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三、解答题
17.根据下列要求画图.
（1）连接线段AB.
（2）画射线OA，射线OB.
（3）在线段AB上取一点C，在射线OA上取一点D（点C，点D均不与点A重合），画直线CD，使直线CD与射线OB交于点E.
17.根据下列要求画图.
（1）连接线段AB.
（2）画射线OA，射线OB.
（3）在线段AB上取一点C，在射线OA上取一点D（点C，点D均不与点A重合），画直线CD，使直线CD与射线OB交于点E.
答案
解：
按要求完成作图：
(1) 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
(2) 以点O为端点，分别经过点A、点B向远离点O的方向延伸，画出射线OA、射线OB；
(3) 在线段AB上A、B两点之间取一点C（不与点A重合），在射线OA上除点A外的位置取一点D，过点C、D画直线，该直线与射线OB的交点标记为E，最终得到的图形满足所有题设要求。
（注：作出的符合上述描述的图形均为正确答案）
按要求完成作图：
(1) 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；
(2) 以点O为端点，分别经过点A、点B向远离点O的方向延伸，画出射线OA、射线OB；
(3) 在线段AB上A、B两点之间取一点C（不与点A重合），在射线OA上除点A外的位置取一点D，过点C、D画直线，该直线与射线OB的交点标记为E，最终得到的图形满足所有题设要求。
（注：作出的符合上述描述的图形均为正确答案）
解析
【分析】
解题时首先要明确线段、射线、直线的核心特征：线段有2个端点，无法延伸；射线有1个端点，仅可向无端点一侧无限延伸；直线无端点，可向两侧无限延伸。随后按照题干顺序逐步操作即可：①画线段AB只需用直尺连接A、B两点，不要超出两点范围；②画射线OA、OB时要注意端点为O，分别过A、B向远离O的方向延伸，不能反向延长；③取点时注意C在线段AB上且不与A重合，D在射线OA上且不与A重合，过C、D画直线时要向两侧延伸，直到与射线OB相交，交点记为E。
【解析】
(1) 将直尺边缘对齐点A和点B，用铅笔沿直尺边缘连接A、B两点，得到以A、B为端点的线段AB；
(2) 以O为端点，将直尺边缘对齐O和A点，从O点出发沿O向A的方向向外延伸，画出射线OA；同理对齐O和B点，从O点出发沿O向B的方向向外延伸，画出射线OB；
(3) 在线段AB上A、B之间选取一点标注为C（不与A重合），在射线OA上选取除A以外的任意一点标注为D，将直尺对齐C、D两点，沿直尺边缘画出穿过C、D的直线，延伸该直线直到与射线OB相交，将交点标注为E，完成全部作图。
【答案】
按要求完成作图即可，符合以下描述均为正确：(1) 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；(2) 以点O为端点，分别经过点A、点B向远离点O的方向延伸，画出射线OA、射线OB；(3) 在线段AB上A、B两点之间取一点C（不与点A重合），在射线OA上除点A外的位置取一点D，过点C、D画直线，该直线与射线OB的交点标记为E。
【知识点】
1. 线段射线直线的概念
2. 基础几何作图
【点评】
本题是基础几何作图题，主要考查对线段、射线、直线特征的理解与应用，作图时只要注意区分三类线的端点、延伸方向的差异，严格遵守题干对点位的限制要求，就能顺利完成。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确线段、射线、直线的核心特征：线段有2个端点，无法延伸；射线有1个端点，仅可向无端点一侧无限延伸；直线无端点，可向两侧无限延伸。随后按照题干顺序逐步操作即可：①画线段AB只需用直尺连接A、B两点，不要超出两点范围；②画射线OA、OB时要注意端点为O，分别过A、B向远离O的方向延伸，不能反向延长；③取点时注意C在线段AB上且不与A重合，D在射线OA上且不与A重合，过C、D画直线时要向两侧延伸，直到与射线OB相交，交点记为E。
【解析】
(1) 将直尺边缘对齐点A和点B，用铅笔沿直尺边缘连接A、B两点，得到以A、B为端点的线段AB；
(2) 以O为端点，将直尺边缘对齐O和A点，从O点出发沿O向A的方向向外延伸，画出射线OA；同理对齐O和B点，从O点出发沿O向B的方向向外延伸，画出射线OB；
(3) 在线段AB上A、B之间选取一点标注为C（不与A重合），在射线OA上选取除A以外的任意一点标注为D，将直尺对齐C、D两点，沿直尺边缘画出穿过C、D的直线，延伸该直线直到与射线OB相交，将交点标注为E，完成全部作图。
【答案】
按要求完成作图即可，符合以下描述均为正确：(1) 用直尺连接点A和点B，得到线段AB；(2) 以点O为端点，分别经过点A、点B向远离点O的方向延伸，画出射线OA、射线OB；(3) 在线段AB上A、B两点之间取一点C（不与点A重合），在射线OA上除点A外的位置取一点D，过点C、D画直线，该直线与射线OB的交点标记为E。
【知识点】
1. 线段射线直线的概念
2. 基础几何作图
【点评】
本题是基础几何作图题，主要考查对线段、射线、直线特征的理解与应用，作图时只要注意区分三类线的端点、延伸方向的差异，严格遵守题干对点位的限制要求，就能顺利完成。
【难度系数】
0.9
18.计算.
(1) $90° - 35°41'$.
(2) $15°36'18'' ×6$.
(3) $109°23'18'' ÷3$.
(1) $90° - 35°41'$.
(2) $15°36'18'' ×6$.
(3) $109°23'18'' ÷3$.
答案
(1)$54°19'$ (2)$93°37'48''$ (3)$36°27'46''$
解析
【分析】
度分秒的运算采用60进制，即1°=60'，1'=60''，解题时根据不同运算规则处理：
(1) 减法运算：被减数的分位不够减时，需要向度位借1°当60'，再分别对应度、分位相减；
(2) 乘法运算：分别用度、分、秒乘乘数，再从秒位开始按满60进1的规则向上一级进位；
(3) 除法运算：从度位开始依次除以除数，每一级的余数转化为下一级单位，和原下一级的数值相加后再继续除。
【解析】
(1) 先将$90°$改写为$89°60'$（借1°为60'）：
$90° - 35°41' = 89°60' - 35°41' = (89-35)° + (60-41)' = 54°19'$
(2) 分别计算度、分、秒乘6的结果，再逐级进位：
$15°×6=90°$，$36'×6=216'$，$18''×6=108''$
先换算秒：$108''=1'48''$，将1'进位到分位，得$216'+1'=217'$
再换算分：$217'=3°37'$，将3°进位到度位，得$90°+3°=93°$
合并结果为$93°37'48''$
(3) 从度位开始逐级除，余数转下一级继续计算：
$109°÷3=36°\dots\dots1°$，将余数1°转化为60'，与原有23'相加得$60'+23'=83'$
$83'÷3=27'\dots\dots2'$，将余数2'转化为120''，与原有18''相加得$120''+18''=138''$
$138''÷3=46''$
合并结果为$36°27'46''$
【答案】
(1)$54°19'$ (2)$93°37'48''$ (3)$36°27'46''$
【知识点】
度分秒的进制、度分秒加减运算、度分秒乘除运算
【点评】
本题核心是掌握度分秒的60进制运算规则，注意减法借位、乘除法进位和余数换算的细节，避免和十进制运算规则混淆，熟练掌握换算方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
度分秒的运算采用60进制，即1°=60'，1'=60''，解题时根据不同运算规则处理：
(1) 减法运算：被减数的分位不够减时，需要向度位借1°当60'，再分别对应度、分位相减；
(2) 乘法运算：分别用度、分、秒乘乘数，再从秒位开始按满60进1的规则向上一级进位；
(3) 除法运算：从度位开始依次除以除数，每一级的余数转化为下一级单位，和原下一级的数值相加后再继续除。
【解析】
(1) 先将$90°$改写为$89°60'$（借1°为60'）：
$90° - 35°41' = 89°60' - 35°41' = (89-35)° + (60-41)' = 54°19'$
(2) 分别计算度、分、秒乘6的结果，再逐级进位：
$15°×6=90°$，$36'×6=216'$，$18''×6=108''$
先换算秒：$108''=1'48''$，将1'进位到分位，得$216'+1'=217'$
再换算分：$217'=3°37'$，将3°进位到度位，得$90°+3°=93°$
合并结果为$93°37'48''$
(3) 从度位开始逐级除，余数转下一级继续计算：
$109°÷3=36°\dots\dots1°$，将余数1°转化为60'，与原有23'相加得$60'+23'=83'$
$83'÷3=27'\dots\dots2'$，将余数2'转化为120''，与原有18''相加得$120''+18''=138''$
$138''÷3=46''$
合并结果为$36°27'46''$
【答案】
(1)$54°19'$ (2)$93°37'48''$ (3)$36°27'46''$
【知识点】
度分秒的进制、度分秒加减运算、度分秒乘除运算
【点评】
本题核心是掌握度分秒的60进制运算规则，注意减法借位、乘除法进位和余数换算的细节，避免和十进制运算规则混淆，熟练掌握换算方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
19.如图，线段$AB=75\ \mathrm{cm}$，点$M$在$AB$上，$AM:BM=1:4$，$P$为$AM$的中点，点$Q$在$BM$上，$BQ=2MQ$，求$PQ$的长。
答案
因为 $AB=75\ \mathrm{cm},AM:BM=1:4$，
所以 $AM=15\ \mathrm{cm},BM=60\ \mathrm{cm}$.
因为 $P$ 为 $AM$ 的中点,所以 $PM=\frac{1}{2}AM=7.5\ \mathrm{cm}$.
因为 $BQ=2MQ,BM=60\ \mathrm{cm},$所以 $MQ=20\ \mathrm{cm}$，
所以 $PQ=PM+MQ=7.5+20=27.5(\mathrm{cm})$.
所以 $AM=15\ \mathrm{cm},BM=60\ \mathrm{cm}$.
因为 $P$ 为 $AM$ 的中点,所以 $PM=\frac{1}{2}AM=7.5\ \mathrm{cm}$.
因为 $BQ=2MQ,BM=60\ \mathrm{cm},$所以 $MQ=20\ \mathrm{cm}$，
所以 $PQ=PM+MQ=7.5+20=27.5(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解题时先从已知的线段总长度和AM、BM的比例关系入手，先分别求出AM、BM的长度；再结合P是AM中点的条件，求出PM的长度；接着根据BQ和MQ的数量关系，结合BM的长度求出MQ的长度；最后观察PQ由PM和MQ两段组成，将两段长度相加即可得到PQ的长。
【解析】
解：$\because AB=75\ \mathrm{cm}$，$AM:BM=1:4$，
$\therefore AM=75×\frac{1}{1+4}=15\ \mathrm{cm}$，$BM=75-15=60\ \mathrm{cm}$，
$\because P$为$AM$的中点，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×15=7.5\ \mathrm{cm}$，
$\because BQ=2MQ$，且$BM=MQ+BQ$，
$\therefore BM=MQ+2MQ=3MQ=60\ \mathrm{cm}$，
解得$MQ=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=PM+MQ=7.5+20=27.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$27.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、比例线段计算
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题核心是结合已知的比例关系、中点性质逐步求出组成目标线段的各分段长度，再求和得到结果，解题时理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的线段总长度和AM、BM的比例关系入手，先分别求出AM、BM的长度；再结合P是AM中点的条件，求出PM的长度；接着根据BQ和MQ的数量关系，结合BM的长度求出MQ的长度；最后观察PQ由PM和MQ两段组成，将两段长度相加即可得到PQ的长。
【解析】
解：$\because AB=75\ \mathrm{cm}$，$AM:BM=1:4$，
$\therefore AM=75×\frac{1}{1+4}=15\ \mathrm{cm}$，$BM=75-15=60\ \mathrm{cm}$，
$\because P$为$AM$的中点，
$\therefore PM=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}×15=7.5\ \mathrm{cm}$，
$\because BQ=2MQ$，且$BM=MQ+BQ$，
$\therefore BM=MQ+2MQ=3MQ=60\ \mathrm{cm}$，
解得$MQ=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PQ=PM+MQ=7.5+20=27.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$27.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的性质、比例线段计算
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，解题核心是结合已知的比例关系、中点性质逐步求出组成目标线段的各分段长度，再求和得到结果，解题时理清各线段之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
20.如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它的南偏东$50°$方向上.同时,在它的北偏东$60°$、西北(西偏北$45°$)方向上又分别发现了客轮B和海岛C.
(1)仿照表示灯塔方位的方法,分别画出客轮B和海岛C方向的射线.
(2)另一货轮D在平面内所组成的$∠ AOD$与$∠ AOB$互为补角,请画出货轮D方向的射线并写出其所在的方位角.
(1)仿照表示灯塔方位的方法,分别画出客轮B和海岛C方向的射线.
(2)另一货轮D在平面内所组成的$∠ AOD$与$∠ AOB$互为补角,请画出货轮D方向的射线并写出其所在的方位角.
答案
(1)如图所示:射线 OB 和射线 OC 即为所求.
(2)如图所示:射线 $OD_1$ 和射线 $OD_2$ 即为所求.
货轮 D 所在的方位角为南偏西 $60°$或北偏东 $20°$.
解析
【分析】
本题考查方位角与补角的综合应用。(1) 解决第一问需明确方位角的表示规则：上北下南左西右东，结合给出的北偏东60°、西偏北45°的角度要求，以O为顶点，对应方向为始边旋转指定角度画出射线即可。(2) 解决第二问首先要计算出∠AOB的度数，再根据补角定义（和为180°的两个角互为补角）得到∠AOD的度数，分射线OD在OA两侧两种情况讨论，计算对应方位角即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 以点O为顶点，正北方向为始边，向东旋转60°画射线OB，即为客轮B的方向射线；以点O为顶点，正北方向为始边，向西旋转45°画射线OC，即为海岛C的方向射线。
(2) 第一步：计算∠AOB的度数。正北与正南方向的夹角为平角180°，已知A在南偏东50°，B在北偏东60°，因此$∠ AOB=180° - 50° - 60°=70°$。
第二步：根据补角定义求$∠ AOD$的度数。因为$∠ AOD$与$∠ AOB$互为补角，所以$∠ AOD=180° - 70°=110°$。
第三步：分两种情况确定D的方位：
① 当OD在OA的西侧时：OA与正南方向夹角为50°，因此OD与正南方向的夹角为$110° - 50°=60°$，即此时D在南偏西60°方向，对应射线$OD_1$；
② 当OD在OA的北侧时：OA与正东方向夹角为$90° - 50°=40°$，因此OD与正东方向夹角为$110° - 40°=70°$，换算为正北方向为始边的角度为$90° - 70°=20°$，即此时D在北偏东20°方向，对应射线$OD_2$。
【答案】
(1)如图所示:射线 OB 和射线 OC 即为所求.
(2)如图所示:射线 $OD_1$ 和射线 $OD_2$ 即为所求.
货轮 D 所在的方位角为南偏西 $60°$或北偏东 $20°$.
【知识点】
方位角的认识，补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题紧密结合生活中的航行场景考查几何知识应用，重点需要掌握方位角的规范表示，在求解不确定位置的角时要注意分类讨论，避免遗漏另一种符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
本题考查方位角与补角的综合应用。(1) 解决第一问需明确方位角的表示规则：上北下南左西右东，结合给出的北偏东60°、西偏北45°的角度要求，以O为顶点，对应方向为始边旋转指定角度画出射线即可。(2) 解决第二问首先要计算出∠AOB的度数，再根据补角定义（和为180°的两个角互为补角）得到∠AOD的度数，分射线OD在OA两侧两种情况讨论，计算对应方位角即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 以点O为顶点，正北方向为始边，向东旋转60°画射线OB，即为客轮B的方向射线；以点O为顶点，正北方向为始边，向西旋转45°画射线OC，即为海岛C的方向射线。
(2) 第一步：计算∠AOB的度数。正北与正南方向的夹角为平角180°，已知A在南偏东50°，B在北偏东60°，因此$∠ AOB=180° - 50° - 60°=70°$。
第二步：根据补角定义求$∠ AOD$的度数。因为$∠ AOD$与$∠ AOB$互为补角，所以$∠ AOD=180° - 70°=110°$。
第三步：分两种情况确定D的方位：
① 当OD在OA的西侧时：OA与正南方向夹角为50°，因此OD与正南方向的夹角为$110° - 50°=60°$，即此时D在南偏西60°方向，对应射线$OD_1$；
② 当OD在OA的北侧时：OA与正东方向夹角为$90° - 50°=40°$，因此OD与正东方向夹角为$110° - 40°=70°$，换算为正北方向为始边的角度为$90° - 70°=20°$，即此时D在北偏东20°方向，对应射线$OD_2$。
【答案】
(1)如图所示:射线 OB 和射线 OC 即为所求.
(2)如图所示:射线 $OD_1$ 和射线 $OD_2$ 即为所求.
货轮 D 所在的方位角为南偏西 $60°$或北偏东 $20°$.
【知识点】
方位角的认识，补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题紧密结合生活中的航行场景考查几何知识应用，重点需要掌握方位角的规范表示，在求解不确定位置的角时要注意分类讨论，避免遗漏另一种符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
