上公共线段BC，可得到AC=BD，即一组对应边相等；其次，由CE//DF，根据平行线的同位角相等性质，可得∠ACE=∠D，即一组对应角相等；结合题目给出的∠A=∠FBD，三组条件刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到CE=DF。
【解析】
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查通过证明三角形全等来得到线段相等的解题思路，解题的关键是结合已知条件推导全等判定所需的边角条件，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明CE=DF，可通过证明两条线段所在的△ACE与△BDF全等来推导。首先，已知AB=CD，给等式两边同时加上公共线段BC，可得到AC=BD，即一组对应边相等；其次，由CE//DF，根据平行线的同位角相等性质，可得∠ACE=∠D，即一组对应角相等；结合题目给出的∠A=∠FBD，三组条件刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到CE=DF。
【解析】
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：
∵ $AB = CD$，
∴ $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
∵ $CE // DF$，
∴ $∠ ACE = ∠ D$。
在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A = ∠ FBD, \\AC = BD, \\∠ ACE = ∠ D,\end{array} $
∴ $△ ACE ≌ △ BDF$（ASA），
∴ $CE = DF$。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查通过证明三角形全等来得到线段相等的解题思路，解题的关键是结合已知条件推导全等判定所需的边角条件，熟练掌握相关定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知$AB=BC$，$AB⊥ BC$，$AE⊥ BD$于点$E$，$CD⊥ BD$于点$D$.
(1)猜想线段$DE$，$AE$，$CD$的数量关系，并证明.
(2)若$AE=6$，求$△ ABD$的面积.
(1)猜想线段$DE$，$AE$，$CD$的数量关系，并证明.
(2)若$AE=6$，求$△ ABD$的面积.
答案
6.(1)$DE=AE-CD$,证明略 (2)18
解析
【分析】
(1) 解题时首先观察图形中的垂直条件，可得到多个直角，结合∠ABC=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，再结合已知AB=BC，即可证明△ABE和△BCD全等，利用全等三角形对应边相等得到边的等量关系，再通过线段和差推导即可得到DE、AE、CD的数量关系；(2) 求△ABD的面积时，以BD为底、AE为高，利用第一问全等得到的BD=AE的结论，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{DE=AE-CD}$，证明如下：
$\because AB⊥ BC$，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ ABE+∠ CBD=90°$
$\because AE⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ AEB=∠ D=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ BAE=∠ CBD$（同角的余角相等）
在$△ ABE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ D \\∠ BAE=∠ CBD \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCD\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AE=BD$，$BE=CD$
$\because BD=DE+BE$，$\therefore AE=DE+CD$，整理得$DE=AE-CD$。
(2) 解：$△ ABD$的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AE$
由(1)知$BD=AE=6$，代入得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×6×6=18$
【答案】
(1) $DE=AE-CD$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，后一问可直接利用前一问的结论简化计算，掌握全等三角形的常见判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时首先观察图形中的垂直条件，可得到多个直角，结合∠ABC=90°，利用同角的余角相等推出一组角相等，再结合已知AB=BC，即可证明△ABE和△BCD全等，利用全等三角形对应边相等得到边的等量关系，再通过线段和差推导即可得到DE、AE、CD的数量关系；(2) 求△ABD的面积时，以BD为底、AE为高，利用第一问全等得到的BD=AE的结论，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{DE=AE-CD}$，证明如下：
$\because AB⊥ BC$，$\therefore ∠ ABC=90°$，即$∠ ABE+∠ CBD=90°$
$\because AE⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ AEB=∠ D=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE+∠ BAE=90°$，$\therefore ∠ BAE=∠ CBD$（同角的余角相等）
在$△ ABE$和$△ BCD$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ D \\∠ BAE=∠ CBD \\AB=BC\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ BCD\ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AE=BD$，$BE=CD$
$\because BD=DE+BE$，$\therefore AE=DE+CD$，整理得$DE=AE-CD$。
(2) 解：$△ ABD$的面积$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AE$
由(1)知$BD=AE=6$，代入得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×6×6=18$
【答案】
(1) $DE=AE-CD$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，余角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是通过垂直关系推导等角，进而证明三角形全等，后一问可直接利用前一问的结论简化计算，掌握全等三角形的常见判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
