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一、选择题
1. 函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象在(
A.第一、第三象限
B.第二、第四象限
C.第三象限
D.第四象限
1. 函数$y=-\dfrac{2}{x}$的图象在(
B
)A.第一、第三象限
B.第二、第四象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道考查反比例函数图象性质的基础题，解题思路如下：首先回忆反比例函数图象所在象限的判断规则：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象为双曲线，其所在象限由比例系数$k$的符号决定，$k＞0$时图象位于第一、三象限，$k＜0$时图象位于第二、四象限；接着提取本题中反比例函数的比例系数$k$，判断$k$的符号；最后对应规则匹配选项即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,k$为常数$)$，其图象是双曲线，图象所在象限的判断规则为：
①当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
②当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
本题中函数$y=-\frac{2}{x}$属于反比例函数，其中比例系数$k=-2＜0$，因此它的图象在第二、第四象限，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，是反比例函数部分的高频考点，核心考查反比例函数比例系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练记忆该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这是一道考查反比例函数图象性质的基础题，解题思路如下：首先回忆反比例函数图象所在象限的判断规则：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象为双曲线，其所在象限由比例系数$k$的符号决定，$k＞0$时图象位于第一、三象限，$k＜0$时图象位于第二、四象限；接着提取本题中反比例函数的比例系数$k$，判断$k$的符号；最后对应规则匹配选项即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,k$为常数$)$，其图象是双曲线，图象所在象限的判断规则为：
①当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；
②当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。
本题中函数$y=-\frac{2}{x}$属于反比例函数，其中比例系数$k=-2＜0$，因此它的图象在第二、第四象限，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，是反比例函数部分的高频考点，核心考查反比例函数比例系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练记忆该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 已知$k_1＞0＞k_2$，则函数$y=k_1x$和$y=\frac{k_2}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中大致是(
C
)答案
2. C
解析
【分析】
解题时先分别根据两个函数中系数的正负，判断对应函数图象所在的象限，再用排除法逐一筛选选项。首先回忆正比例函数图象性质：当k＞0时，y=kx过原点、经过第一、三象限；当k＜0时经过第二、四象限。再回忆反比例函数图象性质：当k＞0时，y=k/x的双曲线在第一、三象限；当k＜0时在第二、四象限。先由k₁＞0判断正比例函数的图象象限，排除不符合的选项，再由k₂＜0判断反比例函数的图象象限，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 判断正比例函数$y=k_1x$的图象：
已知$k_1＞0$，根据正比例函数的性质，该函数图象过原点，且经过第一、第三象限，因此图象过第二、四象限的选项B、D不符合要求，排除B、D。
2. 判断反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象：
已知$k_2＜0$，根据反比例函数的性质，该函数的双曲线两个分支分别位于第二、第四象限，因此反比例函数在第一、三象限的选项A不符合要求，排除A。
综上只有选项C符合两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数图象性质
2. 反比例函数图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，核心考查正比例函数、反比例函数的图象与系数符号的对应关系，熟练掌握不同k值对应的函数图象所在象限，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
解题时先分别根据两个函数中系数的正负，判断对应函数图象所在的象限，再用排除法逐一筛选选项。首先回忆正比例函数图象性质：当k＞0时，y=kx过原点、经过第一、三象限；当k＜0时经过第二、四象限。再回忆反比例函数图象性质：当k＞0时，y=k/x的双曲线在第一、三象限；当k＜0时在第二、四象限。先由k₁＞0判断正比例函数的图象象限，排除不符合的选项，再由k₂＜0判断反比例函数的图象象限，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 判断正比例函数$y=k_1x$的图象：
已知$k_1＞0$，根据正比例函数的性质，该函数图象过原点，且经过第一、第三象限，因此图象过第二、四象限的选项B、D不符合要求，排除B、D。
2. 判断反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象：
已知$k_2＜0$，根据反比例函数的性质，该函数的双曲线两个分支分别位于第二、第四象限，因此反比例函数在第一、三象限的选项A不符合要求，排除A。
综上只有选项C符合两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数图象性质
2. 反比例函数图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，核心考查正比例函数、反比例函数的图象与系数符号的对应关系，熟练掌握不同k值对应的函数图象所在象限，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图1，某加油站计划在地下修建一个容积为$2×10^{4}\ \mathrm{m}^3$的圆柱形石油储存室，则储存室的底面积$S$（单位：$\mathrm{m}^2$）与其深度$h$（单位：$\mathrm{m}$）的函数图象大致是（
C
）答案
3. C
解析
【分析】
首先根据圆柱的体积公式推导底面积$S$和深度$h$的函数关系：圆柱容积=底面积×深度，已知容积固定，因此可推出$S$是$h$的反比例函数。接下来结合实际意义判断自变量和函数值的取值范围：深度$h$和底面积$S$均为正数，因此函数图象只能位于第一象限，是反比例函数在第一象限的分支，据此逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：根据圆柱的容积公式$V = S· h$，已知容积$V=2×10^4\ \mathrm{m}^3$，代入可得：
$S = \frac{2×10^4}{h}$
结合实际意义，储存室的深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此该函数是自变量为正的反比例函数，图象为位于第一象限的双曲线的一支，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的图象，解题的关键是先根据等量关系列出函数解析式，再结合实际意义确定变量的取值范围，进而判断对应的函数图象。
【难度系数】
0.8
首先根据圆柱的体积公式推导底面积$S$和深度$h$的函数关系：圆柱容积=底面积×深度，已知容积固定，因此可推出$S$是$h$的反比例函数。接下来结合实际意义判断自变量和函数值的取值范围：深度$h$和底面积$S$均为正数，因此函数图象只能位于第一象限，是反比例函数在第一象限的分支，据此逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
解：根据圆柱的容积公式$V = S· h$，已知容积$V=2×10^4\ \mathrm{m}^3$，代入可得：
$S = \frac{2×10^4}{h}$
结合实际意义，储存室的深度$h＞0$，底面积$S＞0$，因此该函数是自变量为正的反比例函数，图象为位于第一象限的双曲线的一支，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；圆柱体积公式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的图象，解题的关键是先根据等量关系列出函数解析式，再结合实际意义确定变量的取值范围，进而判断对应的函数图象。
【难度系数】
0.8
4. 如图2，在函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上有三点A,B,C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为$S_A,S_B,S_C$，则(
A.$S_A＞S_B＞S_C$
B.$S_A＜S_B＜S_C$
C.$S_A=S_B=S_C$
D.$S_A＜S_C＜S_B$
图2
图3
C
)A.$S_A＞S_B＞S_C$
B.$S_A＜S_B＜S_C$
C.$S_A=S_B=S_C$
D.$S_A＜S_C＜S_B$
图2图3答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数中比例系数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过其图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于$\left|k\right|$，这个值和点在图象上的位置无关。本题中反比例函数的k值为1，因此三个点对应的矩形面积都等于$\left|1\right|=1$，即可判断三者大小关系。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。
∵A、B、C三点都在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$，$x_3y_3=1$。
又
∵$x＞0$时反比例函数$y=\frac{1}{x}$的函数值$y＞0$，
∴矩形面积$S_A=x_1· y_1=1$，$S_B=x_2· y_2=1$，$S_C=x_3· y_3=1$，
∴$S_A=S_B=S_C$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心是掌握反比例函数中k的几何意义，不需要计算各点具体坐标，利用性质即可快速得出结论，降低解题复杂度。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆反比例函数中比例系数k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过其图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于$\left|k\right|$，这个值和点在图象上的位置无关。本题中反比例函数的k值为1，因此三个点对应的矩形面积都等于$\left|1\right|=1$，即可判断三者大小关系。
【解析】
设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。
∵A、B、C三点都在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$的图象上，
∴根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得$x_1y_1=1$，$x_2y_2=1$，$x_3y_3=1$。
又
∵$x＞0$时反比例函数$y=\frac{1}{x}$的函数值$y＞0$，
∴矩形面积$S_A=x_1· y_1=1$，$S_B=x_2· y_2=1$，$S_C=x_3· y_3=1$，
∴$S_A=S_B=S_C$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心是掌握反比例函数中k的几何意义，不需要计算各点具体坐标，利用性质即可快速得出结论，降低解题复杂度。
【难度系数】
0.85
二、填空题
1. 反比例函数$y=\dfrac{1-3a}{x}$的图象有一支位于第二象限,则$a$的取值范围是
1. 反比例函数$y=\dfrac{1-3a}{x}$的图象有一支位于第二象限,则$a$的取值范围是
$a＞\dfrac{1}{3}$
.答案
1. $a＞\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象性质：当$k＞0$时，图象的两支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象的两支分别位于第二、四象限。题目中说图象有一支位于第二象限，说明该函数的$k$值小于0，据此列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{1-3a}{x}$，其比例系数$k=1-3a$。
∵ 函数图象有一支位于第二象限，
∴ 反比例函数的比例系数$k＜0$，即：
$1-3a＜0$
移项得：$-3a＜-1$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$a＞\dfrac{1}{3}$
【答案】
$a＞\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数系数与图象所在象限的对应关系，只要牢记反比例函数的性质，正确求解一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的图象性质：当$k＞0$时，图象的两支分别位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象的两支分别位于第二、四象限。题目中说图象有一支位于第二象限，说明该函数的$k$值小于0，据此列出关于$a$的不等式，解不等式即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{1-3a}{x}$，其比例系数$k=1-3a$。
∵ 函数图象有一支位于第二象限，
∴ 反比例函数的比例系数$k＜0$，即：
$1-3a＜0$
移项得：$-3a＜-1$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$a＞\dfrac{1}{3}$
【答案】
$a＞\dfrac{1}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数系数与图象所在象限的对应关系，只要牢记反比例函数的性质，正确求解一元一次不等式即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 若反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$与正比例函数$y=2x$的图象没有交点，则$k$的取值范围是
$k＜-1$
.答案
2. $k＜-1$
解析
【分析】
解题可从两种思路切入：思路一：先判断正比例函数图象所在象限，若两个函数图象无交点，说明反比例函数图象只能在与正比例函数所在象限不同的另外两个象限，结合反比例函数系数与图象位置的关系即可列不等式求解；思路二：联立两个函数的解析式，将图象交点问题转化为方程有无实数根的问题，结合平方数的非负性即可求出k的取值范围。
【解析】
方法1：
∵正比例函数$y=2x$中，$2＞0$，
∴其图象经过第一、三象限。
∵反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$与$y=2x$的图象没有交点，
∴反比例函数图象只能位于第二、四象限，
∴反比例函数的比例系数满足$k+1＜0$，解得$k＜-1$。
方法2：
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{k+1}{x}\\y=2x\end{cases}$，
消去y可得$\frac{k+1}{x}=2x$，整理得$x^2=\frac{k+1}{2}$。
∵两个函数图象没有交点，
∴该方程无实数根，
又
∵对任意实数x都有$x^2≥0$，
∴$\frac{k+1}{2}＜0$，解得$k＜-1$。
【答案】
$k ＜ -1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；正比例函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题既可以通过分析函数图象所在象限快速求解，也可以通过联立方程将几何问题转化为代数问题解决，熟练掌握函数系数和图象位置的对应关系，是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路切入：思路一：先判断正比例函数图象所在象限，若两个函数图象无交点，说明反比例函数图象只能在与正比例函数所在象限不同的另外两个象限，结合反比例函数系数与图象位置的关系即可列不等式求解；思路二：联立两个函数的解析式，将图象交点问题转化为方程有无实数根的问题，结合平方数的非负性即可求出k的取值范围。
【解析】
方法1：
∵正比例函数$y=2x$中，$2＞0$，
∴其图象经过第一、三象限。
∵反比例函数$y=\frac{k+1}{x}$与$y=2x$的图象没有交点，
∴反比例函数图象只能位于第二、四象限，
∴反比例函数的比例系数满足$k+1＜0$，解得$k＜-1$。
方法2：
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{k+1}{x}\\y=2x\end{cases}$，
消去y可得$\frac{k+1}{x}=2x$，整理得$x^2=\frac{k+1}{2}$。
∵两个函数图象没有交点，
∴该方程无实数根，
又
∵对任意实数x都有$x^2≥0$，
∴$\frac{k+1}{2}＜0$，解得$k＜-1$。
【答案】
$k ＜ -1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；正比例函数的图象与性质；函数交点问题
【点评】
本题既可以通过分析函数图象所在象限快速求解，也可以通过联立方程将几何问题转化为代数问题解决，熟练掌握函数系数和图象位置的对应关系，是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图3所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，若$S_{△ MON}=2$，则k的值为
-4
。答案
3. -4
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据三角形面积列等式求出$|k|$的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
根据反比例函数$k$的几何意义可知，$△ MON$的面积满足：
$S_{△ MON}=\frac{1}{2}|k|$
已知$S_{△ MON}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|=2$
解得$|k|=4$
由题图可知，反比例函数图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题时需注意结合图象象限判断k的符号，避免忽略符号直接取绝对值的正值导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。第一步先根据三角形面积列等式求出$|k|$的值，第二步结合反比例函数图象所在的象限判断k的正负，最终确定k的取值。
【解析】
根据反比例函数$k$的几何意义可知，$△ MON$的面积满足：
$S_{△ MON}=\frac{1}{2}|k|$
已知$S_{△ MON}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|=2$
解得$|k|=4$
由题图可知，反比例函数图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-4$。
【答案】
-4
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数k的几何意义的应用，解题时需注意结合图象象限判断k的符号，避免忽略符号直接取绝对值的正值导致出错。
【难度系数】
0.7
