23.已知 O 是直线 AB 上的一点，$∠ COD$ 是直角，OE 平分$∠ BOC$.
(1)如图①，若$∠ AOC＝30°$，求$∠ DOE$ 的度数.
(2)在图①中，若$∠ AOC＝α$，则$∠ DOE$ 的度数为（用含$α$ 的代数式表示）.
(3)将图①中的$∠ COD$ 绕顶点 O 顺时针旋转至图②的位置，请探究$∠ AOC$ 和$∠ DOE$ 的度数之间的数量关系，写出结论，并说明理由.

(1)因为$∠BOC=180°-∠AOC=150°$，
又因为$∠COD$ 是直角,OE 平分$∠BOC$，
所以$∠DOE=∠COD-\frac{1}{2}∠BOC=90°-\frac{1}{2}×150°=15°$.
(2)$\frac{1}{2}α$
(3)$∠AOC=2∠DOE$.
理由如下：
因为$∠COD$ 是直角,OE 平分$∠BOC$，
所以$∠COE=∠BOE=90°-∠DOE$.
所以$∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2(90°-∠DOE)$.
所以$∠AOC=2∠DOE$.

【分析】
(1) 首先根据“O是直线AB上的点”可得∠AOB为180°平角，已知∠AOC的度数，用平角减去∠AOC即可求出∠BOC的度数；再结合OE平分∠BOC，可求出∠COE的度数；最后根据∠COD是90°直角，用∠COD减去∠COE即可得到∠DOE的度数。
(2) 将(1)中∠AOC=30°替换为∠AOC=α，沿用(1)的推导逻辑，即可用含α的代数式表示∠DOE的度数。
(3) 探究旋转后的数量关系时，先根据角平分线定义得到∠COE=∠BOE，再结合∠COD是直角，将∠COE用∠DOE表示；最后根据∠AOC=180°-∠BOC，代入化简即可得到两角的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ O是直线AB上的点，
∴ $∠ AOB=180°$
∴ $∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-30°=150°$
∵ $∠ COD$是直角，
∴ $∠ COD=90°$
∵ OE平分$∠ BOC$，
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×150°=75°$
∴ $∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-75°=15°$
(2) 解：当$∠ AOC=α$时，$∠ BOC=180°-α$
∵ OE平分$∠ BOC$，
∴ $∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{1}{2}α$
∵ $∠ COD=90°$
∴ $∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$
(3) 结论：$∠ AOC=2∠ DOE$，理由如下：
∵ $∠ COD$是直角，
∴ $∠ COD=90°$，则$∠ COE=∠ COD-∠ DOE=90°-∠ DOE$
∵ OE平分$∠ BOC$，
∴ $∠ BOC=2∠ COE=2(90°-∠ DOE)$
∵ O是直线AB上的点，$∠ AOB=180°$
∴ $∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-2(90°-∠ DOE)=2∠ DOE$
【答案】
(1) $15°$；(2) $\frac{1}{2}α$；(3) $∠ AOC=2∠ DOE$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；平角与直角的性质
【点评】
本题是角的计算类典型题型，从特殊角度计算到一般代数式表达，再到旋转后探究角的数量关系，层层递进，解题核心是准确梳理角与角之间的和差、倍分关系，熟练运用角平分线、平角、直角的性质即可求解。
【难度系数】
0.7

24.如图,已知 A,B,C 是数轴上三点,点 C 表示的数为 6,$BC=4$,$AB=12$.
(1)分别写出数轴上点 A,B 表示的数.
(2)动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点 Q 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若 M 为 AP 的中点,点 N 在线段 CQ 上,且 $CN=\frac{1}{3}CQ$,设运动时间为 $t\ \mathrm{s}(t＞0)$.
①分别写出数轴上点 M,N 表示的数(用含 t 的式子表示);
②t 为何值时,原点 O 恰为线段 PQ 的中点?

(1)$-10$ 2
(2)①依题意 $AP=6t,CQ=3t$.
因为 M 是 AP 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AP=3t$.
所以点 M 在数轴上表示的数是$-10+3t$.
因为点 N 在 CQ 上,$CN=\frac{1}{3}CQ$，
所以 $CN=t$,所以点 N 在数轴上表示的数是 $6-t$.
②分两种情况：
a.当点 P 在点 O 的左侧,点 Q 在点 O 的右侧时,$OP=10-6t,OQ=6-3t$.
因为 O 为 PQ 的中点,所以 $OP=OQ$,所以 $10-6t=6-3t$,所以 $t=\frac{4}{3}$；
b.当点 P 在点 O 的右侧,点 Q 在点 O 的左侧时,$OP=6t-10,OQ=3t-6$.
因为 O 为 PQ 的中点,所以 $OP=OQ$,所以 $6t-10=3t-6$,所以 $t=\frac{4}{3}$.
此时 $AP=8＜10$,不符合题意,舍去.
综上所述,当$t=\frac{4}{3}$时,O 是 PQ 的中点.

【分析】
(1) 先求点B表示的数：点B在点C左侧，用点C表示的数减去BC的长度即可；再求点A表示的数：点A在点B左侧，用点B表示的数减去AB的长度即可。
(2) ①先根据“路程=速度×时间”得到AP、CQ的长度，M是AP中点，可推出AM的长度，用点A表示的数加AM的长度就是点M表示的数；根据$CN=\frac{1}{3}CQ$推出CN的长度，用点C表示的数减CN的长度就是点N表示的数。
②原点是PQ中点说明P、Q到原点的距离相等且在原点两侧，分两种情况列方程求解，再验证解是否符合对应情况的位置要求，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 已知点C表示的数为6，$BC=4$，且B在C左侧，因此点B表示的数为：$6-4=2$；
又$AB=12$，A在B左侧，因此点A表示的数为：$2-12=-10$。
(2) ①由题意得，$t$秒后点P的运动路程$AP=6t$，点Q的运动路程$CQ=3t$。
因为M为AP的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AP=3t$，点M在A右侧3t个单位，因此点M表示的数为：$-10+3t$；
因为$CN=\frac{1}{3}CQ$，所以$CN=\frac{1}{3}×3t=t$，点N在C左侧t个单位，因此点N表示的数为：$6-t$。
②分两种情况讨论：
a. 当点P在原点左侧，点Q在原点右侧时：
$OP=10-6t$，$OQ=6-3t$，因为O是PQ中点，所以$OP=OQ$，列方程：
$10-6t=6-3t$，解得$t=\frac{4}{3}$。
b. 当点P在原点右侧，点Q在原点左侧时：
$OP=6t-10$，$OQ=3t-6$，因为O是PQ中点，所以$OP=OQ$，列方程：
$6t-10=3t-6$，解得$t=\frac{4}{3}$，此时$AP=6×\frac{4}{3}=8＜10$，说明点P仍在原点左侧，不符合该情况前提，舍去。
综上，$t=\frac{4}{3}$时原点O为线段PQ的中点。
【答案】
(1) 点A表示的数为$\boldsymbol{-10}$，点B表示的数为$\boldsymbol{2}$；
(2) ①点M表示的数为$\boldsymbol{-10+3t}$，点N表示的数为$\boldsymbol{6-t}$；
②当$\boldsymbol{t=\dfrac{4}{3}}$时，原点O恰为线段PQ的中点。
【知识点】
数轴的应用，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查数轴上点的表示、动点位置的规律以及方程思想的应用，解题的关键是能够用含t的代数式准确表示各动点对应的数，同时要注意对动点的位置分类讨论，求出解后要验证是否符合对应的位置前提，避免错解。
【难度系数】
0.6