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一、选择题
1. 甲、乙两地相距250千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间表示为y(单位:小时)，汽车的平均速度表示为x(单位:千米/时)，则y与x的函数关系用图象表示大致为(
1. 甲、乙两地相距250千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间表示为y(单位:小时)，汽车的平均速度表示为x(单位:千米/时)，则y与x的函数关系用图象表示大致为(
D
)答案
1. D
解析
【分析】
首先结合行程问题的基本等量关系推导y与x的函数解析式，再根据实际问题中变量的实际意义确定自变量的取值范围，最后结合各类函数的图象特征判断符合要求的选项。步骤如下：1. 回忆路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间，代入已知的路程250千米，得到x和y的等式；2. 将等式变形为函数形式，判断函数类型；3. 分析x、y的实际意义：速度和时间都为正数，因此x＞0，y＞0，对应函数图象仅在第一象限；4. 逐一比对选项，排除不符合的选项。
【解析】
根据行程问题的等量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，已知路程为250千米，可得：
$xy=250$
变形得$y=\frac{250}{x}$，该函数是反比例函数。
结合实际意义，汽车的平均速度$x＞0$，行驶时间$y＞0$，因此函数图象为反比例函数在第一象限的分支。
逐一分析选项：
A是正比例函数图象，不符合函数类型；
B是反比例函数图象，但包含第三象限分支，不符合x、y均为正数的实际要求；
C是二次函数图象，不符合函数类型；
D是第一象限的反比例函数分支，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题的关键是先根据等量关系求出函数解析式，再结合实际意义确定变量的取值范围，避免忽略实际情况直接选择完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.75
首先结合行程问题的基本等量关系推导y与x的函数解析式，再根据实际问题中变量的实际意义确定自变量的取值范围，最后结合各类函数的图象特征判断符合要求的选项。步骤如下：1. 回忆路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间，代入已知的路程250千米，得到x和y的等式；2. 将等式变形为函数形式，判断函数类型；3. 分析x、y的实际意义：速度和时间都为正数，因此x＞0，y＞0，对应函数图象仅在第一象限；4. 逐一比对选项，排除不符合的选项。
【解析】
根据行程问题的等量关系：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，已知路程为250千米，可得：
$xy=250$
变形得$y=\frac{250}{x}$，该函数是反比例函数。
结合实际意义，汽车的平均速度$x＞0$，行驶时间$y＞0$，因此函数图象为反比例函数在第一象限的分支。
逐一分析选项：
A是正比例函数图象，不符合函数类型；
B是反比例函数图象，但包含第三象限分支，不符合x、y均为正数的实际要求；
C是二次函数图象，不符合函数类型；
D是第一象限的反比例函数分支，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；函数自变量取值范围
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题的关键是先根据等量关系求出函数解析式，再结合实际意义确定变量的取值范围，避免忽略实际情况直接选择完整的反比例函数图象。
【难度系数】
0.75
2. 如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,它的面积为10时,则y关于x的函数解析式为(
A.$y=\dfrac{10}{x}$
B.$y=\dfrac{10}{2x}$
C.$y=\dfrac{20}{x}$
D.$y=\dfrac{x}{20}$
C
)A.$y=\dfrac{10}{x}$
B.$y=\dfrac{10}{2x}$
C.$y=\dfrac{20}{x}$
D.$y=\dfrac{x}{20}$
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要利用三角形的面积公式建立等量关系，再通过等式变形得到y关于x的函数表达式。首先回忆三角形面积计算公式：面积=底×高÷2，题目中已经给出底边长为x、底边上的高为y、面积固定为10，我们将这些已知量代入面积公式，再把式子整理成用含x的代数式表示y的形式，就能得到对应的函数解析式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$\displaystyle S = \frac{1}{2} × 底 × 高$
已知底边长为$x$，底边上的高为$y$，面积$S=10$，代入得：
$\displaystyle 10 = \frac{1}{2}xy$
对等式进行变形求解$y$：
等式两边同时乘以2，得：$20 = xy$
等式两边同时除以$x$（$x$是三角形底边长，故$x＞0$），得：$\displaystyle y=\frac{20}{x}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题是结合几何图形面积的反比例函数基础题，核心是熟练掌握常见几何图形的面积公式，能正确对等式进行变形得到目标函数表达式，解题时注意不要漏掉面积公式里的$\frac{1}{2}$，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们需要利用三角形的面积公式建立等量关系，再通过等式变形得到y关于x的函数表达式。首先回忆三角形面积计算公式：面积=底×高÷2，题目中已经给出底边长为x、底边上的高为y、面积固定为10，我们将这些已知量代入面积公式，再把式子整理成用含x的代数式表示y的形式，就能得到对应的函数解析式，再和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$\displaystyle S = \frac{1}{2} × 底 × 高$
已知底边长为$x$，底边上的高为$y$，面积$S=10$，代入得：
$\displaystyle 10 = \frac{1}{2}xy$
对等式进行变形求解$y$：
等式两边同时乘以2，得：$20 = xy$
等式两边同时除以$x$（$x$是三角形底边长，故$x＞0$），得：$\displaystyle y=\frac{20}{x}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题是结合几何图形面积的反比例函数基础题，核心是熟练掌握常见几何图形的面积公式，能正确对等式进行变形得到目标函数表达式，解题时注意不要漏掉面积公式里的$\frac{1}{2}$，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
3. 反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象一定经过的点是(
A.$(1,6)$
B.$(3,2)$
C.$(1,5)$
D.$(-2,3)$
D
)A.$(1,6)$
B.$(3,2)$
C.$(1,5)$
D.$(-2,3)$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断一个点是否在反比例函数图象上，只需验证该点的横、纵坐标的乘积是否等于反比例函数的比例系数$k$即可。本题中反比例函数为$y=-\dfrac{6}{x}$，变形可得$xy=-6$，因此只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标乘积，看是否等于$-6$即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$），图象上任意一点的横、纵坐标满足$xy=k$。
本题中反比例函数为$y=-\dfrac{6}{x}$，即$k=-6$，因此只需验证各选项的横、纵坐标乘积是否为$-6$：
选项A：$1×6=6≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项B：$3×2=6≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项C：$1×5=5≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项D：$(-2)×3=-6$，符合$xy=-6$，故该点在函数图象上。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，熟练掌握“反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积等于比例系数$k$”这一结论，就能快速完成此类题的解答。
【难度系数】
0.9
要判断一个点是否在反比例函数图象上，只需验证该点的横、纵坐标的乘积是否等于反比例函数的比例系数$k$即可。本题中反比例函数为$y=-\dfrac{6}{x}$，变形可得$xy=-6$，因此只需逐一计算各选项中点的横、纵坐标乘积，看是否等于$-6$即可得出答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$），图象上任意一点的横、纵坐标满足$xy=k$。
本题中反比例函数为$y=-\dfrac{6}{x}$，即$k=-6$，因此只需验证各选项的横、纵坐标乘积是否为$-6$：
选项A：$1×6=6≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项B：$3×2=6≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项C：$1×5=5≠-6$，故该点不在函数图象上；
选项D：$(-2)×3=-6$，符合$xy=-6$，故该点在函数图象上。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，熟练掌握“反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积等于比例系数$k$”这一结论，就能快速完成此类题的解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图1，正比例函数$y_1=k_1x(k_1＜0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象相交于A,B两点，点B的横坐标为2，当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是(
A.$x＜-2$或$x＞2$
B.$-2＜x＜0$或$x＞2$
C.$x＜-2$或$0＜x＜2$
D.$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
C
)A.$x＜-2$或$x＞2$
B.$-2＜x＜0$或$x＞2$
C.$x＜-2$或$0＜x＜2$
D.$-2＜x＜0$或$0＜x＜2$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先利用正比例函数与反比例函数图象的对称性，确定两个交点的横坐标：两函数交点关于原点对称，已知点B横坐标为2，即可得到点A的横坐标为-2。要找$y_1＞y_2$的$x$取值范围，实质是找正比例函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$区间，我们可以分$x＜0$、$x＞0$两个部分，结合图象逐段判断函数值的大小关系即可。
【解析】
∵ 正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称
已知点B的横坐标为2，因此点A的横坐标为$-2$
结合图象逐段判断：
1. 当$x＜-2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足；
3. 当$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
4. 当$x＞2$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足。
综上，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质、反比例函数的性质、图象法解不等式
【点评】
本题考查正反比例函数图象的对称性及利用函数图象比较函数值大小，解题核心是利用对称性确定交点横坐标，再结合数形结合思想分区间判断，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正比例函数与反比例函数图象的对称性，确定两个交点的横坐标：两函数交点关于原点对称，已知点B横坐标为2，即可得到点A的横坐标为-2。要找$y_1＞y_2$的$x$取值范围，实质是找正比例函数图象位于反比例函数图象上方时对应的$x$区间，我们可以分$x＜0$、$x＞0$两个部分，结合图象逐段判断函数值的大小关系即可。
【解析】
∵ 正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称
∴ 两函数的交点A、B关于原点对称
已知点B的横坐标为2，因此点A的横坐标为$-2$
结合图象逐段判断：
1. 当$x＜-2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
2. 当$-2＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足；
3. 当$0＜x＜2$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足$y_1＞y_2$；
4. 当$x＞2$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，$y_1＜y_2$，不满足。
综上，当$y_1＞y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质、反比例函数的性质、图象法解不等式
【点评】
本题考查正反比例函数图象的对称性及利用函数图象比较函数值大小，解题核心是利用对称性确定交点横坐标，再结合数形结合思想分区间判断，是函数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品$x$个，若每天要生产这种工艺品60个，需工人$y$名，则$y$关于$x$的函数表达式为
1. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品$x$个，若每天要生产这种工艺品60个，需工人$y$名，则$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\dfrac{60}{x}$
.答案
1. $y=\dfrac{60}{x}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确题目中的等量关系：每日生产的工艺品总数量 = 每名工人一天的产量 × 所需工人数量。已知每日总产量为60个，单人日产量为x个，工人数量为y，先根据等量关系列出等式，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式即可，注意x的取值要符合实际意义（x＞0）。
【解析】
根据题意可得等量关系：每名工人日产量 × 工人人数 = 每日总产量，
代入对应量得：$ xy = 60 $，
由于x表示每名工人一天做的工艺品个数，因此x＞0，将等式两边同时除以x，整理得：$ y = \dfrac{60}{x} $。
【答案】
$ y=\dfrac{60}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是找准实际场景中的数量关系，结合反比例函数的定义写出对应的函数表达式即可，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需明确题目中的等量关系：每日生产的工艺品总数量 = 每名工人一天的产量 × 所需工人数量。已知每日总产量为60个，单人日产量为x个，工人数量为y，先根据等量关系列出等式，再将等式变形为用含x的代数式表示y的形式即可，注意x的取值要符合实际意义（x＞0）。
【解析】
根据题意可得等量关系：每名工人日产量 × 工人人数 = 每日总产量，
代入对应量得：$ xy = 60 $，
由于x表示每名工人一天做的工艺品个数，因此x＞0，将等式两边同时除以x，整理得：$ y = \dfrac{60}{x} $。
【答案】
$ y=\dfrac{60}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是找准实际场景中的数量关系，结合反比例函数的定义写出对应的函数表达式即可，解题时要注意自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.9
2. 某蓄电池的电压为定值. 使用此电源时,用电器的电流$I(\mathrm{A})$与电阻$R(\Omega)$之间的函数关系为$I=\dfrac{36}{R}$,则电流$I$的值随电阻$R$值的增大而
减小
(填“增大”或“减小”).答案
2. 减小
解析
【分析】
首先判断电流$I$和电阻$R$的函数类型为反比例函数，解题时先确定反比例函数的比例系数$k$的正负，再结合电阻$R$恒为正的实际意义，根据反比例函数的增减性规律即可判断$I$随$R$的变化趋势。
【解析】
已知函数$I=\dfrac{36}{R}$是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$，
结合实际意义，电阻$R$的取值范围为$R＞0$，
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量取值为正的区间内，函数值随自变量的增大而减小，
因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题考查反比例函数增减性在实际问题中的应用，解题时需结合自变量的实际取值范围分析，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
首先判断电流$I$和电阻$R$的函数类型为反比例函数，解题时先确定反比例函数的比例系数$k$的正负，再结合电阻$R$恒为正的实际意义，根据反比例函数的增减性规律即可判断$I$随$R$的变化趋势。
【解析】
已知函数$I=\dfrac{36}{R}$是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$，
结合实际意义，电阻$R$的取值范围为$R＞0$，
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量取值为正的区间内，函数值随自变量的增大而减小，
因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题考查反比例函数增减性在实际问题中的应用，解题时需结合自变量的实际取值范围分析，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式：
答案不唯一,如$y=-\dfrac{2}{x}$
.y↑答案
3. 答案不唯一,如$y=-\dfrac{2}{x}$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），图象所在象限由$k$的符号决定：$k＞0$时图象在第一、第三象限，$k＜0$时图象在第二、第四象限。题目要求图象在第二、第四象限，因此只要让解析式中的比例系数$k$取任意负数，就能写出符合要求的解析式。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$，
若函数图象位于第二、第四象限，则需满足$k＜0$，
取$k=-2$，即可得到符合要求的解析式$y=-\dfrac{2}{x}$，取其他负数作为$k$也满足要求，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数的解析式
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查反比例函数比例系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例函数的性质：反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$），图象所在象限由$k$的符号决定：$k＞0$时图象在第一、第三象限，$k＜0$时图象在第二、第四象限。题目要求图象在第二、第四象限，因此只要让解析式中的比例系数$k$取任意负数，就能写出符合要求的解析式。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0)$，
若函数图象位于第二、第四象限，则需满足$k＜0$，
取$k=-2$，即可得到符合要求的解析式$y=-\dfrac{2}{x}$，取其他负数作为$k$也满足要求，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$y=-\dfrac{2}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.反比例函数的解析式
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查反比例函数比例系数$k$的符号与图象所在象限的对应关系，熟练掌握该性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图2，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为$(-3,4)$，顶点C在x轴的负半轴上，函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过顶点B，则k的值为
-32
。答案
4. -32
解析
【分析】
要得到反比例函数中k的值，需先求出点B的坐标。首先根据点A的坐标，用勾股定理计算出OA的长度，再结合菱形四条边相等、对边平行的性质，推导得到点B的横、纵坐标，最后将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知A点坐标为$(-3,4)$，O为坐标原点，根据勾股定理可得：
$OA=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
2. 利用菱形性质推导点B坐标：
∵四边形OABC是菱形，
∴$AB=OC=OA=5$，且$AB// OC$。
∵OC在x轴上，
∴AB为水平线段，点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，即点B纵坐标为4。
∵AB长度为5，点A横坐标为$-3$，且点B在点A左侧，
∴点B的横坐标为$-3-5=-8$，即$B(-8,4)$。
3. 代入反比例函数求k：
将$B(-8,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-8}$，解得$k=4×(-8)=-32$。
【答案】
$-32$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与菱形性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质求出点B的坐标，再结合反比例函数的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
要得到反比例函数中k的值，需先求出点B的坐标。首先根据点A的坐标，用勾股定理计算出OA的长度，再结合菱形四条边相等、对边平行的性质，推导得到点B的横、纵坐标，最后将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知A点坐标为$(-3,4)$，O为坐标原点，根据勾股定理可得：
$OA=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
2. 利用菱形性质推导点B坐标：
∵四边形OABC是菱形，
∴$AB=OC=OA=5$，且$AB// OC$。
∵OC在x轴上，
∴AB为水平线段，点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，即点B纵坐标为4。
∵AB长度为5，点A横坐标为$-3$，且点B在点A左侧，
∴点B的横坐标为$-3-5=-8$，即$B(-8,4)$。
3. 代入反比例函数求k：
将$B(-8,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-8}$，解得$k=4×(-8)=-32$。
【答案】
$-32$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与菱形性质的综合基础题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质求出点B的坐标，再结合反比例函数的性质求解即可。
【难度系数】
0.7
