21.如图①，将一副直角三角尺的顶点叠放在点A处，$∠ BAC=60°$，$∠ DAE=45°$，保持三角尺ABC不动，三角尺AED绕点A顺时针旋转，旋转角度小于$180°$.
(1)如图②，当AD是$∠ EAC$的平分线时，直接写出$∠ DAB$的度数.
(2)在旋转过程中，当$∠ EAB$和$∠ DAC$互余时，求$∠ BAD$的度数.

(1)$15°$.
(2)设$∠BAD=α$,分两种情况讨论：
①如图①,当$∠EAB$ 和$∠DAC$ 互余时,则$∠BAE=45°-α,∠CAD=60°-α$,
所以 $45°-α+60°-α=90°,$解得 $α=7.5°$；
②如图②,当$∠EAB$ 和$∠DAC$ 互余时,则$∠BAE=α-45°,∠CAD=α-60°$,
所以 $α-45°+α-60°=90°,$解得 $α=97.5°$.

综上所述,当$∠EAB$ 和$∠DAC$ 互余时,$∠BAD$ 的度数为 $7.5°$或 $97.5°$.

【分析】
(1) 首先明确两个直角三角尺的固定角度：∠DAE=45°，∠BAC=60°。当AD是∠EAC的平分线时，根据角平分线定义可得∠DAC=∠DAE=45°，再根据角的和差关系，用∠BAC减去∠DAC即可求出∠DAB的度数。
(2) 设∠BAD=α，旋转过程中根据三角尺AED的位置不同分为两种情况：①当旋转角度较小时，分别用含α的式子表示出∠EAB和∠DAC，再根据两个角互余（和为90°）列方程求解；②当旋转角度较大时，再次用含α的式子表示出∠EAB和∠DAC，根据互余关系列方程求解，最后验证解是否满足旋转角小于180°的条件即可。
【解析】
(1) 已知∠DAE=45°，AD平分∠EAC，根据角平分线的定义，得∠DAC=∠DAE=45°。
又因为∠BAC=60°，所以∠DAB=∠BAC - ∠DAC = 60° - 45° = 15°。
(2) 设∠BAD=α，分两种情况讨论：
① 当旋转角度较小，AE在AB左侧、AD在∠BAC内部时：
∠BAE = 45° - α，∠CAD = 60° - α，
因为∠EAB和∠DAC互余，所以∠EAB + ∠DAC = 90°，
即$45°-α+60°-α=90°$，解得 $α=7.5°$，符合旋转角度小于180°的要求。
② 当旋转角度较大，AD、AE均在AB右侧时：
∠BAE = α - 45°，∠CAD = α - 60°，
因为∠EAB和∠DAC互余，所以∠EAB + ∠DAC = 90°，
即$α-45°+α-60°=90°$，解得 $α=97.5°$，符合旋转角度小于180°的要求。
综上所述，当∠EAB和∠DAC互余时，∠BAD的度数为7.5°或97.5°。
【答案】
(1)$15°$.
(2)当$∠EAB$ 和$∠DAC$ 互余时,$∠BAD$ 的度数为 $7.5°$或 $97.5°$.

【知识点】
角的和差计算，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题结合三角尺的旋转考查角度计算，解题时需要准确分析旋转过程中角的位置关系，运用分类讨论思想避免漏解，同时要注意题目给出的旋转角度范围，排除不符合条件的解。
【难度系数】
0.6

22.如图，C为线段AB上任意一点，若M为线段AC的中点，N为线段CB的中点.

(1)图中有 条线段.
(2)根据解决问题(1)的经验，直接回答下列问题.
武广高铁连通湖北、湖南、广东三省，北起武汉站，南至广州南站，中途共停靠15个车站.在这段路线上往返行驶的火车，需要印制 种二等座火车票.
(3)图中线段MN与AB的数量关系是 .
(4)类比以上问题及解决思路，请结合角的相关知识，提出两个新问题，并给出相应的结论.

(1)10
(2)272
(3)$MN=\frac{1}{2}AB$
(4)如图,OC 为$∠AOB$ 内任意一条射线,若射线 OM 平分$∠AOC$,射线 ON 平分$∠BOC$.

①图中有 10 个角；
②图中$∠MON$ 与$∠AOB$ 的数量关系是$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$.
结论:①图中有 10 个角;②$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$.

【分析】
(1) 先明确线段AB上共有A、M、C、N、B共5个端点，数线段既可以按“单线段→组合线段”的顺序逐一计数，也可以用n个端点对应线段总数为$\frac{n(n-1)}{2}$的公式直接计算。
(2) 先算总站点数：起点、终点加中途15个站共17个站，火车票有方向（往返是不同票种），因此总票种数=站点数×(站点数-1)，代入数值计算即可。
(3) 利用线段中点的性质，将MN拆分为MC与CN的和，分别用AC、CB表示MC和CN，再结合AC+CB=AB，即可推导出MN和AB的数量关系。
(4) 类比线段的问题模型，将线段替换为角、线段中点替换为角平分线，即可提出对应的角的计数、角的数量关系类问题，沿用线段问题的解题思路就能推导得到结论。
【解析】
(1) 图中线段上共有5个端点，按组合计数：
单条小线段有4条：AM、MC、CN、NB；
两条线段组合有3条：AC、MN、MB；
三条线段组合有2条：AN、CB；
四条线段组合有1条：AB；
总条数为$4+3+2+1=10$条。
(2) 总站点数为$15+2=17$个，往返车票有方向差异，因此需要印制的车票总数为：
$17×(17-1)=17×16=272$种。
(3)
∵M是线段AC的中点，
∴$MC=\frac{1}{2}AC$，
∵N是线段CB的中点，
∴$CN=\frac{1}{2}CB$，
又
∵$MN=MC+CN$，$AC+CB=AB$，
∴$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(AC+CB)=\frac{1}{2}AB$。
(4) 类比线段问题可提出以下问题及对应结论：
已知OC为$∠AOB$内任意一条射线，射线OM平分$∠AOC$，射线ON平分$∠BOC$。
①问题：图中共有多少个角？结论：图中有10个角；
②问题：$∠MON$与$∠AOB$的数量关系是什么？结论：$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$。
【答案】
(1)10
(2)272
(3)$MN=\frac{1}{2}AB$
(4)如图,OC 为$∠AOB$ 内任意一条射线,若射线 OM 平分$∠AOC$,射线 ON 平分$∠BOC$.①图中有 10 个角；②图中$∠MON$ 与$∠AOB$ 的数量关系是$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$。结论:①图中有 10 个角;②$∠MON=\frac{1}{2}∠AOB$。
【知识点】
线段计数；线段中点性质；类比推理
【点评】
本题结合基础几何概念、实际应用和类比探究考查，既检验学生对线段、角相关基础知识的掌握程度，也引导学生建立知识迁移思维，学会将同一类问题的解法推广到相似模型中。
【难度系数】
0.7