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2. 已知反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$（$k$为常数，$k≠1$）.
(1)若在其图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大，求$k$的取值范围；
(2)若点$P(2,3)$在该反比例函数的图象上.
①求该反比例函数的解析式；
②当$-3≤ x≤ -1$时，求$y$的取值范围.
(1)若在其图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大，求$k$的取值范围；
(2)若点$P(2,3)$在该反比例函数的图象上.
①求该反比例函数的解析式；
②当$-3≤ x≤ -1$时，求$y$的取值范围.
答案
(1) k＜1
(2) ① $y=\dfrac{6}{x}$
② $-6≤y≤-2$
(2) ① $y=\dfrac{6}{x}$
② $-6≤y≤-2$
解析
【分析】
(1) 回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，图象每一支上$y$随$x$的增大而增大。本题中比例系数为$k-1$，令$k-1＜0$即可求出$k$的取值范围。
(2) ① 点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将$P(2,3)$代入解析式可求出$k$的值，进而得到函数解析式。
② 先根据比例系数的符号判断$x＜0$时函数的增减性，再计算区间端点对应的$y$值，结合增减性即可得出$y$的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大
∴ 比例系数$k-1＜0$
解得：$k＜1$
(2) ① 将$P(2,3)$代入$y=\dfrac{k-1}{x}$，得：
$3=\dfrac{k-1}{2}$
两边同乘2得：$k-1=6$
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$
② 对于$y=\dfrac{6}{x}$，比例系数$6＞0$，
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\dfrac{6}{-1}=-6$，
∵ $-3≤x≤-1$，$x$增大时$y$减小，
∴ $-6≤y≤-2$
【答案】
(1) $k＜1$
(2) ① $y=\dfrac{6}{x}$
② $-6≤y≤-2$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求解析式；反比例函数增减性应用
【点评】
本题是反比例函数基础题，重点考查反比例函数核心性质的掌握和待定系数法的运用，求解函数值范围时需结合增减性判断，避免出现端点值大小颠倒的错误，能有效巩固反比例函数基础知识点。
【难度系数】
0.75
(1) 回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$（$m$为常数，$m≠0$），当$m＜0$时，图象每一支上$y$随$x$的增大而增大。本题中比例系数为$k-1$，令$k-1＜0$即可求出$k$的取值范围。
(2) ① 点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将$P(2,3)$代入解析式可求出$k$的值，进而得到函数解析式。
② 先根据比例系数的符号判断$x＜0$时函数的增减性，再计算区间端点对应的$y$值，结合增减性即可得出$y$的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大
∴ 比例系数$k-1＜0$
解得：$k＜1$
(2) ① 将$P(2,3)$代入$y=\dfrac{k-1}{x}$，得：
$3=\dfrac{k-1}{2}$
两边同乘2得：$k-1=6$
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$
② 对于$y=\dfrac{6}{x}$，比例系数$6＞0$，
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$；
当$x=-1$时，$y=\dfrac{6}{-1}=-6$，
∵ $-3≤x≤-1$，$x$增大时$y$减小，
∴ $-6≤y≤-2$
【答案】
(1) $k＜1$
(2) ① $y=\dfrac{6}{x}$
② $-6≤y≤-2$
【知识点】
反比例函数的性质；待定系数法求解析式；反比例函数增减性应用
【点评】
本题是反比例函数基础题，重点考查反比例函数核心性质的掌握和待定系数法的运用，求解函数值范围时需结合增减性判断，避免出现端点值大小颠倒的错误，能有效巩固反比例函数基础知识点。
【难度系数】
0.75
3. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过第一、第三象限.
(1)判断点$P(-k,k)$在第几象限；
(2)若点$A(a-b,3),B(a-c,5)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点,试比较$a,b,c$的大小关系.
(1)判断点$P(-k,k)$在第几象限；
(2)若点$A(a-b,3),B(a-c,5)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点,试比较$a,b,c$的大小关系.
答案
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象经过第一、第三象限，$\therefore k＞0,-k＜0$，$\therefore$ 点$P(-k,k)$在第二象限。
(2) $\because$ 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$图象经过第一、第三象限，$\therefore$ 在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。又$\because$ 点$A(a-b,3)$，$B(a-c,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上，$\therefore$ 可得$\begin{cases}a-b＞0,\\a-c＞0,\\a-b＞a-c,\end{cases}$ 解得：$a＞c＞b$，$\therefore a,b,c$的大小关系为：$a＞c＞b$。
(2) $\because$ 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$图象经过第一、第三象限，$\therefore$ 在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。又$\because$ 点$A(a-b,3)$，$B(a-c,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上，$\therefore$ 可得$\begin{cases}a-b＞0,\\a-c＞0,\\a-b＞a-c,\end{cases}$ 解得：$a＞c＞b$，$\therefore a,b,c$的大小关系为：$a＞c＞b$。
解析
【分析】
（1）首先根据反比例函数图象经过的象限确定k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$过一、三象限则$k＞0$，由此可判断点P横、纵坐标的正负，再结合各象限内点的坐标特征即可确定点P所在象限。
（2）先根据$k＞0$得到反比例函数在每个象限内的增减性，再由两点纵坐标均为正数，判断两点都在第一象限，根据“y随x增大而减小”，结合两点纵坐标大小得到横坐标的大小关系，列出不等式后解不等式即可比较a、b、c的大小。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过第一、第三象限，
$\therefore k＞0$，则$-k＜0$，
$\because$ 点$P(-k,k)$的横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$ 点$P(-k,k)$在第二象限。
(2) $\because$ 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$中$k＞0$，
$\therefore$ 在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(a-b,3)$，$B(a-c,5)$的纵坐标3、5均为正数，
$\therefore$ 两点都在第一象限，横坐标均为正，即$\begin{cases}a-b＞0\\a-c＞0\end{cases}$，
又$\because 3＜5$，根据增减性可得横坐标$a-b＞a-c$，
联立不等式：
由$a-b＞0$得$a＞b$；
由$a-c＞0$得$a＞c$；
由$a-b＞a-c$，两边同时减去$a$得$-b＞-c$，即$c＞b$；
综上可得$a＞c＞b$。
【答案】
(1) 第二象限；(2) $a＞c＞b$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.点的象限特征 3.不等式的性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，重点考查k的符号与反比例函数图象位置、增减性的对应关系，解题时要注意反比例函数的增减性只在同一象限内成立，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）首先根据反比例函数图象经过的象限确定k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$过一、三象限则$k＞0$，由此可判断点P横、纵坐标的正负，再结合各象限内点的坐标特征即可确定点P所在象限。
（2）先根据$k＞0$得到反比例函数在每个象限内的增减性，再由两点纵坐标均为正数，判断两点都在第一象限，根据“y随x增大而减小”，结合两点纵坐标大小得到横坐标的大小关系，列出不等式后解不等式即可比较a、b、c的大小。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过第一、第三象限，
$\therefore k＞0$，则$-k＜0$，
$\because$ 点$P(-k,k)$的横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$ 点$P(-k,k)$在第二象限。
(2) $\because$ 反比例函数$y = \frac{k}{x}(k≠0)$中$k＞0$，
$\therefore$ 在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because$ 点$A(a-b,3)$，$B(a-c,5)$的纵坐标3、5均为正数，
$\therefore$ 两点都在第一象限，横坐标均为正，即$\begin{cases}a-b＞0\\a-c＞0\end{cases}$，
又$\because 3＜5$，根据增减性可得横坐标$a-b＞a-c$，
联立不等式：
由$a-b＞0$得$a＞b$；
由$a-c＞0$得$a＞c$；
由$a-b＞a-c$，两边同时减去$a$得$-b＞-c$，即$c＞b$；
综上可得$a＞c＞b$。
【答案】
(1) 第二象限；(2) $a＞c＞b$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.点的象限特征 3.不等式的性质
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，重点考查k的符号与反比例函数图象位置、增减性的对应关系，解题时要注意反比例函数的增减性只在同一象限内成立，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
