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13.已知$x$，$y$互为倒数，且它们的绝对值相等，则$(-x)^n - y^n$的值为
$-2或0或2$
.答案
13.$-2或0或2$
解析
【分析】
解题时先从题目给出的两个条件入手：①x、y互为倒数，可推出xy=1；②x、y绝对值相等，可推出|x|=|y|。先结合这两个条件求出x、y的具体取值，再观察所求式子$(-x)^n - y^n$，因为乘方的符号和指数n的奇偶性有关，所以需要分情况讨论n为奇数、偶数的情况，分别计算不同情况下的结果，最后汇总所有可能的值。
【解析】
解：
∵x，y互为倒数，且绝对值相等
∴$\begin{cases}xy=1 \\ |x|=|y|\end{cases}$
将$y=\frac{1}{x}$代入$|x|=|y|$得$|x|=|\frac{1}{x}|$，即$x^2=1$
解得$x=1$或$x=-1$
对应得：当$x=1$时，$y=1$；当$x=-1$时，$y=-1$
分情况计算$(-x)^n - y^n$：
1. 当$x=1,y=1$时，原式=$(-1)^n - 1^n$
若n为偶数：$(-1)^n=1$，$1^n=1$，则原式$=1-1=0$
若n为奇数：$(-1)^n=-1$，$1^n=1$，则原式$=-1-1=-2$
2. 当$x=-1,y=-1$时，原式=$[-(-1)]^n - (-1)^n=1^n - (-1)^n$
若n为偶数：$1^n=1$，$(-1)^n=1$，则原式$=1-1=0$
若n为奇数：$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，则原式$=1-(-1)=2$
综上，$(-x)^n - y^n$的值为-2或0或2。
【答案】
$-2或0或2$
【知识点】
倒数的定义；绝对值的性质；乘方的符号规律
【点评】
本题需要运用分类讨论思想求解，既要先根据已知条件确定x、y的所有可能取值，也要注意乘方运算中指数的奇偶性对结果符号的影响，避免漏算可能的结果。
【难度系数】
0.6
解题时先从题目给出的两个条件入手：①x、y互为倒数，可推出xy=1；②x、y绝对值相等，可推出|x|=|y|。先结合这两个条件求出x、y的具体取值，再观察所求式子$(-x)^n - y^n$，因为乘方的符号和指数n的奇偶性有关，所以需要分情况讨论n为奇数、偶数的情况，分别计算不同情况下的结果，最后汇总所有可能的值。
【解析】
解：
∵x，y互为倒数，且绝对值相等
∴$\begin{cases}xy=1 \\ |x|=|y|\end{cases}$
将$y=\frac{1}{x}$代入$|x|=|y|$得$|x|=|\frac{1}{x}|$，即$x^2=1$
解得$x=1$或$x=-1$
对应得：当$x=1$时，$y=1$；当$x=-1$时，$y=-1$
分情况计算$(-x)^n - y^n$：
1. 当$x=1,y=1$时，原式=$(-1)^n - 1^n$
若n为偶数：$(-1)^n=1$，$1^n=1$，则原式$=1-1=0$
若n为奇数：$(-1)^n=-1$，$1^n=1$，则原式$=-1-1=-2$
2. 当$x=-1,y=-1$时，原式=$[-(-1)]^n - (-1)^n=1^n - (-1)^n$
若n为偶数：$1^n=1$，$(-1)^n=1$，则原式$=1-1=0$
若n为奇数：$1^n=1$，$(-1)^n=-1$，则原式$=1-(-1)=2$
综上，$(-x)^n - y^n$的值为-2或0或2。
【答案】
$-2或0或2$
【知识点】
倒数的定义；绝对值的性质；乘方的符号规律
【点评】
本题需要运用分类讨论思想求解，既要先根据已知条件确定x、y的所有可能取值，也要注意乘方运算中指数的奇偶性对结果符号的影响，避免漏算可能的结果。
【难度系数】
0.6
14.由四舍五入法得到的近似数$1.304× 10^{4}$，精确到
十
位。答案
14.十
解析
【分析】
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为原数，再找到近似数中最后一位数字在原数中对应的数位，该数位就是这个近似数精确到的数位。本题先把$1.304×10^4$还原成普通整数，再定位数字4的位置即可求解。
【解析】
首先将$1.304×10^4$还原为原数：
$1.304×10^4 = 1.304×10000 = 13040$
观察近似数$1.304×10^4$的最后一位有效数字是4，在原数13040中，数字4对应的数位是十位，因此该近似数精确到十位。
【答案】
十
【知识点】
近似数的精确度；科学记数法
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是误将科学记数法中小数部分的千分位当成精确到的数位，解题关键是牢记需先还原科学记数法表示的数，再匹配对应数位判断。
【难度系数】
0.8
要判断用科学记数法表示的近似数精确到哪一位，首先需要将科学记数法还原为原数，再找到近似数中最后一位数字在原数中对应的数位，该数位就是这个近似数精确到的数位。本题先把$1.304×10^4$还原成普通整数，再定位数字4的位置即可求解。
【解析】
首先将$1.304×10^4$还原为原数：
$1.304×10^4 = 1.304×10000 = 13040$
观察近似数$1.304×10^4$的最后一位有效数字是4，在原数13040中，数字4对应的数位是十位，因此该近似数精确到十位。
【答案】
十
【知识点】
近似数的精确度；科学记数法
【点评】
本题是近似数精确度判断的常见题型，易错点是误将科学记数法中小数部分的千分位当成精确到的数位，解题关键是牢记需先还原科学记数法表示的数，再匹配对应数位判断。
【难度系数】
0.8
15.△表示一种运算，它的含义是 $x△ y=\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+1)(y+A)}$。已知 $2△1=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{(2+1)(1+A)}=\frac{2}{3}$，那么 $2025△2026$ 的值是
$\dfrac{2}{4\ 104\ 675}$
。答案
解析:因为 $2△1=\dfrac{1}{2×1}+\dfrac{1}{(2+1)(1+A)}=\dfrac{2}{3}$,
所以$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3×(1+A)}=\dfrac{2}{3}$.所以 $A=1$.
所以 $2\ 025△2\ 026=\dfrac{1}{2\ 025×2\ 026}+\dfrac{1}{(2\ 025+1)×(2\ 026+1)}$
$=\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 026}+\dfrac{1}{2\ 026}-\dfrac{1}{2\ 027}=\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 027}=\dfrac{2}{4\ 104\ 675}$.
所以$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3×(1+A)}=\dfrac{2}{3}$.所以 $A=1$.
所以 $2\ 025△2\ 026=\dfrac{1}{2\ 025×2\ 026}+\dfrac{1}{(2\ 025+1)×(2\ 026+1)}$
$=\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 026}+\dfrac{1}{2\ 026}-\dfrac{1}{2\ 027}=\dfrac{1}{2\ 025}-\dfrac{1}{2\ 027}=\dfrac{2}{4\ 104\ 675}$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题分两步进行：第一步，利用已知的$2△1=\frac{2}{3}$的条件，将$x=2、y=1$代入新定义的运算公式，得到含参数$A$的一元一次方程，解出$A$的取值；第二步，把求得的$A$值、$x=2025、y=2026$代入运算公式，观察得到的两个分数的分母都是相邻两个整数的乘积，可利用裂项相消的方法简化计算，避免大数直接相乘的复杂运算。
【解析】
解：已知$2△1=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{(2+1)(1+A)}=\frac{2}{3}$，
化简等式得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+A)}=\frac{2}{3}$，
移项计算得：$\frac{1}{3(1+A)}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
交叉相乘得：$3(1+A)=6$，解得$A=1$。
将$A=1$、$x=2025$、$y=2026$代入新运算公式：
$2025△2026=\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{(2025+1)(2026+1)}=\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{2026×2027}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分得：
原式$=(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027})$
抵消中间项后得：$\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027}$
通分计算：$\frac{2027-2025}{2025×2027}=\frac{2}{4104675}$
【答案】
$\frac{2}{4104675}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解，分数裂项计算
【点评】
本题将新定义运算和简便计算结合，核心是先通过已知条件求出未知参数$A$，再利用裂项相消法简化大数分数的运算，能很好地考察学生对新规则的理解能力和计算技巧的运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算类题目，解题分两步进行：第一步，利用已知的$2△1=\frac{2}{3}$的条件，将$x=2、y=1$代入新定义的运算公式，得到含参数$A$的一元一次方程，解出$A$的取值；第二步，把求得的$A$值、$x=2025、y=2026$代入运算公式，观察得到的两个分数的分母都是相邻两个整数的乘积，可利用裂项相消的方法简化计算，避免大数直接相乘的复杂运算。
【解析】
解：已知$2△1=\frac{1}{2×1}+\frac{1}{(2+1)(1+A)}=\frac{2}{3}$，
化简等式得：$\frac{1}{2}+\frac{1}{3(1+A)}=\frac{2}{3}$，
移项计算得：$\frac{1}{3(1+A)}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
交叉相乘得：$3(1+A)=6$，解得$A=1$。
将$A=1$、$x=2025$、$y=2026$代入新运算公式：
$2025△2026=\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{(2025+1)(2026+1)}=\frac{1}{2025×2026}+\frac{1}{2026×2027}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$拆分得：
原式$=(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})+(\frac{1}{2026}-\frac{1}{2027})$
抵消中间项后得：$\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027}$
通分计算：$\frac{2027-2025}{2025×2027}=\frac{2}{4104675}$
【答案】
$\frac{2}{4104675}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程求解，分数裂项计算
【点评】
本题将新定义运算和简便计算结合，核心是先通过已知条件求出未知参数$A$，再利用裂项相消法简化大数分数的运算，能很好地考察学生对新规则的理解能力和计算技巧的运用能力。
【难度系数】
0.6
16.我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将$(101)_2$，$(1\ 011)_2$换算成十进制数应为：$(101)_2=1× 2^2 + 0× 2^1 + 1× 2^0 = 4 + 0 + 1 =5$，$(1\ 011)_2=1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1 +1× 2^0=11$。按此方式，将二进制数$(1\ 001)_2$换算成十进制数的结果是________。
答案
16.9
解析:由题意,得$(1\ 001)_2=1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=8+0+0+1=9$.
解析:由题意,得$(1\ 001)_2=1×2^3+0×2^2+0×2^1+1×2^0=8+0+0+1=9$.
解析
【分析】
首先观察题目给出的二进制转十进制的换算示例，总结换算规则：二进制数的每个数位上的数码，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、2的（总位数-2）次方……直到2的0次方，再将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。要换算$(1001)_2$，先确定它是4位二进制数，各位数码分别是1、0、0、1，对应乘$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$后求和即可。
【解析】
根据题目给出的换算规则计算：
$(1001)_2=1× 2^3 + 0× 2^2 + 0× 2^1 + 1× 2^0$
$=8 + 0 + 0 + 1$
$=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 进制转换 2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义运算类题目，解题核心是读懂题目给出的换算规则，结合乘方的运算规则计算即可，侧重考察信息提取与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的二进制转十进制的换算示例，总结换算规则：二进制数的每个数位上的数码，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、2的（总位数-2）次方……直到2的0次方，再将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。要换算$(1001)_2$，先确定它是4位二进制数，各位数码分别是1、0、0、1，对应乘$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$后求和即可。
【解析】
根据题目给出的换算规则计算：
$(1001)_2=1× 2^3 + 0× 2^2 + 0× 2^1 + 1× 2^0$
$=8 + 0 + 0 + 1$
$=9$
【答案】
9
【知识点】
1. 进制转换 2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义运算类题目，解题核心是读懂题目给出的换算规则，结合乘方的运算规则计算即可，侧重考察信息提取与知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题
17.计算.
(1) $12 - (-\dfrac{3}{4}) -5 - (-0.25)$.
(2) $(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{24}) ÷ (-\dfrac{1}{48})$.
(3) $|-2| ÷ (-\dfrac{1}{2}) + (-5) × (-2)$.
(4) $(-1)^3 - (1 - \dfrac{1}{2}) ÷ 3 × [2 - (-3)^2]$.
17.计算.
(1) $12 - (-\dfrac{3}{4}) -5 - (-0.25)$.
(2) $(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{24}) ÷ (-\dfrac{1}{48})$.
(3) $|-2| ÷ (-\dfrac{1}{2}) + (-5) × (-2)$.
(4) $(-1)^3 - (1 - \dfrac{1}{2}) ÷ 3 × [2 - (-3)^2]$.
答案
17.(1)原式$=12+\dfrac{3}{4}-5+0.25=8$.
(2)原式$=-\dfrac{11}{12}×48+\dfrac{7}{6}×48-\dfrac{3}{4}×48+\dfrac{13}{24}×48=-44+56-36+26=2$.
(3)原式$=2×(-2)+(-5)×(-2)=-4+10=6$.
(4)原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(2-9)=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(-7)=-1+\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{6}$.
(2)原式$=-\dfrac{11}{12}×48+\dfrac{7}{6}×48-\dfrac{3}{4}×48+\dfrac{13}{24}×48=-44+56-36+26=2$.
(3)原式$=2×(-2)+(-5)×(-2)=-4+10=6$.
(4)原式$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(2-9)=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(-7)=-1+\dfrac{7}{6}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 属于有理数加减混合运算，先根据“减去一个数等于加上它的相反数”将减法统一为加法，再观察到$\dfrac{3}{4}$和0.25可凑整，利用加法交换律、结合律简便计算；
(2) 先根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”将除法转化为乘法，括号内各分数的分母都是48的因数，使用乘法分配律展开计算，可避免通分的繁琐，降低出错率；
(3) 遵循“先算绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序计算即可；
(4) 严格按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的运算，之后算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，注意符号变化。
【解析】
(1) 先将减法转化为加法：
原式$=12+\dfrac{3}{4}-5+0.25$
分组凑整计算：
$=(12-5)+(\dfrac{3}{4}+0.25)$
$=7+1$
$=8$
(2) 先将除法转化为乘法：
原式$=(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{24}) × (-48)$
利用乘法分配律展开：
$=\dfrac{11}{12}×(-48) - \dfrac{7}{6}×(-48) + \dfrac{3}{4}×(-48) - \dfrac{13}{24}×(-48)$
计算每一项乘积：
$=-44+56-36+26$
$=2$
(3) 先计算绝对值：
原式$=2 ÷ (-\dfrac{1}{2}) + (-5)×(-2)$
分别计算乘除：
$=2×(-2)+10$
$=-4+10$
$=6$
(4) 先计算乘方：
原式$=-1 - (1-\dfrac{1}{2}) ÷3 × [2-9]$
计算括号内的运算：
$=-1 - \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{3} × (-7)$
计算乘法部分：
$=-1+\dfrac{7}{6}$
$=\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)$8$；(2)$2$；(3)$6$；(4)$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律的应用；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，重点考查运算顺序、运算法则以及简便运算技巧的掌握，运算过程中符号判断是高频易错点，熟练掌握运算规则可有效提升运算的正确率和速度。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 属于有理数加减混合运算，先根据“减去一个数等于加上它的相反数”将减法统一为加法，再观察到$\dfrac{3}{4}$和0.25可凑整，利用加法交换律、结合律简便计算；
(2) 先根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”将除法转化为乘法，括号内各分数的分母都是48的因数，使用乘法分配律展开计算，可避免通分的繁琐，降低出错率；
(3) 遵循“先算绝对值，再算乘除，最后算加减”的运算顺序计算即可；
(4) 严格按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的运算，之后算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，注意符号变化。
【解析】
(1) 先将减法转化为加法：
原式$=12+\dfrac{3}{4}-5+0.25$
分组凑整计算：
$=(12-5)+(\dfrac{3}{4}+0.25)$
$=7+1$
$=8$
(2) 先将除法转化为乘法：
原式$=(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{24}) × (-48)$
利用乘法分配律展开：
$=\dfrac{11}{12}×(-48) - \dfrac{7}{6}×(-48) + \dfrac{3}{4}×(-48) - \dfrac{13}{24}×(-48)$
计算每一项乘积：
$=-44+56-36+26$
$=2$
(3) 先计算绝对值：
原式$=2 ÷ (-\dfrac{1}{2}) + (-5)×(-2)$
分别计算乘除：
$=2×(-2)+10$
$=-4+10$
$=6$
(4) 先计算乘方：
原式$=-1 - (1-\dfrac{1}{2}) ÷3 × [2-9]$
计算括号内的运算：
$=-1 - \dfrac{1}{2} × \dfrac{1}{3} × (-7)$
计算乘法部分：
$=-1+\dfrac{7}{6}$
$=\dfrac{1}{6}$
【答案】
(1)$8$；(2)$2$；(3)$6$；(4)$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
有理数混合运算；乘法分配律的应用；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，重点考查运算顺序、运算法则以及简便运算技巧的掌握，运算过程中符号判断是高频易错点，熟练掌握运算规则可有效提升运算的正确率和速度。
【难度系数】
0.8
18.某班统计了10名同学的体能测试成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10.
(1)这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？
(2)这10名同学体能测试的平均成绩是多少？
(1)这10名同学中最高分是多少？最低分是多少？
(2)这10名同学体能测试的平均成绩是多少？
答案
18.(1)92分 70分
(2)80分
(2)80分
解析
【分析】
（1）要找10名同学的最高分和最低分，首先明确以80分为基准，超出基准分越多分数越高，低于基准分越多分数越低，所以只需先找出记录的10个正负数中的最大值和最小值，分别与基准分80相加即可得到结果。
（2）计算平均成绩可选择简便方法：先计算10个偏差值的平均数，再加上基准分80即可，不需要逐个算出每位同学的实际成绩再计算，能减少运算量。
【解析】
（1）观察给出的偏差值：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10，其中最大偏差为+12，最小偏差为-10。
最高分：$80 + 12 = 92$（分）
最低分：$80 + (-10) = 70$（分）
（2）先计算所有偏差值的总和：
$\begin{aligned}&(+8)+(-3)+(+12)+(-7)+(-10)+(-3)+(-8)+(+1)+0+(+10)\\=&8-3+12-7-10-3-8+1+0+10\\=&0\end{aligned}$
偏差的平均值为：$0 ÷ 10 = 0$
平均成绩：$80 + 0 = 80$（分）
【答案】
(1)92分，70分；(2)80分
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，平均数计算
【点评】
本题结合成绩统计场景考查正负数的实际应用，核心是理解正负数表示与基准量的差值，计算平均成绩时利用偏差求和可以简化运算，侧重考查基础运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要找10名同学的最高分和最低分，首先明确以80分为基准，超出基准分越多分数越高，低于基准分越多分数越低，所以只需先找出记录的10个正负数中的最大值和最小值，分别与基准分80相加即可得到结果。
（2）计算平均成绩可选择简便方法：先计算10个偏差值的平均数，再加上基准分80即可，不需要逐个算出每位同学的实际成绩再计算，能减少运算量。
【解析】
（1）观察给出的偏差值：+8，-3，+12，-7，-10，-3，-8，+1，0，+10，其中最大偏差为+12，最小偏差为-10。
最高分：$80 + 12 = 92$（分）
最低分：$80 + (-10) = 70$（分）
（2）先计算所有偏差值的总和：
$\begin{aligned}&(+8)+(-3)+(+12)+(-7)+(-10)+(-3)+(-8)+(+1)+0+(+10)\\=&8-3+12-7-10-3-8+1+0+10\\=&0\end{aligned}$
偏差的平均值为：$0 ÷ 10 = 0$
平均成绩：$80 + 0 = 80$（分）
【答案】
(1)92分，70分；(2)80分
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，平均数计算
【点评】
本题结合成绩统计场景考查正负数的实际应用，核心是理解正负数表示与基准量的差值，计算平均成绩时利用偏差求和可以简化运算，侧重考查基础运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
