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9.如图，$∠ AOC = 90°$, $ON$ 是锐角$∠ COD$的平分线，$OM$ 是$∠ AOD$的平分线，那么$∠ MON$的大小是(
A.$\frac{1}{2}∠ COD + 45°$
B.$90°$
C.$\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$45°$
D
).A.$\frac{1}{2}∠ COD + 45°$
B.$90°$
C.$\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$45°$
答案
D
解析:因为 ON 是锐角∠COD 的平分线，
所以$∠CON=\frac{1}{2}∠COD$.
因为 OM 是$∠AOD$的平分线，
所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}(∠AOC+∠COD)=45°+∠CON$.
所以$∠COM=∠AOC-∠AOM=90°-(45°+∠CON)=45°-∠CON$.
所以$∠MON=∠COM+∠CON=45°-∠CON+∠CON=45°$.
解析:因为 ON 是锐角∠COD 的平分线，
所以$∠CON=\frac{1}{2}∠COD$.
因为 OM 是$∠AOD$的平分线，
所以$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}(∠AOC+∠COD)=45°+∠CON$.
所以$∠COM=∠AOC-∠AOM=90°-(45°+∠CON)=45°-∠CON$.
所以$∠MON=∠COM+∠CON=45°-∠CON+∠CON=45°$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件回忆角平分线的性质：角平分线会把一个角分成两个相等的角。要求∠MON的度数，我们可以将其拆分为∠COM与∠CON的和，接下来分别用已知的∠AOC（90°）和角平分线的关系表示出这两个角，最后通过化简消去未知的∠COD相关的量，就能得到∠MON的定值。
【解析】
解：
∵ON是锐角∠COD的平分线，
∴$∠CON=\frac{1}{2}∠COD$。
∵OM是∠AOD的平分线，
∴$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOD$。
又
∵$∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD$，
∴$∠AOM=\frac{1}{2}(90°+∠COD)=45°+\frac{1}{2}∠COD=45°+∠CON$。
则$∠COM=∠AOC-∠AOM=90°-(45°+∠CON)=45°-∠CON$。
∴$∠MON=∠COM+∠CON=(45°-∠CON)+∠CON=45°$。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，解题核心是利用角平分线的性质表示相关角，通过合理拆分所求角，将未知角转化为已知角与公共角的组合，最终消去公共角得到结果，是角运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件回忆角平分线的性质：角平分线会把一个角分成两个相等的角。要求∠MON的度数，我们可以将其拆分为∠COM与∠CON的和，接下来分别用已知的∠AOC（90°）和角平分线的关系表示出这两个角，最后通过化简消去未知的∠COD相关的量，就能得到∠MON的定值。
【解析】
解：
∵ON是锐角∠COD的平分线，
∴$∠CON=\frac{1}{2}∠COD$。
∵OM是∠AOD的平分线，
∴$∠AOM=\frac{1}{2}∠AOD$。
又
∵$∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD$，
∴$∠AOM=\frac{1}{2}(90°+∠COD)=45°+\frac{1}{2}∠COD=45°+∠CON$。
则$∠COM=∠AOC-∠AOM=90°-(45°+∠CON)=45°-∠CON$。
∴$∠MON=∠COM+∠CON=(45°-∠CON)+∠CON=45°$。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义 2.角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，解题核心是利用角平分线的性质表示相关角，通过合理拆分所求角，将未知角转化为已知角与公共角的组合，最终消去公共角得到结果，是角运算部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.若$∠ α$和$∠ β$互补，且$∠ α ＞ ∠ β$，则下列式子中可以表示$∠ β$的余角的是(
①$90° - ∠ β$；②$∠ α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β)$；④$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$.
A.①②
B.②④
C.①②③
D.①②④
D
).①$90° - ∠ β$；②$∠ α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β)$；④$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$.
A.①②
B.②④
C.①②③
D.①②④
答案
D
解析
【分析】
解题前先明确两个核心定义：1. 互余的两个角和为90°，因此∠β的余角本质是等于90°-∠β的角；2. 互补的两个角和为180°，题中已知∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°。解题思路为：先根据余角定义直接判断①，再将∠α=180°-∠β分别代入②③④的式子中，变形后看是否等于90°-∠β，即可判断对错。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角定义可得：
$∠ α + ∠ β = 180°$，即$∠ α = 180° - ∠ β$。
根据余角定义，$∠ β$的余角为$90° - ∠ β$，因此①正确。
接下来验证其余式子：
1. 验证②：将$∠ α = 180° - ∠ β$代入$∠ α - 90°$，得
$∠ α - 90° = 180° - ∠ β - 90° = 90° - ∠ β$，符合余角要求，②正确。
2. 验证③：$\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，$90°$不是$∠ β$的余角，③错误。
3. 验证④：将$∠ α = 180° - ∠ β$代入$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$，得
$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β) = \frac{1}{2}(180° - ∠ β - ∠ β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠ β) = 90° - ∠ β$，符合余角要求，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的运算
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的性质，通过等量代换将式子变形后与余角的标准形式对比即可判断，需要注意不要混淆互补和互余的角度和。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个核心定义：1. 互余的两个角和为90°，因此∠β的余角本质是等于90°-∠β的角；2. 互补的两个角和为180°，题中已知∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°。解题思路为：先根据余角定义直接判断①，再将∠α=180°-∠β分别代入②③④的式子中，变形后看是否等于90°-∠β，即可判断对错。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角定义可得：
$∠ α + ∠ β = 180°$，即$∠ α = 180° - ∠ β$。
根据余角定义，$∠ β$的余角为$90° - ∠ β$，因此①正确。
接下来验证其余式子：
1. 验证②：将$∠ α = 180° - ∠ β$代入$∠ α - 90°$，得
$∠ α - 90° = 180° - ∠ β - 90° = 90° - ∠ β$，符合余角要求，②正确。
2. 验证③：$\frac{1}{2}(∠ α + ∠ β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，$90°$不是$∠ β$的余角，③错误。
3. 验证④：将$∠ α = 180° - ∠ β$代入$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β)$，得
$\frac{1}{2}(∠ α - ∠ β) = \frac{1}{2}(180° - ∠ β - ∠ β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠ β) = 90° - ∠ β$，符合余角要求，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角的运算
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，解题关键是熟练掌握余角、补角的性质，通过等量代换将式子变形后与余角的标准形式对比即可判断，需要注意不要混淆互补和互余的角度和。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.如图，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，其道理是
11.如图，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，其道理是
两点之间,线段最短
。答案
两点之间,线段最短
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：首先确定两个固定点，起点是学校A，终点是书店B；再对比两条路线的形式：①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号路线是需要拐弯的折线；最后回忆线段的相关基本性质，就能得出对应的原理。
【解析】
观察路线可知：①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号路线是折线，折线的总长度明显大于连接两点的线段的长度。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，因此从学校A到书店B最近的路线是①号路线，对应的道理就是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间,线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对线段基本性质的理解与应用，能够让学生感受到数学知识与日常生活的紧密联系。
【难度系数】
0.9
解决这道题可按以下思路思考：首先确定两个固定点，起点是学校A，终点是书店B；再对比两条路线的形式：①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号路线是需要拐弯的折线；最后回忆线段的相关基本性质，就能得出对应的原理。
【解析】
观察路线可知：①号路线是直接连接A、B两点的线段，②号路线是折线，折线的总长度明显大于连接两点的线段的长度。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，因此从学校A到书店B最近的路线是①号路线，对应的道理就是两点之间，线段最短。
【答案】
两点之间,线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查对线段基本性质的理解与应用，能够让学生感受到数学知识与日常生活的紧密联系。
【难度系数】
0.9
12.根据下列多面体的平面展开图,填写多面体的名称.
(1)
学校A ②
(1)
长方体
(2)三棱柱
(3)圆柱
学校A ②
答案
(1)长方体 (2)三棱柱 (3)圆柱
解析
【分析】
我们可以结合常见立体图形平面展开图的特征逐一判断：首先回忆各类几何体展开图的组成规律，棱柱的展开图由侧面的若干个矩形和上下两个相同的多边形底面组成，底面是几边形就是几棱柱；圆柱的展开图由侧面的1个矩形和上下两个相同的圆形底面组成，据此对应分析三个展开图即可。
【解析】
(1) 第一个展开图由6个两两相对且大小相等的矩形组成，符合长方体的平面展开图特征，对应几何体为长方体；
(2) 第二个展开图的侧面是3个矩形，上下底面是两个全等的三角形，符合三棱柱的展开图特点，对应几何体为三棱柱；
(3) 第三个展开图由1个矩形和2个全等的圆形组成，矩形是圆柱的侧面展开部分，两个圆是圆柱的上下底面，对应几何体为圆柱。
【答案】
(1)长方体 (2)三棱柱 (3)圆柱
【知识点】
立体图形展开图、棱柱特征、圆柱特征
【点评】
本题考查常见立体图形和其平面展开图的对应关系，属于基础类考题，牢记各类几何体展开图的典型特征就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
我们可以结合常见立体图形平面展开图的特征逐一判断：首先回忆各类几何体展开图的组成规律，棱柱的展开图由侧面的若干个矩形和上下两个相同的多边形底面组成，底面是几边形就是几棱柱；圆柱的展开图由侧面的1个矩形和上下两个相同的圆形底面组成，据此对应分析三个展开图即可。
【解析】
(1) 第一个展开图由6个两两相对且大小相等的矩形组成，符合长方体的平面展开图特征，对应几何体为长方体；
(2) 第二个展开图的侧面是3个矩形，上下底面是两个全等的三角形，符合三棱柱的展开图特点，对应几何体为三棱柱；
(3) 第三个展开图由1个矩形和2个全等的圆形组成，矩形是圆柱的侧面展开部分，两个圆是圆柱的上下底面，对应几何体为圆柱。
【答案】
(1)长方体 (2)三棱柱 (3)圆柱
【知识点】
立体图形展开图、棱柱特征、圆柱特征
【点评】
本题考查常见立体图形和其平面展开图的对应关系，属于基础类考题，牢记各类几何体展开图的典型特征就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
13.一个角的余角是这个角的补角的$\frac{1}{3}$，这个角的度数是
$45°$
。答案
$45°$
解析
【分析】
解题时先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据“余角是这个角补角的$\frac{1}{3}$”的等量关系列方程，求解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x° $，则它的余角为$ (90-x)° $，补角为$ (180-x)° $。
根据题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) $
方程两边同时乘3，得：
$ 270 - 3x = 180 - x $
移项，得：
$ -3x + x = 180 - 270 $
合并同类项，得：
$ -2x = -90 $
系数化为1，得：
$ x = 45 $
【答案】
$ 45° $
【知识点】
余角与补角的定义；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题型，核心考查余角、补角的概念，解题关键是根据题干给出的数量关系准确建立方程，计算难度低，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的余角和补角，再根据“余角是这个角补角的$\frac{1}{3}$”的等量关系列方程，求解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$ x° $，则它的余角为$ (90-x)° $，补角为$ (180-x)° $。
根据题意列方程：
$ 90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) $
方程两边同时乘3，得：
$ 270 - 3x = 180 - x $
移项，得：
$ -3x + x = 180 - 270 $
合并同类项，得：
$ -2x = -90 $
系数化为1，得：
$ x = 45 $
【答案】
$ 45° $
【知识点】
余角与补角的定义；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题型，核心考查余角、补角的概念，解题关键是根据题干给出的数量关系准确建立方程，计算难度低，掌握相关概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.在9时40分这一时刻,钟面上时针和分针的夹角为
50
度.答案
50 提示:时针每小时转动$30°$,每分钟转动$0.5°$.
解析
【分析】
解决钟面夹角问题，首先明确钟面的角度规律：钟面为周角360°，平均分为12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°（30°÷60）。解题时先分别计算该时刻时针、分针相对于12点整位置转过的总角度，再求两个角度的差（取小于180°的差值）即为所求夹角。
【解析】
1. 计算分针在40分时的总角度：
分针每分钟转6°，40分钟转过的角度为：$40 × 6° = 240°$
2. 计算9时40分时时针的总角度：
时针9小时转过的角度为：$9 × 30° = 270°$
40分钟时针额外转过的角度为：$40 × 0.5° = 20°$
时针总角度为：$270° + 20° = 290°$
3. 计算两者夹角：
两个角度的差值为$290° - 240° = 50°$，$50° ＜ 180°$，即为所求夹角。
【答案】
50
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是钟面角的基础常考题，解题核心是熟练掌握时针、分针的转动速度，分别计算两者的位置角度后求差即可，掌握通用解法后可以轻松解决所有钟面夹角类问题。
【难度系数】
0.8
解决钟面夹角问题，首先明确钟面的角度规律：钟面为周角360°，平均分为12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转动6°（360°÷60），时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°（30°÷60）。解题时先分别计算该时刻时针、分针相对于12点整位置转过的总角度，再求两个角度的差（取小于180°的差值）即为所求夹角。
【解析】
1. 计算分针在40分时的总角度：
分针每分钟转6°，40分钟转过的角度为：$40 × 6° = 240°$
2. 计算9时40分时时针的总角度：
时针9小时转过的角度为：$9 × 30° = 270°$
40分钟时针额外转过的角度为：$40 × 0.5° = 20°$
时针总角度为：$270° + 20° = 290°$
3. 计算两者夹角：
两个角度的差值为$290° - 240° = 50°$，$50° ＜ 180°$，即为所求夹角。
【答案】
50
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是钟面角的基础常考题，解题核心是熟练掌握时针、分针的转动速度，分别计算两者的位置角度后求差即可，掌握通用解法后可以轻松解决所有钟面夹角类问题。
【难度系数】
0.8
15.如图,在长方形纸片ABCD中,E为边AD上一点,将纸片沿BE折叠,点A落在点A'的位置,将纸片沿CE折叠,点D落在点D'的位置.若∠A'ED'=10°,则∠BEC的度数是
$85°$
.答案
$85°$
解析
【分析】
本题属于折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，再结合平角为180°的性质，梳理各角之间的和差关系即可求解。首先根据折叠得到两组相等的角，再结合平角的定义和已知的∠A'ED'的度数，推导得出∠BEC的计算式。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
$∠ AEB = ∠ A'EB$，$∠ DEC = ∠ D'EC$
∵点E在AD上，$∠ AED$是平角，即$∠ AEB + ∠ BEC + ∠ DEC = 180°$
又
∵$∠ BEC = ∠ A'EB + ∠ D'EC - ∠ A'ED'$（$∠ A'ED'$是$∠ A'EB$和$∠ D'EC$的重叠部分，求和时需减去重复计算的部分）
代入$∠ AEB = ∠ A'EB$，$∠ DEC = ∠ D'EC$，可得：
$∠ AEB + ∠ DEC = ∠ BEC + ∠ A'ED'$
将上式代入平角的等式：
$∠ BEC + ∠ A'ED' + ∠ BEC = 180°$
已知$∠ A'ED' = 10°$，代入得：
$2∠ BEC + 10° = 180°$
解得：$∠ BEC = \frac{180° - 10°}{2} = 85°$
【答案】
$85°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的常规题型，解题关键是准确把握折叠前后对应角相等的性质，理清重叠角的数量关系，结合平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于折叠类角度计算问题，解题核心是利用折叠的性质：折叠前后对应角相等，再结合平角为180°的性质，梳理各角之间的和差关系即可求解。首先根据折叠得到两组相等的角，再结合平角的定义和已知的∠A'ED'的度数，推导得出∠BEC的计算式。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
$∠ AEB = ∠ A'EB$，$∠ DEC = ∠ D'EC$
∵点E在AD上，$∠ AED$是平角，即$∠ AEB + ∠ BEC + ∠ DEC = 180°$
又
∵$∠ BEC = ∠ A'EB + ∠ D'EC - ∠ A'ED'$（$∠ A'ED'$是$∠ A'EB$和$∠ D'EC$的重叠部分，求和时需减去重复计算的部分）
代入$∠ AEB = ∠ A'EB$，$∠ DEC = ∠ D'EC$，可得：
$∠ AEB + ∠ DEC = ∠ BEC + ∠ A'ED'$
将上式代入平角的等式：
$∠ BEC + ∠ A'ED' + ∠ BEC = 180°$
已知$∠ A'ED' = 10°$，代入得：
$2∠ BEC + 10° = 180°$
解得：$∠ BEC = \frac{180° - 10°}{2} = 85°$
【答案】
$85°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的常规题型，解题关键是准确把握折叠前后对应角相等的性质，理清重叠角的数量关系，结合平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为－2和6，数轴上的点C满足AC＝BC，点D在线段AC的延长线上.若AD＝$\frac{3}{2}$AC，则BD＝
2
，点D表示的数为4
.答案
2 4
解析:因为 A,B 两点表示的数分别为−2 和 6，
所以$AB=6-(-2)=8$.
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$.
所以$AD=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}×4=6$.
所以$OD=AD-OA=6-2=4$，
所以$BD=6-4=2$，
点 D 表示的数是 4.
解析:因为 A,B 两点表示的数分别为−2 和 6，
所以$AB=6-(-2)=8$.
所以$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$.
所以$AD=\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}×4=6$.
所以$OD=AD-OA=6-2=4$，
所以$BD=6-4=2$，
点 D 表示的数是 4.
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上A、B两点对应的数计算出AB的总长度；由AC=BC可知点C是线段AB的中点，即可求出AC的长度；再根据AD=$\frac{3}{2}$AC算出AD的长度，结合A点表示的数即可求出D点表示的数，最后计算B点和D点的距离得到BD的长度。
【解析】
解：已知数轴上A、B两点表示的数分别为-2和6，
首先计算AB的长度：$AB = 6 - (-2) = 8$，
因为$AC=BC$，说明点C是AB的中点，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
由$AD=\frac{3}{2}AC$，代入AC的长度可得：$AD=\frac{3}{2}×4=6$，
点A表示的数是-2，点D在AC的延长线上，因此点D表示的数为$-2 + 6 = 4$，
则BD的长度为$6 - 4 = 2$。
【答案】
2；4
【知识点】
数轴两点距离计算；线段中点定义；线段和差计算
【点评】
本题是数轴与线段计算结合的基础题型，解题的核心是先求出线段AB的长度，再结合中点性质和已知的线段比例关系逐步推导，熟练掌握数轴上点与数的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据数轴上A、B两点对应的数计算出AB的总长度；由AC=BC可知点C是线段AB的中点，即可求出AC的长度；再根据AD=$\frac{3}{2}$AC算出AD的长度，结合A点表示的数即可求出D点表示的数，最后计算B点和D点的距离得到BD的长度。
【解析】
解：已知数轴上A、B两点表示的数分别为-2和6，
首先计算AB的长度：$AB = 6 - (-2) = 8$，
因为$AC=BC$，说明点C是AB的中点，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
由$AD=\frac{3}{2}AC$，代入AC的长度可得：$AD=\frac{3}{2}×4=6$，
点A表示的数是-2，点D在AC的延长线上，因此点D表示的数为$-2 + 6 = 4$，
则BD的长度为$6 - 4 = 2$。
【答案】
2；4
【知识点】
数轴两点距离计算；线段中点定义；线段和差计算
【点评】
本题是数轴与线段计算结合的基础题型，解题的核心是先求出线段AB的长度，再结合中点性质和已知的线段比例关系逐步推导，熟练掌握数轴上点与数的对应关系是解题的前提。
【难度系数】
0.8
