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13. (13分)小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段。如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$和直线$y=-\frac{1}{2}x + m$。其中，当纸飞机飞行的水平距离为8 m时，自动进入滑行阶段。若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8 m。
(1)求a，m的值。
(2)小明的前方有一堵2.7 m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？
(1)求a，m的值。
(2)小明的前方有一堵2.7 m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？
答案
13. 解:(1)由题意知,抛物线经过点$(8,3.8)$,
所以 $3.8=-\frac{1}{10}×8^2+8+a$,所以 $a=2.2$。
因为直线 $y=-\frac{1}{2}x+m$ 经过点$(8,3.8)$,
所以 $3.8=-\frac{1}{2}×8+m$,
所以 $m=7.8$。
(2)当 $y=2.7$ 时,$2.7=-\frac{1}{10}x^2+x+2.2$,
所以 $x^2-10x+5=0$,
解得 $x_1=5+2\sqrt{5}＞8$(不合题意,舍去),$x_2=5-2\sqrt{5}$。
当 $y=2.7$ 时,$2.7=-\frac{1}{2}x+7.8$,
所以 $x=10.2$。
因为 $10.2＞5-2\sqrt{5}$,
所以小明最多距离围栏 10.2 米时,纸飞机可以顺利飞过围栏。
所以 $3.8=-\frac{1}{10}×8^2+8+a$,所以 $a=2.2$。
因为直线 $y=-\frac{1}{2}x+m$ 经过点$(8,3.8)$,
所以 $3.8=-\frac{1}{2}×8+m$,
所以 $m=7.8$。
(2)当 $y=2.7$ 时,$2.7=-\frac{1}{10}x^2+x+2.2$,
所以 $x^2-10x+5=0$,
解得 $x_1=5+2\sqrt{5}＞8$(不合题意,舍去),$x_2=5-2\sqrt{5}$。
当 $y=2.7$ 时,$2.7=-\frac{1}{2}x+7.8$,
所以 $x=10.2$。
因为 $10.2＞5-2\sqrt{5}$,
所以小明最多距离围栏 10.2 米时,纸飞机可以顺利飞过围栏。
解析
【分析】
（1）求解a、m的核心是找到同时在抛物线和直线上的已知点。由题意可知，水平距离为8m时高度为3.8m，即点(8,3.8)既在抛物线上，也在滑行阶段的直线上，将该点坐标分别代入两个函数解析式，列一元一次方程即可求出a和m的值。
（2）纸飞机顺利飞过2.7m高的围栏，即纸飞机飞行高度y=2.7m时对应的水平距离x。分别将y=2.7代入抛物线和直线解析式求解x，注意x≤8时为抛物线飞行阶段，x＞8时为滑行阶段，需舍去不符合取值范围的解，最大的x值就是小明最多距离围栏的距离。
【解析】
(1) 由题意知，点(8, 3.8)在抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$上，代入得：
$3.8=-\frac{1}{10}×8^2+8+a$
计算得$3.8=-6.4+8+a$，解得$a=2.2$。
又因为点(8, 3.8)在直线$y=-\frac{1}{2}x + m$上，代入得：
$3.8=-\frac{1}{2}×8+m$
计算得$3.8=-4+m$，解得$m=7.8$。
(2) 先求抛物线阶段y=2.7时的x值：
将y=2.7代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$，得：
$2.7=-\frac{1}{10}x^2+x+2.2$
整理得$x^2-10x+5=0$，解得$x_1=5+2\sqrt{5}＞8$（不符合抛物线阶段x≤8的范围，舍去），$x_2=5-2\sqrt{5}$。
再求滑行阶段y=2.7时的x值：
将y=2.7代入直线解析式$y=-\frac{1}{2}x + 7.8$，得：
$2.7=-\frac{1}{2}x+7.8$
解得$x=10.2$。
因为$10.2＞5-2\sqrt{5}$，即最大的水平距离为10.2m，也就是小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏。
【答案】
(1) $a=2.2$，$m=7.8$；(2) 10.2米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合纸飞机飞行的生活场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是抓住函数图像上的点与解析式的对应关系，结合自变量的实际取值范围对解进行取舍，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）求解a、m的核心是找到同时在抛物线和直线上的已知点。由题意可知，水平距离为8m时高度为3.8m，即点(8,3.8)既在抛物线上，也在滑行阶段的直线上，将该点坐标分别代入两个函数解析式，列一元一次方程即可求出a和m的值。
（2）纸飞机顺利飞过2.7m高的围栏，即纸飞机飞行高度y=2.7m时对应的水平距离x。分别将y=2.7代入抛物线和直线解析式求解x，注意x≤8时为抛物线飞行阶段，x＞8时为滑行阶段，需舍去不符合取值范围的解，最大的x值就是小明最多距离围栏的距离。
【解析】
(1) 由题意知，点(8, 3.8)在抛物线$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + a$上，代入得：
$3.8=-\frac{1}{10}×8^2+8+a$
计算得$3.8=-6.4+8+a$，解得$a=2.2$。
又因为点(8, 3.8)在直线$y=-\frac{1}{2}x + m$上，代入得：
$3.8=-\frac{1}{2}×8+m$
计算得$3.8=-4+m$，解得$m=7.8$。
(2) 先求抛物线阶段y=2.7时的x值：
将y=2.7代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{10}x^2 + x + 2.2$，得：
$2.7=-\frac{1}{10}x^2+x+2.2$
整理得$x^2-10x+5=0$，解得$x_1=5+2\sqrt{5}＞8$（不符合抛物线阶段x≤8的范围，舍去），$x_2=5-2\sqrt{5}$。
再求滑行阶段y=2.7时的x值：
将y=2.7代入直线解析式$y=-\frac{1}{2}x + 7.8$，得：
$2.7=-\frac{1}{2}x+7.8$
解得$x=10.2$。
因为$10.2＞5-2\sqrt{5}$，即最大的水平距离为10.2m，也就是小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏。
【答案】
(1) $a=2.2$，$m=7.8$；(2) 10.2米
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用
【点评】
本题结合纸飞机飞行的生活场景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是抓住函数图像上的点与解析式的对应关系，结合自变量的实际取值范围对解进行取舍，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
14. (15分)在平面直角坐标系中,设二次函数$y=-(x-m)^2 +1-2m$($m$是实数)。
(1)当$m=-1$时,若点$(2,n)$在该函数图象上,求$n$的值。
(2)已知$A(2,-2),B(1,2),C(1,-1)$,从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点,判断点$(2,-2)$是否在该二次函数的图象上。
(3)若图象经过点$(a,-2m-2),(b,-2m-2),a＜b$,求$b-a$的值。
(1)当$m=-1$时,若点$(2,n)$在该函数图象上,求$n$的值。
(2)已知$A(2,-2),B(1,2),C(1,-1)$,从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点,判断点$(2,-2)$是否在该二次函数的图象上。
(3)若图象经过点$(a,-2m-2),(b,-2m-2),a＜b$,求$b-a$的值。
答案
14. 解:(1)当 $m=-1$ 时,$y=-(x+1)^2+3$。
将点$(2,n)$的坐标代入 $y=-(x+1)^2+3$,
得 $n=-3^2+3=-6$。
(2)因为 $y=-(x-m)^2+1-2m$,
所以抛物线的顶点坐标为$(m,1-2m)$。
若选择 $A(2,-2)$ 为抛物线的顶点,则 $m=2,1-2m=-3≠-2$,不符合题意;
若选择 $B(1,2)$ 为抛物线的顶点,则 $m=1,1-2m=-1≠2$,不符合题意;
若选择 $C(1,-1)$ 为抛物线的顶点,则 $m=1,1-2m=-1$,符合题意,此时 $y=-(x-1)^2-1$,
将 $x=2$ 代入 $y=-(x-1)^2-1$,得 $y=-1-1=-2$,
所以点$(2,-2)$在该二次函数的图象上。
(3)将点$(a,-2m-2)$的坐标代入 $y=-(x-m)^2+1-2m$,
得 $-(a-m)^2+1-2m=-2m-2$,
所以 $(a-m)^2=3$。
因为点$(a,-2m-2),(b,-2m-2)$关于抛物线的对称轴直线 $x=m$ 对称,$a＜b$,所以 $a＜m,b＞m$,所以 $a-m=-\sqrt{3}$,
所以 $a=m-\sqrt{3}$。
同理得 $b=m+\sqrt{3}$,所以 $b-a=2\sqrt{3}$。
将点$(2,n)$的坐标代入 $y=-(x+1)^2+3$,
得 $n=-3^2+3=-6$。
(2)因为 $y=-(x-m)^2+1-2m$,
所以抛物线的顶点坐标为$(m,1-2m)$。
若选择 $A(2,-2)$ 为抛物线的顶点,则 $m=2,1-2m=-3≠-2$,不符合题意;
若选择 $B(1,2)$ 为抛物线的顶点,则 $m=1,1-2m=-1≠2$,不符合题意;
若选择 $C(1,-1)$ 为抛物线的顶点,则 $m=1,1-2m=-1$,符合题意,此时 $y=-(x-1)^2-1$,
将 $x=2$ 代入 $y=-(x-1)^2-1$,得 $y=-1-1=-2$,
所以点$(2,-2)$在该二次函数的图象上。
(3)将点$(a,-2m-2)$的坐标代入 $y=-(x-m)^2+1-2m$,
得 $-(a-m)^2+1-2m=-2m-2$,
所以 $(a-m)^2=3$。
因为点$(a,-2m-2),(b,-2m-2)$关于抛物线的对称轴直线 $x=m$ 对称,$a＜b$,所以 $a＜m,b＞m$,所以 $a-m=-\sqrt{3}$,
所以 $a=m-\sqrt{3}$。
同理得 $b=m+\sqrt{3}$,所以 $b-a=2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
(1) 第一问属于基础代入求值问题，解题思路是先将m=-1代入二次函数解析式得到具体的函数表达式，再把点(2,n)的横坐标代入解析式，计算即可得到n的值。
(2) 第二问需先明确二次函数顶点式的性质：对于$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，因此本题抛物线顶点为$(m,1-2m)$。接下来分别假设A、B、C是顶点，验证顶点横纵坐标是否符合$m$和$1-2m$的对应关系，找到符合要求的点后，再代入$x=2$验证纵坐标是否为-2即可。
(3) 第三问中两个点纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，也可将点坐标代入解析式得到关于a、b的方程，解出a、b与m的关系后，结合$a＜b$的条件即可求出$b-a$的差值。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，代入二次函数解析式得：
$y=-(x+1)^2 +1 -2×(-1)=-(x+1)^2 +3$
将点$(2,n)$的坐标代入$y=-(x+1)^2 +3$，得：
$n=-(2+1)^2 +3=-9+3=-6$
(2) 二次函数$y=-(x-m)^2 +1-2m$为顶点式，因此顶点坐标为$(m, 1-2m)$。
①若选择$A(2,-2)$为顶点，则$m=2$，此时$1-2m=1-4=-3≠-2$，不符合要求，舍去；
②若选择$B(1,2)$为顶点，则$m=1$，此时$1-2m=1-2=-1≠2$，不符合要求，舍去；
③若选择$C(1,-1)$为顶点，则$m=1$，此时$1-2m=1-2=-1$，与点C的纵坐标一致，符合要求。
此时二次函数解析式为$y=-(x-1)^2 -1$，将$x=2$代入得：
$y=-(2-1)^2 -1=-1-1=-2$，因此点$(2,-2)$在该二次函数图象上。
(3) 将点$(a,-2m-2)$代入二次函数解析式得：
$-(a-m)^2 +1-2m=-2m-2$
移项化简得：$(a-m)^2=3$，解得$a=m\pm\sqrt{3}$
同理可得点$(b,-2m-2)$代入后$b=m\pm\sqrt{3}$
因为$a＜b$，且两点纵坐标相同，关于抛物线对称轴$x=m$对称，因此$a=m-\sqrt{3}$，$b=m+\sqrt{3}$
所以$b-a=(m+\sqrt{3})-(m-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $n=-6$；
(2) 选择点$C$为顶点时，点$(2,-2)$在该二次函数的图象上；
(3) $b-a=2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设置问题，层级清晰，从基础的代入求值到顶点性质、对称性的应用，能有效考查对二次函数基础内容的掌握和应用能力，计算难度适中，注重对核心概念的理解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问属于基础代入求值问题，解题思路是先将m=-1代入二次函数解析式得到具体的函数表达式，再把点(2,n)的横坐标代入解析式，计算即可得到n的值。
(2) 第二问需先明确二次函数顶点式的性质：对于$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标为$(h,k)$，因此本题抛物线顶点为$(m,1-2m)$。接下来分别假设A、B、C是顶点，验证顶点横纵坐标是否符合$m$和$1-2m$的对应关系，找到符合要求的点后，再代入$x=2$验证纵坐标是否为-2即可。
(3) 第三问中两个点纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，也可将点坐标代入解析式得到关于a、b的方程，解出a、b与m的关系后，结合$a＜b$的条件即可求出$b-a$的差值。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，代入二次函数解析式得：
$y=-(x+1)^2 +1 -2×(-1)=-(x+1)^2 +3$
将点$(2,n)$的坐标代入$y=-(x+1)^2 +3$，得：
$n=-(2+1)^2 +3=-9+3=-6$
(2) 二次函数$y=-(x-m)^2 +1-2m$为顶点式，因此顶点坐标为$(m, 1-2m)$。
①若选择$A(2,-2)$为顶点，则$m=2$，此时$1-2m=1-4=-3≠-2$，不符合要求，舍去；
②若选择$B(1,2)$为顶点，则$m=1$，此时$1-2m=1-2=-1≠2$，不符合要求，舍去；
③若选择$C(1,-1)$为顶点，则$m=1$，此时$1-2m=1-2=-1$，与点C的纵坐标一致，符合要求。
此时二次函数解析式为$y=-(x-1)^2 -1$，将$x=2$代入得：
$y=-(2-1)^2 -1=-1-1=-2$，因此点$(2,-2)$在该二次函数图象上。
(3) 将点$(a,-2m-2)$代入二次函数解析式得：
$-(a-m)^2 +1-2m=-2m-2$
移项化简得：$(a-m)^2=3$，解得$a=m\pm\sqrt{3}$
同理可得点$(b,-2m-2)$代入后$b=m\pm\sqrt{3}$
因为$a＜b$，且两点纵坐标相同，关于抛物线对称轴$x=m$对称，因此$a=m-\sqrt{3}$，$b=m+\sqrt{3}$
所以$b-a=(m+\sqrt{3})-(m-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) $n=-6$；
(2) 选择点$C$为顶点时，点$(2,-2)$在该二次函数的图象上；
(3) $b-a=2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设置问题，层级清晰，从基础的代入求值到顶点性质、对称性的应用，能有效考查对二次函数基础内容的掌握和应用能力，计算难度适中，注重对核心概念的理解。
【难度系数】
0.6
