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三、解答题
1. 小刘驾车从A地到B地，每小时行驶75千米，刚好用了4小时，然后驾车返回.
(1)返回时车速为x(单位:千米/时),所用时间为y(单位:小时),写出y与x之间的函数解析式;
(2)因有紧急情况,小刘需在3小时内返回A地,那么,返回时车速至少是多少?
1. 小刘驾车从A地到B地，每小时行驶75千米，刚好用了4小时，然后驾车返回.
(1)返回时车速为x(单位:千米/时),所用时间为y(单位:小时),写出y与x之间的函数解析式;
(2)因有紧急情况,小刘需在3小时内返回A地,那么,返回时车速至少是多少?
答案
1. (1)$y=\dfrac{300}{x}$ (2)当y=3时,则有$3=\dfrac{300}{x}$,解得x=100,
∴返回时车速至少为每小时100千米.
∴返回时车速至少为每小时100千米.
解析
【分析】
解题时首先抓住往返A、B两地的路程不变这一核心条件：(1)先根据去程的速度和时间计算出A、B两地的总路程，再结合“路程=速度×时间”的行程公式，变形即可得到y与x的函数解析式；(2)已知返回时间不超过3小时，将y=3代入函数解析式求出对应的速度值，再结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x增大而减小），即可得到车速的最小值。
【解析】
(1) 先计算A地到B地的路程：
由路程=速度×时间，得$s=75×4=300$千米
返回时路程不变，因此$x· y=300$，整理得$y=\dfrac{300}{x}$（$x＞0$）
(2) 若要在3小时内返回，即$y≤3$，将$y=3$代入函数解析式得：
$3=\dfrac{300}{x}$
解得$x=100$
由于反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此要满足$y≤3$，需$x≥100$
即返回时车速至少为每小时100千米。
【答案】
(1)$y=\dfrac{300}{x}$；(2)返回时车速至少为每小时100千米
【知识点】
反比例函数解析式；反比例函数应用；行程数量关系
【点评】
本题结合日常行程场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系列函数式，再结合题意求解取值范围，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先抓住往返A、B两地的路程不变这一核心条件：(1)先根据去程的速度和时间计算出A、B两地的总路程，再结合“路程=速度×时间”的行程公式，变形即可得到y与x的函数解析式；(2)已知返回时间不超过3小时，将y=3代入函数解析式求出对应的速度值，再结合反比例函数的增减性（x＞0时，y随x增大而减小），即可得到车速的最小值。
【解析】
(1) 先计算A地到B地的路程：
由路程=速度×时间，得$s=75×4=300$千米
返回时路程不变，因此$x· y=300$，整理得$y=\dfrac{300}{x}$（$x＞0$）
(2) 若要在3小时内返回，即$y≤3$，将$y=3$代入函数解析式得：
$3=\dfrac{300}{x}$
解得$x=100$
由于反比例函数$y=\dfrac{300}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此要满足$y≤3$，需$x≥100$
即返回时车速至少为每小时100千米。
【答案】
(1)$y=\dfrac{300}{x}$；(2)返回时车速至少为每小时100千米
【知识点】
反比例函数解析式；反比例函数应用；行程数量关系
【点评】
本题结合日常行程场景考查反比例函数的应用，解题核心是抓住路程不变的等量关系列函数式，再结合题意求解取值范围，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图3,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x=6时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
答案
2. (1)由题意设$y=\dfrac{k}{x}$,把x=6,y=2代入,得k=6×2=12,
∴y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$. (2)把y=3代入$y=\dfrac{12}{x}$,得x=4.
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
∴y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$. (2)把y=3代入$y=\dfrac{12}{x}$,得x=4.
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的反比例函数，因此先设出反比例函数的一般形式$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入解析式，求出常数k的值，即可得到y关于x的函数解析式；（2）第二问已知像高y的值，将其代入第一问求出的函数解析式，解关于x的方程，就能得到小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设y关于x的反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得$2=\dfrac{k}{6}$，
解得$k=6×2=12$，
∴y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 把$y=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$3=\dfrac{12}{x}$，
解得$x=\dfrac{12}{3}=4$，
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) 4 cm
【知识点】
待定系数法，反比例函数求值，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合小孔成像现象考查反比例函数的基础应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及能根据函数值求解对应的自变量。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：（1）题目明确说明y是x的反比例函数，因此先设出反比例函数的一般形式$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的x、y对应值代入解析式，求出常数k的值，即可得到y关于x的函数解析式；（2）第二问已知像高y的值，将其代入第一问求出的函数解析式，解关于x的方程，就能得到小孔到蜡烛的距离。
【解析】
(1) 由题意，设y关于x的反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
将$x=6$，$y=2$代入解析式，得$2=\dfrac{k}{6}$，
解得$k=6×2=12$，
∴y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 把$y=3$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$3=\dfrac{12}{x}$，
解得$x=\dfrac{12}{3}=4$，
∴小孔到蜡烛的距离为4 cm。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) 4 cm
【知识点】
待定系数法，反比例函数求值，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合小孔成像现象考查反比例函数的基础应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及能根据函数值求解对应的自变量。
【难度系数】
0.8
3. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度. 密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中(如图4-1),浸入液体中的高度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm³)的反比例函数,其函数图象如图4-2所示(ρ＞0).
(1)求h与ρ之间的函数关系式;
(2)当液体密度ρ从1.5 g/cm³增加到2.5 g/cm³时,求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化,变化了多少厘米?
(1)求h与ρ之间的函数关系式;
(2)当液体密度ρ从1.5 g/cm³增加到2.5 g/cm³时,求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化,变化了多少厘米?
答案
3. (1)$h=\dfrac{30}{\rho}$ (2)当$\rho=2.5\ \mathrm{g/cm^3}$时,$h=\dfrac{30}{2.5}=12(\mathrm{cm})$,$20-12=8(\mathrm{cm})$,
∴密度计浸入该液体中的高度h减少了8 cm.
∴密度计浸入该液体中的高度h减少了8 cm.
解析
【分析】
(1) 题目明确说明浸入高度$h$是液体密度$\rho$的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k≠0$，$\rho＞0$）。从图象中可读取已知点坐标$(1.5,20)$，将该点代入所设解析式即可求出常数$k$，最终得到$h$与$\rho$的函数关系式。
(2) 要判断$\rho$从$1.5\ \mathrm{g/cm^3}$增加到$2.5\ \mathrm{g/cm^3}$时$h$的变化，先将$\rho=2.5$代入已求出的函数关系式，得到对应$h$的值，再与$\rho=1.5$时的$h=20\mathrm{cm}$作差，根据差值的正负判断高度是增加还是减少，同时得到变化量。
【解析】
(1) 设$h$与$\rho$的函数关系式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k≠0$，$\rho＞0$）。
由函数图象可知，图象过点$(1.5,20)$，将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式得：
$20=\frac{k}{1.5}$
解得$k=20×1.5=30$，因此$h$与$\rho$的函数关系式为$h=\frac{30}{\rho}$（$\rho＞0$）。
(2) 当$\rho=2.5\ \mathrm{g/cm^3}$时，代入$h=\frac{30}{\rho}$得：
$h=\frac{30}{2.5}=12\ \mathrm{cm}$
已知$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm^3}$时$h=20\ \mathrm{cm}$，则高度变化量为$20-12=8\ \mathrm{cm}$，即浸入高度减少了8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=\dfrac{30}{\rho}}$（$\rho＞0$）
(2) 密度计浸入该液体中的高度$h$减少了$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数求值
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及根据自变量取值求对应函数值，是数学知识在实际问题中的典型应用，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明浸入高度$h$是液体密度$\rho$的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k≠0$，$\rho＞0$）。从图象中可读取已知点坐标$(1.5,20)$，将该点代入所设解析式即可求出常数$k$，最终得到$h$与$\rho$的函数关系式。
(2) 要判断$\rho$从$1.5\ \mathrm{g/cm^3}$增加到$2.5\ \mathrm{g/cm^3}$时$h$的变化，先将$\rho=2.5$代入已求出的函数关系式，得到对应$h$的值，再与$\rho=1.5$时的$h=20\mathrm{cm}$作差，根据差值的正负判断高度是增加还是减少，同时得到变化量。
【解析】
(1) 设$h$与$\rho$的函数关系式为$h=\frac{k}{\rho}$（$k$为常数，$k≠0$，$\rho＞0$）。
由函数图象可知，图象过点$(1.5,20)$，将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式得：
$20=\frac{k}{1.5}$
解得$k=20×1.5=30$，因此$h$与$\rho$的函数关系式为$h=\frac{30}{\rho}$（$\rho＞0$）。
(2) 当$\rho=2.5\ \mathrm{g/cm^3}$时，代入$h=\frac{30}{\rho}$得：
$h=\frac{30}{2.5}=12\ \mathrm{cm}$
已知$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm^3}$时$h=20\ \mathrm{cm}$，则高度变化量为$20-12=8\ \mathrm{cm}$，即浸入高度减少了8cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{h=\dfrac{30}{\rho}}$（$\rho＞0$）
(2) 密度计浸入该液体中的高度$h$减少了$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数求值
【点评】
本题结合密度计的实际场景考查反比例函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及根据自变量取值求对应函数值，是数学知识在实际问题中的典型应用，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
