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【拓展思考】
项目情境:在反比例函数的学习中,我们掌握了基本反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与性质,而生活与数学探究中,常出现形式更为复杂的变形反比例函数.本次我们以函数$y=\frac{2x+4}{x}(x≠0)$为研究对象,开展函数图象与性质的项目化探究,通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程,解锁该类函数的核心规律.
项目准备:
我们先对函数进行拆分变形,将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式,便于对比探究.$y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}$,借助基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$,完成下表数据填写:
项目探究任务:
(1)图象绘制:在平面直角坐标系中,以自变量$x$的取值为横坐标,对应函数$y=\frac{2x+4}{x}$的函数值为纵坐标,描出表格中的对应点,将$y$轴左侧各点、右侧各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来.
(2)性质分析:结合绘制的图象与表格数据,完成下列探究问题.
①当$x＜0$时,函数值$y$随自变量$x$的增大呈现怎样的变化趋势?
②对比基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$,请说明函数$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象经过怎样的图形变换得到的?
(3)代数论证:设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{2x+4}{x}$图象上的两个点,且满足$x_1+x_2=0$,试通过代数计算,求出$y_1+y_2$的值.
项目情境:在反比例函数的学习中,我们掌握了基本反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与性质,而生活与数学探究中,常出现形式更为复杂的变形反比例函数.本次我们以函数$y=\frac{2x+4}{x}(x≠0)$为研究对象,开展函数图象与性质的项目化探究,通过拆分变形、列表描点、图象绘制、性质分析、代数论证的流程,解锁该类函数的核心规律.
项目准备:
我们先对函数进行拆分变形,将其转化为基本反比例函数与常数的和的形式,便于对比探究.$y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}$,借助基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$,完成下表数据填写:
项目探究任务:
(1)图象绘制:在平面直角坐标系中,以自变量$x$的取值为横坐标,对应函数$y=\frac{2x+4}{x}$的函数值为纵坐标,描出表格中的对应点,将$y$轴左侧各点、右侧各点,分别用一条光滑曲线顺次连接起来.
(2)性质分析:结合绘制的图象与表格数据,完成下列探究问题.
①当$x＜0$时,函数值$y$随自变量$x$的增大呈现怎样的变化趋势?
减小
②对比基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$,请说明函数$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象经过怎样的图形变换得到的?
函数$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到的
(3)代数论证:设$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是函数$y=\frac{2x+4}{x}$图象上的两个点,且满足$x_1+x_2=0$,试通过代数计算,求出$y_1+y_2$的值.
答案
1. 画图略
2. ① 减小
② 函数$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到的
3. $\because y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}, \therefore y_1=2+\frac{4}{x_1}, y_2=2+\frac{4}{x_2}, \therefore y_1+y_2=2+\frac{4}{x_1}+2+\frac{4}{x_2}=4+\frac{4x_2 + 4x_1}{x_1x_2}=4+\frac{4(x_1 + x_2)}{x_1x_2}. \because x_1+x_2=0, \therefore y_1+y_2=4$
2. ① 减小
② 函数$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到的
3. $\because y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}, \therefore y_1=2+\frac{4}{x_1}, y_2=2+\frac{4}{x_2}, \therefore y_1+y_2=2+\frac{4}{x_1}+2+\frac{4}{x_2}=4+\frac{4x_2 + 4x_1}{x_1x_2}=4+\frac{4(x_1 + x_2)}{x_1x_2}. \because x_1+x_2=0, \therefore y_1+y_2=4$
解析
【分析】
解题前先明确已知条件：目标函数可变形为$y=2+\frac{4}{x}$，是基本反比例函数与常数的和。①探究$x＜0$时的增减性：可结合基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$的增减性判断，常数项不影响函数的增减趋势；②探究图象变换：根据函数平移“上加下减常数项”的规律即可判断；③代数计算$y_1+y_2$：先将$y_1、y_2$用变形后的函数式表示，再代入$x_1+x_2=0$化简计算即可。
【解析】
(1) 按照列表的$x、y$对应值在坐标系中描点，$x＜0$的点和$x＞0$的点分别用光滑曲线连接即可，画图略。
(2) ① 已知$y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}$，基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，加常数2后增减性不变，因此当$x＜0$时，函数值$y$随自变量$x$的增大而减小。
② 根据函数图象平移的规律：函数表达式在常数项上加2，对应图象向上平移2个单位长度，因此$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到的。
(3) 先将函数变形为$y=2+\frac{4}{x}$，则$y_1=2+\frac{4}{x_1}$，$y_2=2+\frac{4}{x_2}$：
$\begin{aligned}y_1+y_2&=2+\frac{4}{x_1}+2+\frac{4}{x_2}\\&=4+\frac{4x_2+4x_1}{x_1x_2}\\&=4+\frac{4(x_1+x_2)}{x_1x_2}\end{aligned}$
已知$x_1+x_2=0$，代入上式得：$y_1+y_2=4+\frac{4×0}{x_1x_2}=4$。
【答案】
(1) 画图略
(2) ① 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
② 由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到
(3) $y_1+y_2=4$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数图象的平移变换
3. 代数式化简求值
【点评】
本题以变形反比例函数为探究载体，将函数图象绘制、性质分析、代数论证相结合，既考查了反比例函数的基础性质，也锻炼了函数变换的迁移应用能力和代数推理能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确已知条件：目标函数可变形为$y=2+\frac{4}{x}$，是基本反比例函数与常数的和。①探究$x＜0$时的增减性：可结合基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$的增减性判断，常数项不影响函数的增减趋势；②探究图象变换：根据函数平移“上加下减常数项”的规律即可判断；③代数计算$y_1+y_2$：先将$y_1、y_2$用变形后的函数式表示，再代入$x_1+x_2=0$化简计算即可。
【解析】
(1) 按照列表的$x、y$对应值在坐标系中描点，$x＜0$的点和$x＞0$的点分别用光滑曲线连接即可，画图略。
(2) ① 已知$y=\frac{2x+4}{x}=2+\frac{4}{x}$，基本反比例函数$y=\frac{4}{x}$当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，加常数2后增减性不变，因此当$x＜0$时，函数值$y$随自变量$x$的增大而减小。
② 根据函数图象平移的规律：函数表达式在常数项上加2，对应图象向上平移2个单位长度，因此$y=\frac{2x+4}{x}$的图象是由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到的。
(3) 先将函数变形为$y=2+\frac{4}{x}$，则$y_1=2+\frac{4}{x_1}$，$y_2=2+\frac{4}{x_2}$：
$\begin{aligned}y_1+y_2&=2+\frac{4}{x_1}+2+\frac{4}{x_2}\\&=4+\frac{4x_2+4x_1}{x_1x_2}\\&=4+\frac{4(x_1+x_2)}{x_1x_2}\end{aligned}$
已知$x_1+x_2=0$，代入上式得：$y_1+y_2=4+\frac{4×0}{x_1x_2}=4$。
【答案】
(1) 画图略
(2) ① 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
② 由$y=\frac{4}{x}$的图象向上平移2个单位长度得到
(3) $y_1+y_2=4$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数图象的平移变换
3. 代数式化简求值
【点评】
本题以变形反比例函数为探究载体，将函数图象绘制、性质分析、代数论证相结合，既考查了反比例函数的基础性质，也锻炼了函数变换的迁移应用能力和代数推理能力。
【难度系数】
0.7
