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例7 如图，这是函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象，那么关于x的方程$ax^2+bx+c+2=0$的根的情况是（
A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
D
）A.无实数根
B.有两个相等实数根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
答案
D
解析
【分析】
遇到二次函数相关的一元二次方程根的问题，可将方程变形，转化为二次函数图象与水平线的交点问题求解。首先把方程$ax^2+bx+c+2=0$变形为$ax^2+bx+c=-2$，则方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为-2时对应的x值。第一步先判断根的数量：由图象可知二次函数最小值为-3，小于-2，说明直线$y=-2$与抛物线有2个交点，即方程有两个不等实根；第二步判断根的符号：观察抛物线位置，抛物线与x轴的两个交点都在正半轴，顶点横坐标也在正半轴，因此$y=-2$时对应的两个x值都是正数，即两个根同号且不等，对应选项D。
【解析】
解：关于x的方程$ax^2+bx+c+2=0$可变形为$ax^2+bx+c=-2$，该方程的根即为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$交点的横坐标。
1. 判断根的数量：由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值为$-3$，因为$-3 ＜ -2$，所以直线$y=-2$与抛物线有2个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察抛物线图象，抛物线与x轴的两个交点均位于x轴正半轴，且顶点（最低点）的横坐标也在x轴正半轴，因此直线$y=-2$与抛物线的两个交点都在x轴正半轴，即两个根均为正数，属于同号根。
综上，方程有两个同号不等实数根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图象与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为二次函数图象与直线的交点问题，结合图象性质判断根的数量与符号，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的联系，运用数形结合思想简化求解过程。
【难度系数】
0.6
遇到二次函数相关的一元二次方程根的问题，可将方程变形，转化为二次函数图象与水平线的交点问题求解。首先把方程$ax^2+bx+c+2=0$变形为$ax^2+bx+c=-2$，则方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为-2时对应的x值。第一步先判断根的数量：由图象可知二次函数最小值为-3，小于-2，说明直线$y=-2$与抛物线有2个交点，即方程有两个不等实根；第二步判断根的符号：观察抛物线位置，抛物线与x轴的两个交点都在正半轴，顶点横坐标也在正半轴，因此$y=-2$时对应的两个x值都是正数，即两个根同号且不等，对应选项D。
【解析】
解：关于x的方程$ax^2+bx+c+2=0$可变形为$ax^2+bx+c=-2$，该方程的根即为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-2$交点的横坐标。
1. 判断根的数量：由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值为$-3$，因为$-3 ＜ -2$，所以直线$y=-2$与抛物线有2个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根。
2. 判断根的符号：观察抛物线图象，抛物线与x轴的两个交点均位于x轴正半轴，且顶点（最低点）的横坐标也在x轴正半轴，因此直线$y=-2$与抛物线的两个交点都在x轴正半轴，即两个根均为正数，属于同号根。
综上，方程有两个同号不等实数根，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程、二次函数的图象与性质
【点评】
本题将一元二次方程根的问题转化为二次函数图象与直线的交点问题，结合图象性质判断根的数量与符号，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的联系，运用数形结合思想简化求解过程。
【难度系数】
0.6
变式 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如表，下列判断错误的是（
A.抛物线开口向下
B.当$-1＜x＜3$时，$y＞-2$
C.抛物线与$x$轴两交点之间的距离为$2\sqrt{2}$
D.若$x=3$，则$y=-2$
B
）A.抛物线开口向下
B.当$-1＜x＜3$时，$y＞-2$
C.抛物线与$x$轴两交点之间的距离为$2\sqrt{2}$
D.若$x=3$，则$y=-2$
答案
B
解析
【分析】
首先观察表格数据，发现x=0和x=2对应的y值相等，说明这两个点关于抛物线对称轴对称，可先求出对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)。再设二次函数的顶点式，代入已知点求出解析式，最后结合二次函数的性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
1. 求函数解析式：
由表格中x=0、x=2时y均为1，可得抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+2(a≠0)$，将点$(0,1)$代入解析式：
$a·(0-1)^2+2=1$，解得$a=-1$，
因此函数解析式为$y=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1$。
2. 逐一判断选项：
选项A：
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，A判断正确，不符合题意。
选项D：
∵抛物线对称轴为x=1，点$(-1,-2)$关于x=1的对称点为$(3,-2)$，
∴x=3时$y=-2$，D判断正确，不符合题意。
选项C：令$y=0$，则$-x^2+2x+1=0$，解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，两交点距离为$x_1-x_2=2\sqrt{2}$，C判断正确，不符合题意。
选项B：令$y=-2$，解方程$-x^2+2x+1=-2$得$x=-1$或$x=3$，结合抛物线开口向下的性质，若区间包含端点，x=-1和x=3时y=-2，不满足$y＞-2$，因此B判断错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题解题的核心是利用表格中的对称点快速确定抛物线的对称轴和顶点，求出解析式后结合二次函数的增减性、对称性等性质分析选项，属于对二次函数基础应用的考查。
【难度系数】
0.65
首先观察表格数据，发现x=0和x=2对应的y值相等，说明这两个点关于抛物线对称轴对称，可先求出对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,2)。再设二次函数的顶点式，代入已知点求出解析式，最后结合二次函数的性质逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
1. 求函数解析式：
由表格中x=0、x=2时y均为1，可得抛物线对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,2)$。
设二次函数解析式为$y=a(x-1)^2+2(a≠0)$，将点$(0,1)$代入解析式：
$a·(0-1)^2+2=1$，解得$a=-1$，
因此函数解析式为$y=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1$。
2. 逐一判断选项：
选项A：
∵$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，A判断正确，不符合题意。
选项D：
∵抛物线对称轴为x=1，点$(-1,-2)$关于x=1的对称点为$(3,-2)$，
∴x=3时$y=-2$，D判断正确，不符合题意。
选项C：令$y=0$，则$-x^2+2x+1=0$，解得$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，两交点距离为$x_1-x_2=2\sqrt{2}$，C判断正确，不符合题意。
选项B：令$y=-2$，解方程$-x^2+2x+1=-2$得$x=-1$或$x=3$，结合抛物线开口向下的性质，若区间包含端点，x=-1和x=3时y=-2，不满足$y＞-2$，因此B判断错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；抛物线的对称性；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题解题的核心是利用表格中的对称点快速确定抛物线的对称轴和顶点，求出解析式后结合二次函数的增减性、对称性等性质分析选项，属于对二次函数基础应用的考查。
【难度系数】
0.65
例8 如图，抛物线$y=ax^2(a≠0)$与直线$y=bx+c(b≠0)$的两个交点分别为$A(-2,4),B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^2 - bx - c=0$的解为
$x_1=-2,x_2=1$
。答案
$x_1=-2,x_2=1$
解析
【分析】
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c=0$，可先将方程变形为$ax^2=bx+c$，该方程的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$图象交点的横坐标，已知两个交点的坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c=0$变形可得$ax^2=bx+c$。
根据函数图象交点的含义：二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx+c$图象交点的横坐标，就是方程$ax^2=bx+c$的解。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c=0$的解为$x_1=-2,x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
函数与方程的关系；一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题利用数形结合思想求解，无需复杂计算，只要理解函数图象交点和对应方程解的关系，就能快速得到结果，是函数类基础题的典型考法。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程$ax^2 - bx - c=0$，可先将方程变形为$ax^2=bx+c$，该方程的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$图象交点的横坐标，已知两个交点的坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c=0$变形可得$ax^2=bx+c$。
根据函数图象交点的含义：二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx+c$图象交点的横坐标，就是方程$ax^2=bx+c$的解。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的交点为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c=0$的解为$x_1=-2,x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
函数与方程的关系；一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题利用数形结合思想求解，无需复杂计算，只要理解函数图象交点和对应方程解的关系，就能快速得到结果，是函数类基础题的典型考法。
【难度系数】
0.8
变式 如图,这是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象,由图象可知不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是 （
A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$
D.$x＜-1$或$x＞5$
D
）A.$-1＜x＜5$
B.$x＞5$
C.$x＜-1$
D.$x＜-1$或$x＞5$
答案
D
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，需先明确该不等式对应二次函数图象在x轴下方时x的取值范围。首先根据二次函数的对称性，结合已知的对称轴和一个与x轴的交点，求出另一个与x轴的交点坐标，再结合图象开口方向判断函数值小于0的x的范围即可。
【解析】
1. 由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，且图象与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
2. 根据二次函数图象的对称性，设图象与x轴的另一个交点横坐标为$x$，两个交点关于对称轴对称，因此满足$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
3. 不等式$ax^2+bx+c＜0$的几何意义是二次函数图象位于x轴下方时对应的x的取值，由图象可知抛物线开口向下，因此图象在x轴下方时，$x＜-1$或$x＞5$。
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$x＞5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是利用二次函数的对称性求出未知的交点坐标，再结合图象直接判断不等式的解集，避免了复杂的代数运算。
【难度系数】
0.7
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，需先明确该不等式对应二次函数图象在x轴下方时x的取值范围。首先根据二次函数的对称性，结合已知的对称轴和一个与x轴的交点，求出另一个与x轴的交点坐标，再结合图象开口方向判断函数值小于0的x的范围即可。
【解析】
1. 由图象可知，二次函数的对称轴为直线$x=2$，且图象与x轴的一个交点坐标为$(5,0)$。
2. 根据二次函数图象的对称性，设图象与x轴的另一个交点横坐标为$x$，两个交点关于对称轴对称，因此满足$\frac{x+5}{2}=2$，解得$x=-1$，即另一个交点为$(-1,0)$。
3. 不等式$ax^2+bx+c＜0$的几何意义是二次函数图象位于x轴下方时对应的x的取值，由图象可知抛物线开口向下，因此图象在x轴下方时，$x＜-1$或$x＞5$。
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$x＞5$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题核心是利用二次函数的对称性求出未知的交点坐标，再结合图象直接判断不等式的解集，避免了复杂的代数运算。
【难度系数】
0.7
例9 汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”。“刹车距离”$y$(m)与刹车时汽车的速度$x$(m/s)有以下关系：$y=ax^2+bx$($a,b$为常数，且$a≠0$)。某车辆测试结果如下。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式。
(2)某汽车刹车时的速度为20 m/s，与前方静止障碍物之间的距离为15 m，问：此次刹车后是否会发生碰撞？请通过计算说明理由。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式。
(2)某汽车刹车时的速度为20 m/s，与前方静止障碍物之间的距离为15 m，问：此次刹车后是否会发生碰撞？请通过计算说明理由。
答案
解:(1)由题意得$\begin{cases} 3=100a+10b,\\7.5=225a+15b,\end{cases}$
所以$\begin{cases} a=\dfrac{1}{25},\\b=-\dfrac{1}{10},\end{cases}$
所以$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$。
(2)此次刹车后不会发生碰撞。理由如下：
由(1)得$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$，
当$x=20$时，$y=\dfrac{1}{25}×20^2-\dfrac{1}{10}×20=14＜15$，
所以此次刹车后不会发生碰撞。
所以$\begin{cases} a=\dfrac{1}{25},\\b=-\dfrac{1}{10},\end{cases}$
所以$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$。
(2)此次刹车后不会发生碰撞。理由如下：
由(1)得$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$，
当$x=20$时，$y=\dfrac{1}{25}×20^2-\dfrac{1}{10}×20=14＜15$，
所以此次刹车后不会发生碰撞。
解析
【分析】
(1) 题目已明确给出刹车距离$y$与速度$x$的函数形式为$y=ax^2+bx$，同时给出了两组$x$、$y$的对应值，可使用待定系数法，将两组数值分别代入函数式，得到关于常数$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定函数表达式。
(2) 判断是否会发生碰撞，只需计算出刹车速度为20m/s时的刹车距离$y$，将计算结果与15m比较：若$y＜15$则不会碰撞，若$y≥15$则会碰撞。
【解析】
(1) 把$x=10,y=3$和$x=15,y=7.5$分别代入$y=ax^2+bx$，得到方程组：
$\begin{cases} 3=100a+10b\\7.5=225a+15b \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程两边除以5得$0.6=20a+2b$，第二个方程两边除以15变形得$b=0.5-15a$，代入上式可解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{25}\\b=-\dfrac{1}{10} \end{cases}$
因此$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$。
(2) 此次刹车后不会发生碰撞，理由如下：
将$x=20$代入$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$，得：
$y=\dfrac{1}{25}×20^2-\dfrac{1}{10}×20=16-2=14$
因为$14＜15$，即刹车距离小于车与障碍物的距离，所以不会发生碰撞。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$
(2) 此次刹车后不会发生碰撞。
【知识点】
待定系数法、二次函数求值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及代入求值解决实际问题的能力，解题时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 题目已明确给出刹车距离$y$与速度$x$的函数形式为$y=ax^2+bx$，同时给出了两组$x$、$y$的对应值，可使用待定系数法，将两组数值分别代入函数式，得到关于常数$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值即可确定函数表达式。
(2) 判断是否会发生碰撞，只需计算出刹车速度为20m/s时的刹车距离$y$，将计算结果与15m比较：若$y＜15$则不会碰撞，若$y≥15$则会碰撞。
【解析】
(1) 把$x=10,y=3$和$x=15,y=7.5$分别代入$y=ax^2+bx$，得到方程组：
$\begin{cases} 3=100a+10b\\7.5=225a+15b \end{cases}$
解方程组：
将第一个方程两边除以5得$0.6=20a+2b$，第二个方程两边除以15变形得$b=0.5-15a$，代入上式可解得$\begin{cases} a=\dfrac{1}{25}\\b=-\dfrac{1}{10} \end{cases}$
因此$y$与$x$之间的函数表达式为$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$。
(2) 此次刹车后不会发生碰撞，理由如下：
将$x=20$代入$y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$，得：
$y=\dfrac{1}{25}×20^2-\dfrac{1}{10}×20=16-2=14$
因为$14＜15$，即刹车距离小于车与障碍物的距离，所以不会发生碰撞。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{25}x^2-\dfrac{1}{10}x$
(2) 此次刹车后不会发生碰撞。
【知识点】
待定系数法、二次函数求值、二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及代入求值解决实际问题的能力，解题时要注意运算的准确性。
【难度系数】
0.7
