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1. 二次函数$y=3x^2 -5x +1$的一次项系数是 （
A.$-5$
B.$1$
C.$3$
D.$5$
A
）A.$-5$
B.$1$
C.$3$
D.$5$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的一般形式及各项系数的定义，明确一次项系数是x的次数为1的项前面的数字因数，注意系数要包含其前面的符号；再将题干给出的二次函数与一般形式一一对应，即可找到对应的一次项系数得到答案。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题干中的二次函数$y=3x^2 -5x +1$与一般形式对照，可得对应$b=-5$，因此该二次函数的一次项系数是$-5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 二次函数系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数各项系数的辨识能力，解题时需注意不要忽略系数的正负符号，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的一般形式及各项系数的定义，明确一次项系数是x的次数为1的项前面的数字因数，注意系数要包含其前面的符号；再将题干给出的二次函数与一般形式一一对应，即可找到对应的一次项系数得到答案。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（其中$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题干中的二次函数$y=3x^2 -5x +1$与一般形式对照，可得对应$b=-5$，因此该二次函数的一次项系数是$-5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 二次函数系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数各项系数的辨识能力，解题时需注意不要忽略系数的正负符号，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
2. 关于二次函数$y=2(x-4)^2+6$，下列说法正确的是（
A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
D
）A.有最大值4
B.有最小值4
C.有最大值6
D.有最小值6
答案
2. D
解析
【分析】
拿到这道题首先观察给出的二次函数属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题思路分为两步：第一步先判断二次项系数$a$的正负，$a$的正负决定抛物线的开口方向，开口方向决定函数的最值类型：$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$k$。第二步对应题干函数找到$a$和$k$的取值，即可判断最值情况，匹配选项得到答案。
【解析】
题中二次函数$y=2(x-4)^2+6$为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k=6$，即该二次函数有最小值6。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是掌握顶点式中各参数的几何意义，结合开口方向即可快速判断最值，是二次函数模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察给出的二次函数属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题思路分为两步：第一步先判断二次项系数$a$的正负，$a$的正负决定抛物线的开口方向，开口方向决定函数的最值类型：$a＞0$时抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标$k$；$a＜0$时抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标$k$。第二步对应题干函数找到$a$和$k$的取值，即可判断最值情况，匹配选项得到答案。
【解析】
题中二次函数$y=2(x-4)^2+6$为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，其中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k=6$，即该二次函数有最小值6。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数最值；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题核心是掌握顶点式中各参数的几何意义，结合开口方向即可快速判断最值，是二次函数模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 下表列出了函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中自变量$x$与函数值$y$的部分对应值。根据表中数据，可判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解在（
A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
D
）A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
答案
3. D
解析
【分析】
要解决本题，首先明确核心对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值。二次函数的图象是连续的曲线，因此若两个相邻的自变量对应的函数值一正一负，那么这两个自变量之间一定存在某个值使得函数值为0，即方程的一个解落在该区间内。接下来只需逐一核对选项给出的区间，找到函数值符号相反的区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时$x$的取值，结合二次函数图象连续的性质分析各选项：
1. 选项A：$x$在1与2之间时，对应的$y$值为-2、-7，均为负数，不存在$y=0$的情况，排除；
2. 选项B：$x$在-2与-1之间时，对应的$y$值为1、2，均为正数，不存在$y=0$的情况，排除；
3. 选项C：$x$在-1与0之间时，对应的$y$值为2、1，均为正数，不存在$y=0$的情况，排除；
4. 选项D：$x$在0与1之间时，$x=0$对应$y=1＞0$，$x=1$对应$y=-2＜0$，函数值由正变负，因此区间内一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的一个解在0与1之间。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质
【点评】
本题解题关键是掌握一元二次方程的解和对应二次函数的联系，结合二次函数连续性，通过相邻点函数值的正负变化就能快速判断方程解的范围，属于基础考题，掌握对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确核心对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值。二次函数的图象是连续的曲线，因此若两个相邻的自变量对应的函数值一正一负，那么这两个自变量之间一定存在某个值使得函数值为0，即方程的一个解落在该区间内。接下来只需逐一核对选项给出的区间，找到函数值符号相反的区间即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解等价于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时$x$的取值，结合二次函数图象连续的性质分析各选项：
1. 选项A：$x$在1与2之间时，对应的$y$值为-2、-7，均为负数，不存在$y=0$的情况，排除；
2. 选项B：$x$在-2与-1之间时，对应的$y$值为1、2，均为正数，不存在$y=0$的情况，排除；
3. 选项C：$x$在-1与0之间时，对应的$y$值为2、1，均为正数，不存在$y=0$的情况，排除；
4. 选项D：$x$在0与1之间时，$x=0$对应$y=1＞0$，$x=1$对应$y=-2＜0$，函数值由正变负，因此区间内一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程的一个解在0与1之间。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质
【点评】
本题解题关键是掌握一元二次方程的解和对应二次函数的联系，结合二次函数连续性，通过相邻点函数值的正负变化就能快速判断方程解的范围，属于基础考题，掌握对应关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. 已知$A(-1,y_1)$，$B(2,y_2)$，$C(4,y_3)$是二次函数$y=-x^2+2x+c$的图象上的三个点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
4. D
解析
【分析】
要比较二次函数上三个点的函数值大小，可按以下思路求解：第一步先判断二次函数的开口方向，开口方向决定了离对称轴远近和函数值大小的关系；第二步利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；第三步分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；第四步结合开口方向判断：开口向下时，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，据此即可比较出三个y值的大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+2x+c$，
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-1,y_1)$到对称轴的距离：$|-1-1|=2$，
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$，
点$C(4,y_3)$到对称轴的距离：$|4-1|=3$，
∵ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，且$1＜2＜3$，
∴ $y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，无需代入计算具体函数值，通过开口方向和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，解题时注意不要搞反开口方向对应函数值的变化规律。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数上三个点的函数值大小，可按以下思路求解：第一步先判断二次函数的开口方向，开口方向决定了离对称轴远近和函数值大小的关系；第二步利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；第三步分别计算三个点的横坐标到对称轴的水平距离；第四步结合开口方向判断：开口向下时，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，据此即可比较出三个y值的大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2+2x+c$，
∵ $a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，
抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$A(-1,y_1)$到对称轴的距离：$|-1-1|=2$，
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$，
点$C(4,y_3)$到对称轴的距离：$|4-1|=3$，
∵ 抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，且$1＜2＜3$，
∴ $y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质，对称轴计算，函数值比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，无需代入计算具体函数值，通过开口方向和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，解题时注意不要搞反开口方向对应函数值的变化规律。
【难度系数】
0.7
5. 二次函数 $y=ax^2(a≠0)$与一次函数 $y=ax+a$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （
D
）答案
5. D
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，需结合两个函数解析式中共同的参数a的正负分类讨论：首先分别明确a＞0、a＜0时，二次函数$y=ax^2$的开口方向，以及一次函数$y=ax+a$经过的象限，再逐一核对选项，排除图象特征矛盾的选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；
一次函数$y=ax+a=a(x+1)$，斜率$a＞0$，与y轴交点为$(0,a)$在y轴正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、三象限，且恒过定点$(-1,0)$，所有二次开口向上但一次函数不符合该特征的选项均排除。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；
一次函数$y=ax+a$，斜率$a＜0$，与y轴交点为$(0,a)$在y轴负半轴，因此一次函数图象经过第二、三、四象限，且恒过定点$(-1,0)$。
逐一核对选项，只有D选项满足二次函数开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，和$a＜0$时两个函数的图象特征完全匹配。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 分类讨论思想
【点评】
这道题是函数图象判断题的常见考法，核心是抓住共有的参数作为突破口，通过分类讨论逐一验证选项，既考查了对一次、二次函数基本性质的掌握，也锻炼了逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，需结合两个函数解析式中共同的参数a的正负分类讨论：首先分别明确a＞0、a＜0时，二次函数$y=ax^2$的开口方向，以及一次函数$y=ax+a$经过的象限，再逐一核对选项，排除图象特征矛盾的选项即可得到答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$\boldsymbol{a＞0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；
一次函数$y=ax+a=a(x+1)$，斜率$a＞0$，与y轴交点为$(0,a)$在y轴正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、三象限，且恒过定点$(-1,0)$，所有二次开口向上但一次函数不符合该特征的选项均排除。
2. 当$\boldsymbol{a＜0}$时：
二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；
一次函数$y=ax+a$，斜率$a＜0$，与y轴交点为$(0,a)$在y轴负半轴，因此一次函数图象经过第二、三、四象限，且恒过定点$(-1,0)$。
逐一核对选项，只有D选项满足二次函数开口向下，一次函数经过第二、三、四象限，和$a＜0$时两个函数的图象特征完全匹配。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数图象性质
2. 二次函数图象性质
3. 分类讨论思想
【点评】
这道题是函数图象判断题的常见考法，核心是抓住共有的参数作为突破口，通过分类讨论逐一验证选项，既考查了对一次、二次函数基本性质的掌握，也锻炼了逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8 m/s，在t秒时球的高度为h(m)，h和t满足公式$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$（$v_0$表示球弹起时的速度，g表示重力系数，取$g=10\ \mathrm{m/s}^2$），则球不低于3 m的持续时间是（
A.0.4 s
B.0.6 s
C.0.8 s
D.1 s
A
）A.0.4 s
B.0.6 s
C.0.8 s
D.1 s
答案
6. A
解析
【分析】
解题时首先将题目给出的已知量$v_0=8\ \mathrm{m/s}$、$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入高度公式，得到$h$关于$t$的二次函数表达式；“球不低于3m”即$h≥3$，据此列出不等式，将不等式转化为对应的一元二次方程求解两个临界时间点，两个时间点的差值就是球不低于3m的持续时间。
【解析】
解：将$v_0=8\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入公式$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$h=8t - \frac{1}{2}×10t^2=8t-5t^2$
球不低于3m即$h≥3$，因此列不等式：
$8t-5t^2≥3$
移项整理为标准一元二次不等式形式：
$5t^2 -8t +3 ≤0$
先求解对应一元二次方程$5t^2 -8t +3 =0$，因式分解得：
$(5t-3)(t-1)=0$
解得方程的两个根为$t_1=0.6\ \mathrm{s}$，$t_2=1\ \mathrm{s}$
由于二次项系数$5＞0$，二次函数$y=5t^2-8t+3$的图象开口向上，因此不等式$5t^2 -8t +3 ≤0$的解集为$0.6≤t≤1$
则球不低于3m的持续时间为$1 - 0.6 = 0.4\ \mathrm{s}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用、一元二次方程求解、二次函数与不等式关系
【点评】
本题结合物理运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将高度要求转化为数学不等式，通过求解方程得到临界时间后即可算出持续时长，侧重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先将题目给出的已知量$v_0=8\ \mathrm{m/s}$、$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入高度公式，得到$h$关于$t$的二次函数表达式；“球不低于3m”即$h≥3$，据此列出不等式，将不等式转化为对应的一元二次方程求解两个临界时间点，两个时间点的差值就是球不低于3m的持续时间。
【解析】
解：将$v_0=8\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$代入公式$h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，得：
$h=8t - \frac{1}{2}×10t^2=8t-5t^2$
球不低于3m即$h≥3$，因此列不等式：
$8t-5t^2≥3$
移项整理为标准一元二次不等式形式：
$5t^2 -8t +3 ≤0$
先求解对应一元二次方程$5t^2 -8t +3 =0$，因式分解得：
$(5t-3)(t-1)=0$
解得方程的两个根为$t_1=0.6\ \mathrm{s}$，$t_2=1\ \mathrm{s}$
由于二次项系数$5＞0$，二次函数$y=5t^2-8t+3$的图象开口向上，因此不等式$5t^2 -8t +3 ≤0$的解集为$0.6≤t≤1$
则球不低于3m的持续时间为$1 - 0.6 = 0.4\ \mathrm{s}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用、一元二次方程求解、二次函数与不等式关系
【点评】
本题结合物理运动场景考查二次函数的实际应用，解题核心是将高度要求转化为数学不等式，通过求解方程得到临界时间后即可算出持续时长，侧重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
7. 如果二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象开口向下，那么$a$的值可能是
-1(答案不唯一)
。（只需写一个）答案
7. -1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，图象的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题目要求图象开口向下，因此只需写出任意一个小于0的实数即可满足要求。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，其图象开口方向与$a$的符号直接相关：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
已知该二次函数图象开口向下，因此$a＜0$，取任意一个负数即可，例如$a=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一)
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对二次函数基本性质的识记与应用，只要掌握二次项系数符号和抛物线开口方向的对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质，图象的开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。题目要求图象开口向下，因此只需写出任意一个小于0的实数即可满足要求。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，其图象开口方向与$a$的符号直接相关：
当$a＞0$时，抛物线开口向上；
当$a＜0$时，抛物线开口向下。
已知该二次函数图象开口向下，因此$a＜0$，取任意一个负数即可，例如$a=-1$。
【答案】
-1(答案不唯一)
【知识点】
二次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对二次函数基本性质的识记与应用，只要掌握二次项系数符号和抛物线开口方向的对应规律即可快速得分。
【难度系数】
0.9
8. 二次函数$y=2(x-1)^2+3$的图象的对称轴是直线
$x=1$
。答案
8. $x=1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的相关性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式可以直接读出函数图象的对称轴和顶点坐标，其中对称轴为直线$x=h$。首先判断题干给出的解析式属于顶点式，找到对应参数$h$的值，即可直接得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其图象的对称轴为直线$x=h$。
题干给出的二次函数解析式为$y=2(x-1)^2+3$，符合顶点式形式，对应参数$h=1$，因此该函数图象的对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数对称轴
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数顶点式中参数的几何意义，熟记顶点式相关性质即可快速得出答案，是二次函数模块的基础得分题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的相关性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式可以直接读出函数图象的对称轴和顶点坐标，其中对称轴为直线$x=h$。首先判断题干给出的解析式属于顶点式，找到对应参数$h$的值，即可直接得到对称轴。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其图象的对称轴为直线$x=h$。
题干给出的二次函数解析式为$y=2(x-1)^2+3$，符合顶点式形式，对应参数$h=1$，因此该函数图象的对称轴是直线$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数对称轴
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数顶点式中参数的几何意义，熟记顶点式相关性质即可快速得出答案，是二次函数模块的基础得分题型。
【难度系数】
0.9
9. 已知抛物线$y=ax^2 + bx -4$经过点$(1,3)$，则$a+b=$
$7$
。答案
9. 7
解析
【分析】
解题时首先明确核心性质：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题已知抛物线经过点$(1,3)$，因此将$x=1$、$y=3$代入抛物线的解析式，即可得到关于$a$、$b$的等式，对等式简单变形就能直接求出$a+b$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2 + bx -4$经过点$(1,3)$，
∴将$x=1$，$y=3$代入抛物线解析式，得：
$a× 1^2 + b× 1 -4 = 3$
整理得：$a + b -4 = 3$
移项计算得：$a + b = 3 + 4 = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象上的点与解析式的对应关系，只需代入点的坐标简单计算即可得到结果，是二次函数章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确核心性质：若点在函数图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题已知抛物线经过点$(1,3)$，因此将$x=1$、$y=3$代入抛物线的解析式，即可得到关于$a$、$b$的等式，对等式简单变形就能直接求出$a+b$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2 + bx -4$经过点$(1,3)$，
∴将$x=1$，$y=3$代入抛物线解析式，得：
$a× 1^2 + b× 1 -4 = 3$
整理得：$a + b -4 = 3$
移项计算得：$a + b = 3 + 4 = 7$
【答案】
7
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象上的点与解析式的对应关系，只需代入点的坐标简单计算即可得到结果，是二次函数章节的常见基础考点。
【难度系数】
0.9
10. 已知点$A(a,m),B(b,m),P(a+b,n)$为抛物线$y=x^2 -2x -2$上的点，则$n=$
$-2$
。答案
10. $-2$
解析
【分析】
解题时首先观察到点A、B的纵坐标相同，可知两点是抛物线上关于对称轴对称的点；接着先求出抛物线的对称轴，利用对称点横坐标的中点等于对称轴横坐标，即可求出a+b的值；最后将P点的横坐标代入抛物线解析式，就能计算出n的值。
【解析】
解：
∵点A(a,m)、B(b,m)的纵坐标相等，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线$y=x^2 -2x -2$的对称轴为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，
根据轴对称性质，对称点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{a+b}{2}=1$，
解得：$a+b=2$，
∴点P的横坐标为2，将x=2代入抛物线解析式得：
$n=2^2 - 2×2 - 2=4-4-2=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题的核心是利用二次函数的对称性快速求出a+b的值，避免了分别求解a、b的繁琐步骤，考查了对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点A、B的纵坐标相同，可知两点是抛物线上关于对称轴对称的点；接着先求出抛物线的对称轴，利用对称点横坐标的中点等于对称轴横坐标，即可求出a+b的值；最后将P点的横坐标代入抛物线解析式，就能计算出n的值。
【解析】
解：
∵点A(a,m)、B(b,m)的纵坐标相等，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线$y=x^2 -2x -2$的对称轴为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，
根据轴对称性质，对称点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{a+b}{2}=1$，
解得：$a+b=2$，
∴点P的横坐标为2，将x=2代入抛物线解析式得：
$n=2^2 - 2×2 - 2=4-4-2=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题的核心是利用二次函数的对称性快速求出a+b的值，避免了分别求解a、b的繁琐步骤，考查了对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 若点$P(a,b)$在抛物线$y=-2x^2+2x+1$上，则$a-b$的最小值为
$-\frac{9}{8}$
。答案
11. $-\frac{9}{8}$
解析
【分析】
解题时首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点P的坐标代入抛物线解析式，得到b关于a的表达式；再将其代入a-b中，把a-b转化为关于a的二次函数；最后根据二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在抛物线$y=-2x^2+2x+1$上
∴ 将$x=a$，$y=b$代入抛物线解析式，得：
$b=-2a^2+2a+1$
将上式代入$a-b$，得：
$a-b = a - (-2a^2+2a+1) = 2a^2 - a - 1$
对$2a^2 - a - 1$配方求最值：
$\begin{aligned}2a^2 - a - 1 &= 2(a^2 - \frac{1}{2}a) - 1\\&=2[a^2 - \frac{1}{2}a + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2] -1\\&=2(a-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1\\&=2(a-\frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$2＞0$，
∴ 该二次函数开口向上，当$a=\frac{1}{4}$时，$a-b$取得最小值，最小值为$-\frac{9}{8}$。
【答案】
$-\frac{9}{8}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；配方法的应用
【点评】
本题是二次函数最值的典型应用题型，解题核心是将双变量的最值问题转化为单变量的二次函数最值问题，需要熟练掌握二次函数图象的性质以及配方法求最值的方法，整体思路明确，计算量不大。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点P的坐标代入抛物线解析式，得到b关于a的表达式；再将其代入a-b中，把a-b转化为关于a的二次函数；最后根据二次函数的性质求最小值即可。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在抛物线$y=-2x^2+2x+1$上
∴ 将$x=a$，$y=b$代入抛物线解析式，得：
$b=-2a^2+2a+1$
将上式代入$a-b$，得：
$a-b = a - (-2a^2+2a+1) = 2a^2 - a - 1$
对$2a^2 - a - 1$配方求最值：
$\begin{aligned}2a^2 - a - 1 &= 2(a^2 - \frac{1}{2}a) - 1\\&=2[a^2 - \frac{1}{2}a + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2] -1\\&=2(a-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1\\&=2(a-\frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$2＞0$，
∴ 该二次函数开口向上，当$a=\frac{1}{4}$时，$a-b$取得最小值，最小值为$-\frac{9}{8}$。
【答案】
$-\frac{9}{8}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；配方法的应用
【点评】
本题是二次函数最值的典型应用题型，解题核心是将双变量的最值问题转化为单变量的二次函数最值问题，需要熟练掌握二次函数图象的性质以及配方法求最值的方法，整体思路明确，计算量不大。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共40分)
12. (12分)根据已知条件,求下列抛物线的函数表达式。
(1)抛物线的顶点是$(3,-1)$,且过点$(2,3)$。
(2)抛物线过$(0,1),(-1,0),(1,0)$三点。
12. (12分)根据已知条件,求下列抛物线的函数表达式。
(1)抛物线的顶点是$(3,-1)$,且过点$(2,3)$。
(2)抛物线过$(0,1),(-1,0),(1,0)$三点。
答案
12. 解:(1)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-3)^2-1$,
把$(2,3)$代入,得 $a(2-3)^2-1=3$,
解得 $a=4$,
所以抛物线的函数表达式为 $y=4(x-3)^2-1$,即$y=4x^2-24x+35$。
(2)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)(x-1)$,
把$(0,1)$代入,得 $a×(0+1)×(0-1)=1$,
解得 $a=-1$,
所以抛物线的函数表达式为 $y=-(x+1)(x-1)$,即 $y=-x^2+1$。
把$(2,3)$代入,得 $a(2-3)^2-1=3$,
解得 $a=4$,
所以抛物线的函数表达式为 $y=4(x-3)^2-1$,即$y=4x^2-24x+35$。
(2)设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)(x-1)$,
把$(0,1)$代入,得 $a×(0+1)×(0-1)=1$,
解得 $a=-1$,
所以抛物线的函数表达式为 $y=-(x+1)(x-1)$,即 $y=-x^2+1$。
解析
【分析】
(1)已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将已知顶点代入可确定$h、k$的值，仅剩未知系数$a$，再将经过的已知点代入求解$a$，最后整理为一般式即可。
(2)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设解析式，交点式形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1、x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标），将两个交点横坐标代入可确定$x_1、x_2$的值，仅剩未知系数$a$，再将第三个已知点代入求解$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点为$(3,-1)$，设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$）。
把$(2,3)$代入解析式得：$a(2-3)^2-1=3$，
化简得$a-1=3$，解得$a=4$。
将$a=4$代回顶点式展开得：$y=4(x-3)^2-1=4x^2-24x+35$。
(2) 已知抛物线过$(-1,0)$、$(1,0)$两点，设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)(x-1)$（$a≠0$）。
把$(0,1)$代入解析式得：$a×(0+1)×(0-1)=1$，
化简得$-a=1$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代回交点式展开得：$y=-(x+1)(x-1)=-x^2+1$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+35$（或$y=4(x-3)^2-1$）
(2) $y=-x^2+1$（或$y=-(x+1)(x-1)$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知点的特征选择最优的解析式形式，可大幅简化计算过程，属于二次函数部分的基础题型，需熟练掌握不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
(1)已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），将已知顶点代入可确定$h、k$的值，仅剩未知系数$a$，再将经过的已知点代入求解$a$，最后整理为一般式即可。
(2)已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设解析式，交点式形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$，$x_1、x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标），将两个交点横坐标代入可确定$x_1、x_2$的值，仅剩未知系数$a$，再将第三个已知点代入求解$a$，最后整理为一般式即可。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点为$(3,-1)$，设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-3)^2-1$（$a≠0$）。
把$(2,3)$代入解析式得：$a(2-3)^2-1=3$，
化简得$a-1=3$，解得$a=4$。
将$a=4$代回顶点式展开得：$y=4(x-3)^2-1=4x^2-24x+35$。
(2) 已知抛物线过$(-1,0)$、$(1,0)$两点，设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)(x-1)$（$a≠0$）。
把$(0,1)$代入解析式得：$a×(0+1)×(0-1)=1$，
化简得$-a=1$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代回交点式展开得：$y=-(x+1)(x-1)=-x^2+1$。
【答案】
(1) $y=4x^2-24x+35$（或$y=4(x-3)^2-1$）
(2) $y=-x^2+1$（或$y=-(x+1)(x-1)$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数交点式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知点的特征选择最优的解析式形式，可大幅简化计算过程，属于二次函数部分的基础题型，需熟练掌握不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
