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23. $|x_1 -1| + |x_2 -2| + |x_3 -3| + \dots + |x_{2025} -2025| + |x_{2026} -2026|=0$,求$2^{x_1} -2^{x_2} -2^{x_3} - \dots -2^{x_{2025}} +2^{x_{2026}}$的值.
答案
23.因为$|x_1-1|+|x_2-2|+|x_3-3|+\dots+|x_{2\ 025}-2\ 025|+|x_{2\ 026}-2\ 026|=0$,
所以 $x_1=1,x_2=2,x_3=3,\dots,x_{2\ 025}=2\ 025,x_{2\ 026}=2\ 026$,
所以 $2^{x_1}-2^{x_2}-2^{x_3}-\dots-2^{x_{2\ 025}}+2^{x_{2\ 026}}$
$=2-2^2-2^3-\dots-2^{2\ 025}+2^{2\ 026}$
$=2^{2\ 026}-2^{2\ 025}-\dots-2^3-2^2+2$
$=2^{2\ 025}-2^{2\ 024}-\dots-2^3-2^2+2$
$=2^{2\ 024}-2^{2\ 023}-\dots-2^3-2^2+2$
$\dots$
$=2^2+2$
$=4+2$
$=6$.
所以 $x_1=1,x_2=2,x_3=3,\dots,x_{2\ 025}=2\ 025,x_{2\ 026}=2\ 026$,
所以 $2^{x_1}-2^{x_2}-2^{x_3}-\dots-2^{x_{2\ 025}}+2^{x_{2\ 026}}$
$=2-2^2-2^3-\dots-2^{2\ 025}+2^{2\ 026}$
$=2^{2\ 026}-2^{2\ 025}-\dots-2^3-2^2+2$
$=2^{2\ 025}-2^{2\ 024}-\dots-2^3-2^2+2$
$=2^{2\ 024}-2^{2\ 023}-\dots-2^3-2^2+2$
$\dots$
$=2^2+2$
$=4+2$
$=6$.
解析
【分析】
首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。当多个非负数相加和为0时，只有每一个非负数都为0，和才能为0，因此可推出每个绝对值内的式子都等于0，求出所有xₙ的值。再将xₙ的值代入所求代数式，观察式子中乘方项的特点，从最高次项开始逐步计算：2^(n+1)-2^n=2^n，按此规律依次化简，最终就能算出结果。
【解析】
解：
∵$\left|x_1-1\right|+\left|x_2-2\right|+\left|x_3-3\right|+\dots +\left|x_{2025}-2025\right|+\left|x_{2026}-2026\right|=0$，
根据绝对值的非负性，可得每一项绝对值都为0，
即$x_1=1,x_2=2,x_3=3,\dots,x_{2025}=2025,x_{2026}=2026$，
将上述值代入所求代数式：
$\begin{split}&2^{x_1}-2^{x_2}-2^{x_3}-\dots -2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}\\=&2-2^2-2^3-\dots -2^{2025}+2^{2026}\\=&2^{2026}-2^{2025}-\dots -2^3-2^2+2\\=&2^{2025}-2^{2024}-\dots -2^3-2^2+2\\=&2^{2024}-2^{2023}-\dots -2^3-2^2+2\\&\dots\\=&2^2+2\\=&4+2\\=&6\end{split}$
【答案】
6
【知识点】
绝对值的非负性；乘方运算；代数式求值
【点评】
本题结合绝对值性质与乘方运算规律进行考查，解题关键是先利用非负数的性质求出各未知数的值，再通过观察乘方项的特征逐步化简，能很好地锻炼学生的观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。当多个非负数相加和为0时，只有每一个非负数都为0，和才能为0，因此可推出每个绝对值内的式子都等于0，求出所有xₙ的值。再将xₙ的值代入所求代数式，观察式子中乘方项的特点，从最高次项开始逐步计算：2^(n+1)-2^n=2^n，按此规律依次化简，最终就能算出结果。
【解析】
解：
∵$\left|x_1-1\right|+\left|x_2-2\right|+\left|x_3-3\right|+\dots +\left|x_{2025}-2025\right|+\left|x_{2026}-2026\right|=0$，
根据绝对值的非负性，可得每一项绝对值都为0，
即$x_1=1,x_2=2,x_3=3,\dots,x_{2025}=2025,x_{2026}=2026$，
将上述值代入所求代数式：
$\begin{split}&2^{x_1}-2^{x_2}-2^{x_3}-\dots -2^{x_{2025}}+2^{x_{2026}}\\=&2-2^2-2^3-\dots -2^{2025}+2^{2026}\\=&2^{2026}-2^{2025}-\dots -2^3-2^2+2\\=&2^{2025}-2^{2024}-\dots -2^3-2^2+2\\=&2^{2024}-2^{2023}-\dots -2^3-2^2+2\\&\dots\\=&2^2+2\\=&4+2\\=&6\end{split}$
【答案】
6
【知识点】
绝对值的非负性；乘方运算；代数式求值
【点评】
本题结合绝对值性质与乘方运算规律进行考查，解题关键是先利用非负数的性质求出各未知数的值，再通过观察乘方项的特征逐步化简，能很好地锻炼学生的观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65
24.在线段 AB 上,先在点 A 处标注 0,在点 B 处标注 2 010,称为第一次操作;然后在 AB 的中点 C 处标注$\frac{0+2010}{2}=1005$,称为第二次操作;又分别在得到的线段 AC,BC 的中点 D,E 处标注对应线段两端所标注的数的和的一半,即$\frac{0+1005}{2}$与$\frac{1005+2010}{2}$,称为第三次操作.依次下去,那么经过十一次操作之后,在线段 AB 上所标注的所有数的和是多少?
答案
24.通过分析发现:第二次操作之后,会将线段 AB 分成 2 条相等的小线段;第三次操作之后,会将线段 AB 分成$2^2$条相等的小线段;第四次操作之后,会将线段 AB 分成$2^3$条相等的小线段.依次下去,操作十一次之后,会将线段 AB 分成$2^{10}$条相等的小线段,其各分点代表的数依次为$\dfrac{1}{2^{10}}×2\ 010,\dfrac{2}{2^{10}}×2\ 010,\dots,\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}×2\ 010$,端点 B 代表的数可写成$\dfrac{2^{10}}{2^{10}}×2\ 010$.
所以,所有数的和为$\dfrac{1}{2^{10}}×2\ 010+\dfrac{2}{2^{10}}×2\ 010+\dots+\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}×2\ 010+\dfrac{2^{10}}{2^{10}}×2\ 010=\dfrac{2\ 010}{2^{10}}×(1+2+3+\dots+2^{10})=\dfrac{2\ 010}{2^{10}}×\dfrac{(1+2^{10})×2^{10}}{2}=\dfrac{2\ 010×1\ 025}{2}=1\ 030\ 125$.
所以,所有数的和为$\dfrac{1}{2^{10}}×2\ 010+\dfrac{2}{2^{10}}×2\ 010+\dots+\dfrac{2^{10}-1}{2^{10}}×2\ 010+\dfrac{2^{10}}{2^{10}}×2\ 010=\dfrac{2\ 010}{2^{10}}×(1+2+3+\dots+2^{10})=\dfrac{2\ 010}{2^{10}}×\dfrac{(1+2^{10})×2^{10}}{2}=\dfrac{2\ 010×1\ 025}{2}=1\ 030\ 125$.
解析
【分析】
我们可以从简单的操作入手找规律：第一次操作只有A、B两个端点，线段AB被分成1段；第二次操作添加中点后分成2段；第三次操作添加2个中点后分成4段，不难发现第n次操作后，线段AB被分成$2^{n-1}$段。经过11次操作后，所有标注的数是从0到2010均匀分布的一列数，属于等差数列，我们只需要确定这列数的项数，再用等差数列求和公式就能算出总和。
【解析】
1. 找操作次数与分段数的规律
第1次操作后，AB被分成$2^0=1$段；
第2次操作后，AB被分成$2^1=2$段；
第3次操作后，AB被分成$2^2=4$段；
……
以此类推，第n次操作后，AB被分成$2^{n-1}$段；
因此第11次操作后，AB被分成$2^{11-1}=2^{10}=1024$段。
2. 确定所有标注的数
每段长度为$\frac{2010}{1024}$，因此所有标注的数依次为：
$0,\frac{1}{1024}×2010,\frac{2}{1024}×2010,\dots,\frac{1024}{1024}×2010$，共1025个数。
3. 计算所有数的和
总和$S=0+\frac{2010}{1024}×1+\frac{2010}{1024}×2+\dots+\frac{2010}{1024}×1024$
提取公因式得：$S=\frac{2010}{1024}×(1+2+3+\dots+1024)$
根据等差数列求和公式$1+2+\dots+n=\frac{(1+n)n}{2}$，代入$n=1024$得：
$1+2+\dots+1024=\frac{(1+1024)×1024}{2}$
代入计算：
$S=\frac{2010}{1024}×\frac{1025×1024}{2}=\frac{2010×1025}{2}=1005×1025=1030125$
【答案】
1030125
【知识点】
规律探究，等差数列求和，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类综合题，需要通过观察前几次操作的特征总结通用规律，再将图形标注问题转化为数列求和问题，对观察归纳能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
我们可以从简单的操作入手找规律：第一次操作只有A、B两个端点，线段AB被分成1段；第二次操作添加中点后分成2段；第三次操作添加2个中点后分成4段，不难发现第n次操作后，线段AB被分成$2^{n-1}$段。经过11次操作后，所有标注的数是从0到2010均匀分布的一列数，属于等差数列，我们只需要确定这列数的项数，再用等差数列求和公式就能算出总和。
【解析】
1. 找操作次数与分段数的规律
第1次操作后，AB被分成$2^0=1$段；
第2次操作后，AB被分成$2^1=2$段；
第3次操作后，AB被分成$2^2=4$段；
……
以此类推，第n次操作后，AB被分成$2^{n-1}$段；
因此第11次操作后，AB被分成$2^{11-1}=2^{10}=1024$段。
2. 确定所有标注的数
每段长度为$\frac{2010}{1024}$，因此所有标注的数依次为：
$0,\frac{1}{1024}×2010,\frac{2}{1024}×2010,\dots,\frac{1024}{1024}×2010$，共1025个数。
3. 计算所有数的和
总和$S=0+\frac{2010}{1024}×1+\frac{2010}{1024}×2+\dots+\frac{2010}{1024}×1024$
提取公因式得：$S=\frac{2010}{1024}×(1+2+3+\dots+1024)$
根据等差数列求和公式$1+2+\dots+n=\frac{(1+n)n}{2}$，代入$n=1024$得：
$1+2+\dots+1024=\frac{(1+1024)×1024}{2}$
代入计算：
$S=\frac{2010}{1024}×\frac{1025×1024}{2}=\frac{2010×1025}{2}=1005×1025=1030125$
【答案】
1030125
【知识点】
规律探究，等差数列求和，有理数运算
【点评】
本题属于规律探究类综合题，需要通过观察前几次操作的特征总结通用规律，再将图形标注问题转化为数列求和问题，对观察归纳能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
