19.定义一种新运算，规律如下：
$2\varPhi 3=2× 5-3=7$；$3\varPhi (-1)=3× 5+1=16$；$(-4)\varPhi (-3)=(-4)× 5+3=-17$。
(1)$a\varPhi b=$。
(2)计算$(-2)\varPhi 8$。

19.(1)$5a-b$
(2)由(1)可知$(-2)\varPhi 8=-2×5-8=-18$.

【分析】
（1）推导新运算$a\varPhi b$的表达式时，先观察给出的3个运算示例，对比等号左右的数字关系：$\varPhi$前面的数乘5，再减去$\varPhi$后面的数，即可得到运算结果，据此就能归纳出通用运算公式。
（2）计算$(-2)\varPhi 8$时，直接把$a=-2$、$b=8$代入第（1）问得到的通用公式，按照有理数混合运算规则计算即可，注意负数运算的符号不要出错。
【解析】
（1）观察已知运算：
$2\varPhi 3=2×5 - 3$，
$3\varPhi (-1)=3×5 - (-1)=3×5+1$，
$(-4)\varPhi (-3)=(-4)×5 - (-3)=(-4)×5+3$，
由此归纳可得通用规律：$a\varPhi b=5a - b$。
（2）将$a=-2$，$b=8$代入$a\varPhi b=5a - b$得：
$(-2)\varPhi 8=5×(-2) - 8=-10 - 8=-18$。
【答案】
(1)$5a-b$；(2)$-18$
【知识点】
定义新运算；有理数的混合运算
【点评】
本题重点考查规律归纳能力和有理数运算的准确性，解题关键是正确总结新运算的转化规则，计算时注意符号处理即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

20.若$|x|=3$，$|y|=1$，且$|x+y|=x+y$，求$2x-y$的值.

20.因为$|x|=3,|y|=1$,所以$x=3$或$x=-3,y=1$或$y=-1$.
因为$|x+y|=x+y$,所以$x+y≥0$.
当$x=3,y=1$时,$2x-y=5$;当$x=3,y=-1$时,$2x-y=7$.
综上所述,$2x-y=5$或$7$.

【分析】
解题时可分三步思考：第一步，根据绝对值的定义，先确定x和y所有可能的取值；第二步，结合$|x+y|=x+y$的条件，回忆“非负数的绝对值等于它本身”的性质，得出$x+y≥0$，用这个约束条件筛选掉不符合要求的x、y取值组合；第三步，将剩下的符合条件的x、y分别代入$2x-y$计算，最后汇总所有结果即可。
【解析】
解：$\because |x|=3,|y|=1$，
$\therefore x=\pm3,y=\pm1$。
又$\because |x+y|=x+y$，
$\therefore x+y≥0$，据此筛选取值：
①当$x=3,y=1$时，$x+y=3+1=4≥0$，符合要求，此时$2x-y=2×3 -1=5$；
②当$x=3,y=-1$时，$x+y=3+(-1)=2≥0$，符合要求，此时$2x-y=2×3 -(-1)=7$；
③当$x=-3,y=1$时，$x+y=-3+1=-2＜0$，不符合要求，舍去；
④当$x=-3,y=-1$时，$x+y=-3+(-1)=-4＜0$，不符合要求，舍去。
综上所述，$2x-y$的值为5或7。
【答案】
5或7
【知识点】
绝对值的性质；分类讨论；代数式求值
【点评】
本题核心考查绝对值性质的应用，解题的关键是先罗列出所有可能的取值，再结合约束条件筛选符合题意的组合，分类讨论时要注意做到不重不漏，避免出现漏解或者多算不符合要求的解的错误。
【难度系数】
0.7

21.观察下面三行数.
-2,4,-8,16,-32,64,…；
-4,2,-10,14,-34,62,…；
4,-8,16,-32,64,-128,….
(1)第一行的第n个数是，第二行的第n个数是，第三行的第n个数是.(n为正整数，用含n的式子表示)
(2)取每行的第100个数，计算这三个数的和.

21.(1)$(-2)^n$ $(-2)^n-2$ $(-2)×(-2)^n$ 或$(-2)^{n+1}$
(2)取每行的第100个数,计算这三个数的和为$-2$.

【分析】
解决第(1)问时，先观察第一行数的特征：符号正负交替，绝对值是2的正整数次幂，即可推导出第一行第n个数的表达式；再对比第二行、第三行与第一行相同位置的数，发现第二行每个数比第一行对应数小2，第三行每个数是第一行对应数的-2倍，由此可推导后两行第n个数的表达式。解决第(2)问时，将n=100分别代入第(1)问得到的三个表达式，再利用乘方的性质化简求和即可。
【解析】
(1) 观察第一行数字：
第1个数$-2=(-2)^1$，第2个数$4=(-2)^2$，第3个数$-8=(-2)^3$，……，因此第一行第n个数为$\boldsymbol{(-2)^n}$；
对比第二行与第一行同位置的数：
第1个数$-4=(-2)^1-2$，第2个数$2=(-2)^2-2$，第3个数$-10=(-2)^3-2$，……，因此第二行第n个数为$\boldsymbol{(-2)^n - 2}$；
对比第三行与第一行同位置的数：
第1个数$4=(-2)×(-2)^1=(-2)^{1+1}$，第2个数$-8=(-2)×(-2)^2=(-2)^{2+1}$，第3个数$16=(-2)×(-2)^3=(-2)^{3+1}$，……，因此第三行第n个数为$\boldsymbol{(-2)^{n+1}}$。
(2) 当$n=100$时：
第一行第100个数：$(-2)^{100}=2^{100}$
第二行第100个数：$(-2)^{100}-2=2^{100}-2$
第三行第100个数：$(-2)^{100+1}=(-2)^{101}=-2^{101}$
三个数的和为：
$\begin{aligned}&2^{100}+(2^{100}-2)+(-2^{101})\\=&2^{100}+2^{100}-2-2^{101}\\=&2×2^{100}-2-2^{101}\\=&2^{101}-2-2^{101}\\=&-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(-2)^n$；$(-2)^n -2$；$(-2)^{n+1}$
(2)$-2$
【知识点】
数字规律探究，乘方的运算，整式的加减
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题关键是先找到基准行（第一行）的数字规律，再通过对比得到其余行和基准行的数量关系，计算时需注意负数乘方的符号判断，既考察观察归纳能力，也考察基础运算能力。
【难度系数】
0.7

22.有若干个数,第1个数记为$a_1$,第2个数记为$a_2$,第3个数记为$a_3$……第$n$个数记为$a_n$.若$a_1=-\dfrac{1}{2}$,从第2个数起,每一个数都是“1”与它前面那个数的差的倒数.
(1)直接写出$a_2,a_3,a_4$的值.
(2)根据以上结果,计算$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2025}+a_{2026}$.

22.(1)因为 $a_1=-\dfrac{1}{2}$,从第二个数起,每一个数都是“1”与它前面那个数的差的倒数，
所以 $a_2=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{2}{3},a_3=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}=3,a_4=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$.
(2)因为 $a_1=-\dfrac{1}{2},a_2=\dfrac{2}{3},a_3=3,a_4=-\dfrac{1}{2},\dots$,
所以这列数每3个数为一组循环.
因为 $2\ 026÷3=675(组)\dots\dots1$,
所以 $a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2\ 025}+a_{2\ 026}=675×(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+3)-\dfrac{1}{2}=2\ 137$.

【分析】
(1)第一问直接依据题目给出的运算规则计算即可：已知$a_1$的值，按照“后一个数是1与前一个数的差的倒数”的要求，依次代入计算就能得到$a_2,a_3,a_4$的值。
(2)第二问先观察前4个数的结果，可发现$a_4=a_1$，说明数列存在周期循环规律，周期为3。先算出一个周期内三个数的和，再计算2026个数中包含多少个完整周期、余下几个数，最后用周期数乘单个周期的和加上余下数的数值，即可得到最终的求和结果。
【解析】
(1) 由题意得，$a_1=-\dfrac{1}{2}$，从第2个数起，每个数都是1与它前一个数的差的倒数，因此：
$a_2=\dfrac{1}{1-a_1}=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{2}{3}$
$a_3=\dfrac{1}{1-a_2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}=3$
$a_4=\dfrac{1}{1-a_3}=\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$
(2) 由(1)的计算结果可知，$a_4=a_1$，因此这列数每3个数为一个周期循环，循环的三个数为$-\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},3$。
单个周期的和为：$-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+3=\dfrac{19}{6}$
计算2026对应的周期数和余数：$2026÷3=675$（组）$\dots\dots1$（个），即包含675个完整周期，余下的1个数为周期的第一个数$-\dfrac{1}{2}$。
因此总和为：
$675×\dfrac{19}{6}+(-\dfrac{1}{2})=2137.5-0.5=2137$
【答案】
(1) $a_2=\dfrac{2}{3},a_3=3,a_4=-\dfrac{1}{2}$；(2) $2137$
【知识点】
新定义运算，数字周期规律，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心是先根据给定的新运算规则算出前几项数值，找到数列的循环周期，再利用周期简化多数据的求和计算，解题时要注意有理数运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7