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4. 若$(2t-1,y_{1}),(t,y_{2})$两点在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0)$的图象上，满足$y_{1}＞0＞y_{2}$，则$t$的取值范围是________.
答案
$0＜t＜\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的图象性质：当k＜0时，反比例函数图象分布在第二、四象限，第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。结合题目给出的$y_1＞0＞y_2$的条件，可判断两个点分别所在的象限，再根据对应象限横坐标的符号特征列出关于t的不等式组，求解不等式组即可得到t的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 该函数的图象位于第二、四象限：第二象限内的点满足$x＜0,y＞0$，第四象限内的点满足$x＞0,y＜0$。
∵ $y_1＞0$，
∴ 点$(2t-1,y_1)$在第二象限，可得：
$2t-1＜0$，解得$t＜\dfrac{1}{2}$。
∵ $y_2＜0$，
∴ 点$(t,y_2)$在第四象限，可得：
$t＞0$。
联立两个不等式，得$t$的取值范围是$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$0＜t＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据k的符号明确函数图象的分布，再结合函数值的正负判断点所在象限，进而得到横坐标的取值要求，整体逻辑清晰，需要熟练掌握反比例函数图象与k的对应关系。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的图象性质：当k＜0时，反比例函数图象分布在第二、四象限，第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，第四象限内的点横坐标为正、纵坐标为负。结合题目给出的$y_1＞0＞y_2$的条件，可判断两个点分别所在的象限，再根据对应象限横坐标的符号特征列出关于t的不等式组，求解不等式组即可得到t的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中$k＜0$，
∴ 该函数的图象位于第二、四象限：第二象限内的点满足$x＜0,y＞0$，第四象限内的点满足$x＞0,y＜0$。
∵ $y_1＞0$，
∴ 点$(2t-1,y_1)$在第二象限，可得：
$2t-1＜0$，解得$t＜\dfrac{1}{2}$。
∵ $y_2＜0$，
∴ 点$(t,y_2)$在第四象限，可得：
$t＞0$。
联立两个不等式，得$t$的取值范围是$0＜t＜\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$0＜t＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于反比例函数性质的基础应用题，解题核心是根据k的符号明确函数图象的分布，再结合函数值的正负判断点所在象限，进而得到横坐标的取值要求，整体逻辑清晰，需要熟练掌握反比例函数图象与k的对应关系。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 已知反比例函数的图象经过点$A(2,1)$
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请判断点$B(3,2)$与$C(4,\frac{1}{2})$是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)在该函数图象上任取两点$E(x_1,y_1)$和$F(x_2,y_2)$，如果$y_1＞y_2$，那么$x_1$与$x_2$有怎样的大小关系？
1. 已知反比例函数的图象经过点$A(2,1)$
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请判断点$B(3,2)$与$C(4,\frac{1}{2})$是否在这个函数的图象上，并说明理由；
(3)在该函数图象上任取两点$E(x_1,y_1)$和$F(x_2,y_2)$，如果$y_1＞y_2$，那么$x_1$与$x_2$有怎样的大小关系？
答案
1. (1) $y = \dfrac{2}{x}$
(2) 点B不在,点C在.
(3) 反比例函数图象经过第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,
∴当0＜y₂＜y₁时,0＜x₁＜x₂;当y₂＜y₁＜0时,x₁＜x₂＜0;当y₂＜0＜y₁时,x₁＜0＜x₂.
(2) 点B不在,点C在.
(3) 反比例函数图象经过第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,
∴当0＜y₂＜y₁时,0＜x₁＜x₂;当y₂＜y₁＜0时,x₁＜x₂＜0;当y₂＜0＜y₁时,x₁＜0＜x₂.
解析
【分析】
（1）求反比例函数表达式可采用待定系数法，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点$A(2,1)$的坐标代入解析式，求解得到$k$的值即可确定函数表达式。
（2）判断点是否在函数图象上的依据是：若点的横、纵坐标满足函数解析式，则点在图象上，反之则不在。可将点的横坐标代入解析式计算对应的$y$值，与点的纵坐标对比即可判断。
（3）先根据$k$的正负判断反比例函数的增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，因此需要分两点在同一象限、不同象限三类情况讨论，进而得到$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵函数图象经过点$A(2,1)$，
将$x=2$，$y=1$代入解析式得：$1=\frac{k}{2}$，
解得$k=2$，
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
（2）①判断点$B(3,2)$：
将$x=3$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{3}$，
∵$\frac{2}{3}≠2$，
∴点$B$不在该函数图象上。
②判断点$C(4,\frac{1}{2})$：
将$x=4$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，与点$C$的纵坐标相等，
∴点$C$在该函数图象上。
（3）
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
i. 当$E$、$F$两点都在第一象限时，$y_1＞y_2＞0$，由增减性可得$0＜x_1＜x_2$；
ii. 当$E$、$F$两点都在第三象限时，$0＞y_1＞y_2$，由增减性可得$x_1＜x_2＜0$；
iii. 当$E$在第一象限，$F$在第三象限时，$y_1＞0＞y_2$，满足$y_1＞y_2$，此时$x_1＞0$，$x_2＜0$，即$x_2＜0＜x_1$。
【答案】
(1) $y = \dfrac{2}{x}$
(2) 点$B$不在该函数图象上，点$C$在该函数图象上；
(3) 当$0＜y₂＜y₁$时，$0＜x₁＜x₂$；当$y₂＜y₁＜0$时，$x₁＜x₂＜0$；当$y₂＜0＜y₁$时，$x₂＜0＜x₁$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题时要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，涉及函数值大小比较时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数表达式可采用待定系数法，先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点$A(2,1)$的坐标代入解析式，求解得到$k$的值即可确定函数表达式。
（2）判断点是否在函数图象上的依据是：若点的横、纵坐标满足函数解析式，则点在图象上，反之则不在。可将点的横坐标代入解析式计算对应的$y$值，与点的纵坐标对比即可判断。
（3）先根据$k$的正负判断反比例函数的增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，因此需要分两点在同一象限、不同象限三类情况讨论，进而得到$x_1$和$x_2$的大小关系。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵函数图象经过点$A(2,1)$，
将$x=2$，$y=1$代入解析式得：$1=\frac{k}{2}$，
解得$k=2$，
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。
（2）①判断点$B(3,2)$：
将$x=3$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{3}$，
∵$\frac{2}{3}≠2$，
∴点$B$不在该函数图象上。
②判断点$C(4,\frac{1}{2})$：
将$x=4$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，与点$C$的纵坐标相等，
∴点$C$在该函数图象上。
（3）
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
i. 当$E$、$F$两点都在第一象限时，$y_1＞y_2＞0$，由增减性可得$0＜x_1＜x_2$；
ii. 当$E$、$F$两点都在第三象限时，$0＞y_1＞y_2$，由增减性可得$x_1＜x_2＜0$；
iii. 当$E$在第一象限，$F$在第三象限时，$y_1＞0＞y_2$，满足$y_1＞y_2$，此时$x_1＞0$，$x_2＜0$，即$x_2＜0＜x_1$。
【答案】
(1) $y = \dfrac{2}{x}$
(2) 点$B$不在该函数图象上，点$C$在该函数图象上；
(3) 当$0＜y₂＜y₁$时，$0＜x₁＜x₂$；当$y₂＜y₁＜0$时，$x₁＜x₂＜0$；当$y₂＜0＜y₁$时，$x₂＜0＜x₁$。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题时要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，涉及函数值大小比较时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 如图4,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象相交于点$A(1,6),B(n,-2)$,且与y轴交于点C.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出当$kx+b＜\frac{m}{x}$成立时,x的取值范围.
(3)连接OA,OB,求$△ ABO$的面积.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出当$kx+b＜\frac{m}{x}$成立时,x的取值范围.
(3)连接OA,OB,求$△ ABO$的面积.
答案
2. (1) $y=\dfrac{6}{x}, y=2x+4$
(2) $x＜-3$ 或 $0＜x＜1$
(3) 直线y=2x+4与y轴的交点坐标为(0,4),
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×4×1+\dfrac{1}{2}×4×3=8$.
(2) $x＜-3$ 或 $0＜x＜1$
(3) 直线y=2x+4与y轴的交点坐标为(0,4),
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ COB}=\dfrac{1}{2}×4×1+\dfrac{1}{2}×4×3=8$.
解析
【分析】
（1）求函数表达式优先使用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值即可得到一次函数表达式。
（2）不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标，分区间观察图象即可得到解集。
（3）△ABO没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，可利用一次函数与y轴的交点C，将△ABO分割为△AOC和△BOC两部分，两个三角形的底均为OC的长度，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算面积后求和即可。
【解析】
（1）将$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$得：
$6=\frac{m}{1}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将$B(n,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$得：
$-2=\frac{6}{n}$，解得$n=-3$，即$B(-3,-2)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入一次函数$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
两式相减消去b得：$4k=8$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$k+b=6$得$b=4$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+4$。
（2）观察图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应的x取值为$x＜-3$或$0＜x＜1$，即$kx+b＜\frac{m}{x}$的解集为$x＜-3$或$0＜x＜1$。
（3）对于一次函数$y=2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，即点C坐标为$(0,4)$，$OC=4$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A|+\frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1+\frac{1}{2}×4×3$
$=2+6=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+4$；
(2) $x＜-3$ 或 $0＜x＜1$；
(3) $8$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象与不等式，坐标系内面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了数形结合思想的应用，通过割补法计算不规则三角形面积是本题的核心技巧，掌握这类题型可以为解决更复杂的函数综合题打好基础。
【难度系数】
0.7
（1）求函数表达式优先使用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，得到反比例函数表达式；再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，得到点B的完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k、b的值即可得到一次函数表达式。
（2）不等式$kx+b＜\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点横坐标，分区间观察图象即可得到解集。
（3）△ABO没有边在坐标轴上，直接计算面积较复杂，可利用一次函数与y轴的交点C，将△ABO分割为△AOC和△BOC两部分，两个三角形的底均为OC的长度，高分别为点A、点B横坐标的绝对值，分别计算面积后求和即可。
【解析】
（1）将$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$得：
$6=\frac{m}{1}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
将$B(n,-2)$代入$y=\frac{6}{x}$得：
$-2=\frac{6}{n}$，解得$n=-3$，即$B(-3,-2)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入一次函数$y=kx+b$得：
$\begin{cases}k+b=6\\-3k+b=-2\end{cases}$
两式相减消去b得：$4k=8$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$k+b=6$得$b=4$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+4$。
（2）观察图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应的x取值为$x＜-3$或$0＜x＜1$，即$kx+b＜\frac{m}{x}$的解集为$x＜-3$或$0＜x＜1$。
（3）对于一次函数$y=2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，即点C坐标为$(0,4)$，$OC=4$。
$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$
$=\frac{1}{2}× OC× |x_A|+\frac{1}{2}× OC× |x_B|$
$=\frac{1}{2}×4×1+\frac{1}{2}×4×3$
$=2+6=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+4$；
(2) $x＜-3$ 或 $0＜x＜1$；
(3) $8$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象与不等式，坐标系内面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的求解方法，也考查了数形结合思想的应用，通过割补法计算不规则三角形面积是本题的核心技巧，掌握这类题型可以为解决更复杂的函数综合题打好基础。
【难度系数】
0.7
